Na extracção de uma carta de um baralho e mais provável obter um rei do que uma dama

Problema
(A partir da 2ª série do E. M. – Nível de dificuldade: Fácil)

Uma carta foi retirada de um baralho completo.
Qual a probabilidade de essa carta ser um Rei ou uma carta de Ouros?

Solução

Uma carta foi retirada de um baralho completo ([tex]52[/tex] cartas) e queremos calcular a probabilidade de essa carta ser "um Rei" ou "uma carta de Ouros".

Observe que o espaço amostral do problema é

• [tex]\Omega[/tex]: "todas as cartas do baralho"

e estão envolvidos dois eventos:

• evento [tex]\textcolor{#52D017}{E_1}[/tex]: a carta retirada ser um "Rei";
• evento [tex]\textcolor{red}{E_2}[/tex]: a carta retirada ser do naipe "Ouros".

Se [tex]P(X)[/tex] indicar a probabilidade de um evento [tex]X[/tex], o que precisaremos calcular é [tex]P(E_1 \cup E_2)[/tex] e para isso utilizaremos a fórmula:
[tex]\qquad \qquad \boxed{P(E_1 \cup E_2)= \textcolor{#52D017}{P(E_1)}+\textcolor{red}{P(E_2)}-P(E_1 \cap E_2)}[/tex],
ou seja, "a probabilidade de a carta retirada ser de Ouros ou um Rei" é "a probabilidade de a carta ser de Ouros", mais "a probabilidade de a carta ser um Rei", menos "a probabilidade de a carta ser um Rei de Ouros".
Vamos, então, calcular separadamente [tex]\textcolor{#52D017}{P(E_1)}[/tex], [tex]\textcolor{red}{P(E_2)}[/tex] e [tex]P(E_1 \cap E_2):[/tex]

• Para tirarmos um Rei, dispomos de [tex]4[/tex] de um total de [tex]52[/tex] cartas.
  Assim, [tex]\boxed{\textcolor{#52D017}{P(E_1)=\dfrac{4}{52}=\dfrac{1}{13}}} \, .[/tex]
• Para tirarmos uma carta de Ouros, dispomos de [tex]13[/tex] de um total de [tex]52[/tex] cartas.
  Assim, [tex]\boxed{\textcolor{red}{P(E_2)=\dfrac{13}{52}=\dfrac{1}{4}}} \, .[/tex]
• Para tirarmos um Rei de Ouros, dispomos de [tex]1[/tex] carta de um total de [tex]52[/tex] cartas.
  Assim, [tex]\boxed{P(E_1\cap E_2)=\dfrac{1}{52}} \, .[/tex]

Dessa forma, segue que:
[tex]\qquad \qquad P(E_1 \cup E_2)= \textcolor{#52D017}{P(E_1)}+\textcolor{red}{P(E_2)}-P(E_1 \cap E_2)[/tex]
[tex]\qquad \qquad P(E_1 \cup E_2)= \textcolor{#52D017}{\dfrac{1}{13}}+\textcolor{red}{\dfrac{1}{4}}-\dfrac{1}{52}\\
\, \, [/tex]
[tex]\qquad \qquad P(E_1 \cup E_2)=\dfrac{16}{52}=\dfrac{4}{13}.[/tex]
Portanto, a probabilidade de que a carta retirada seja um Rei ou uma carta de Ouros é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{4}{13}$} \, [/tex], ou seja, aproximadamente [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$31\%$} \, .[/tex]

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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De um baralho de 52 cartas, correctamente baralhado, tiram-se cartas à sorte. Calcular a probabilidade de ao extrair:

1. duas cartas serem ambas de Copas;
2. duas cartas serem uma Dama e um Valete;
3. três cartas serem todas de Ouros e entre elas figurar o Ás.

Exercício 1, p. 43, J. Antunes Lopes, Probabilidades, Estatística e Erros, Ed. Faculdade de Ciências, Universidade de Coimbra, 1969.

Respostas

1. 1/17

2. 8/663

 Resolução do 3.

Há 13 Ouros no baralho, pelo que a probabilidade de sair um Ouro que não o Ás, ao extrair uma carta, é 12/52. Como ficam 51 cartas, ao extrair a 2ª carta, a probabilidade de ser um Ouro, mas sem ser o Ás, é 11/51; e na 3ª extracção, a probabilidade de ser o Ás de Ouro é 1 / 50. Logo, a probabilidade será

No entanto, o Ás poderá ser extraído na 1ª, 2ª ou 3ª tiragem. Por isso a probabilidade pedida é tripla da anterior:

Outro método de resolução:     O mesmo resultado seria obtido através da fracção

O denominador dá o número de combinações de 52 cartas extraídas 3 a 3. O numerador é o produto de que é a combinação de um Ás de Ouro escolhido de entre apenas 1 por combinações de 12 cartas de Ouro que não Ases, extraídas 2 a 2.

NOTA: A extracção de 3 cartas de uma só vez é equivalente a 3 tiragens sucessivas  sem reposição.

[21-04-2013: Editada a redacção da resolução, corrigido erro nas fracções do produto, mas mantidos os resultados. Acrescentado 2.º método de resolução.]

Sobre Américo Tavares

eng. electrotécnico reformado / retired electrical engineer

Qual a probabilidade de ao retirar uma carta do baralho ser um rei?

Qual a probabilidade de tirar um rei ou uma dama?

Qual é a probabilidade de sair uma dama quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas?

Qual a probabilidade de a carta do primeiro baralho ser um rei é a do segundo ser o 5 de paus?