O círculo e o número π As formas circulares aparecem com freqüência nas construções e nos objetos presente em nosso mundo. As formas circulares estão presentes: nas moedas, nos discos, roda do carro... Quando riscamos no papel ou no chão apenas o contorno do círculo, este contorno é chamado circunferência. Uma circunferência no quadro, pode ser feito utilizando uma tachinha, um barbante e um giz. Algumas definições importantes Corda é o segmento que une dois pontos quaisquer da circunferência. Diâmetro é uma corda que passa pelo centro da circunferência. Observe que o diâmetro (d) é sempre a corda maior e sua medida é igual a duas vezes a medida do raio (r). (d = r) O comprimento da circunferência Várias circunferências nos levam a concluir que seu comprimento de qualquer circunferência depende da medida do diâmetro. Usando diferentes objetos com a forma circular, vamos medir o comprimento das circunferências e de seus diâmetros. No quadro abaixo foram anotadas algumas medidas dos comprimentos e diâmetros de várias objetos circulares. Na última coluna dividimos cada medida obtida do comprimento (C) pela medida do diâmetro correspondente (d). OBJETO MEDIDO COMPRIMENTO (C) DIÂMETRO (d) C/d Pires de xícara 47 cm 15 cm 3,133... Prato de refeição 73,5 cm 3,4 cm 3,141... Pirex de vidro 84,8 cm 7 cm 3,140... Fundo de copo 155 mm 49 mm 3,163... Moeda 69 mm mm 3,136... Faça você mesmo mais algumas medidas e verifique que a razão C/d se aproxima de um número constante quanto mais precisas forem essas medidas. Este número é conhecido como pi, simbolizado pela letra grega π, que é um número irracional e possui infinitas casas decimais, mas na prática utilizamos apenas uma aproximação de seu valor. π = 3,14159653589793384664... ou π 3,14 Na prática, de acordo com os exemplos, não obtivemos o resultado 3,14 em todas as razões C/d. Isso ocorre porque é impossível obter medidas exatas com os métodos que utilizamos. Da mesma forma que nossas medições são aproximadas, o resultado das divisões também é uma aproximação. O cálculo da medida do comprimento de uma circunferência, quando conhecemos a medida de seu raio, pode ser feito por meio da relação acima. C = π C = πd C = πr d Exercício 1) Uma praça circular tem 00 m de raio. Quantos metros de grade serão necessários para cerca-la? ) Complete a tabela abaixo: (Sugestão: use a aproximação π = 3,14) RAIO (r) DIÂMETRO (d) COMPRIMENTO (πr) cm 4 cm 1,56 cm 1 cm 5 cm 18,84 cm
A área do círculo Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema de determinar a área do círculo. O procedimento mais usado foi o método da exaustão, que foi obtido por Arquimedes. Este procedimento consiste em aproximar a figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas. Assim a área do círculo pode ser aproximada por falta pela área de polígonos regulares inscritos neste círculo. Por outro lado, a área do círculo pode ser aproximada por excesso pela área de polígonos regulares nele circunscritos. Um polígono regular está inscrito num círculo quando seus vértices estão sobre a circunferência e seus lados são cordas. O polígono está circunscrito ao círculo quando seus lados são tangentes à circunferência. Os vértices de um polígono regular inscrito num círculo dividem a circunferência em partes iguais. A perpendicular baixada do centro do círculo sobre o meio do lado chama-se apótema. Se o polígono é inscrito, o apótema é menor do que o raio; se é circunscrito, seu apótema é igual ao raio do círculo. Assim, indiquemos com P n e Q n os polígonos regulares de n lados, respectivamente inscrito no, e circunscrito ao, círculo C de raio r. Seja A Pn a área do polígono P n (inscrito na circunferência) é o produto dos lados (l n ) pelo apótema (a n ) e o número de lados (n) dividido por, ou seja: A Pn = n l na n = p na n onde p n = nl n é e o perímetro do polígono P n. Seja A Qn a área do polígono Q n (circunscrito na circunferência) é o produto dos lados (L n ) pelo raio r e o número de lados (n) dividido por, ou seja: A Qn = n L nr = q nr onde q n = nl n é e o perímetro do polígono Q n. Como exemplo, vamos apresentar o cálculo da área dos polígonos para um círculo de 10 cm de raio: se n = 4 temos l 4 = r = 10, a 4 = r / = 5 e L 4 = r = 0 logo a área dos polígonos P 4 e Q 4 será: A P4 = 4 10 5 = 4 100 = 00 cm A Q4 = 4 0 10 = 4 00 = 400 cm se n = 6 temos l 6 = r = 10, a 6 = r 3/ = 5 3 e L 6 = r 3/3 = 0 3/3 logo a área dos polígonos P 6 e Q 6 será: A P6 = 6 5 3 10 A Q6 = 6 0 3/3 10 = 6 50 3 = 6 00 3/3 = 00 3 59,807 cm = 00 3 346,41 cm se n = 8 temos a 8 9,38, p 8 30,614 e L 8 33,137 logo a área dos polígonos P 8 e Q 8 será: A P8 30,614 9,38 8,84 cm A Q8 33,137 10 331,37 cm se n = 10 temos p 10 3,09, a 10 9,51 e L 10 3,49 logo a área dos polígonos P 10 e Q 10 será:
A P10 3,09 9,51,93,89 cm e A Q10 3,49 10 34,919 cm se n = 100 temos p 100 31,41, a 100 9,995 e L 100 31,46 logo a área dos polígonos P 100 e Q 100 será: A P100 31,41 9,995 313,95 cm e A Q100 31,46 10 314,6 cm se n = 1000 temos p 1000 31,415, a 1000 9,999 e L 1000 31,416 logo a área dos polígonos P 1000 e Q 1000 será: A P1000 31,415 9,999 314,157 cm e A Q1000 31,41 10 314,16 cm É evidentemente que A Pn < 100π < A Qn. Fazendo n crescer cada vez mais, isto e, n +, os polígonos P n e Q n toma-se uma aproximação do círculo. Os perímetros p n e q n aproxima-se do comprimento do círculo πr e a o valor apótema e h n aproximase do raio r. Temos, lim A P n n = πrr = πr e lim A Qn = πrr = πr n Logo obtemos a formula da área do círculo. Podemos ilustrar a idéia da área do círculo imaginamos que o círculo seja formado por várias circunferências concêntricas. Depois, imaginamos também que podemos cortar essas circunferências e esticá-las. A figura que obtemos, então, é um triângulo retângulo com área equivalente ao círculo. Observe o triângulo abaixo. Sua altura é igual ao raio do círculo e sua base mede πr, isto é, o comprimento da maior circunferência que é a fronteira do círculo. Área do círculo = área do triangulo equivalente ao circulo Área do círculo = base altura πr r = = πr Portanto a área do círculo depende da medida de seu raio. Outra maneira de ilustrar a idéia da área do círculo é dividir o círculo em 16 partes iguais. Cada uma destas partes é denominada setor circular. O setor circular é uma região limitada por um arco de circunferência e por dois raios. Podemos pegar a metade destes setores e arruma-los de maneira que a outra metade pode ser encaixada sobre esta, de forma a não deixar espaços vazios. Essa figura ainda não é um quadrilátero, pois dois de seus lados são formados por arcos sucessivos e não por segmentos de reta. No entanto, usando um pouco a imaginação, podemos dividir nosso círculo em setores circulares cada vez menores. Repetindo o que fizemos com as 16 partes vamos pegar a
metade dos setores em uma certa posição e encaixarmos sobre estes a outra metade. Note que nos aproximamos muito mais de um retângulo de altura igual ao raio e comprimento igual a metade do comprimento da circunferência deste círculo. Área do círculo = área do retângulo equivalente ao circulo Área do círculo = πr r = πr EXEMPLO 1 Vamos agora calcular a área do círculo do de 10 cm de raio. Solução: Como r = 5 cm, r = 5 5 = 5 cm². A área então será: Área do círculo = 5π 3,14 5 = 78,5 cm Área do setor circular Muitas vezes estamos interessados em calcular apenas a área de um setor circular ( fatia do círculo). Todo setor circular está associado um ângulo central corresponde um ângulo central. O ângulo central é aquele que tem o vértice no centro da circunferência. O ângulo central máximo, que corresponde a uma volta completa e está associado à circunferência toda, mede 360º. Logo a área do setor circular, é proporcional á medida do ângulo central. Quando conhecemos o ângulo correspondente ao setor circular, podemos calcular a área de um setor circular usando uma regra de três. EXEMPLO O círculo ao lado tem raio medindo cm. Vamos calcular a área de um setor circular de 45º. Solução: Área do círculo = π = 4π 1,566 cm² Área do setor = x 360º 4π e ai x = 45 4π x = π 1,5707 cm 360 45º x 360º Exercícios 1) Um CD tem 1 cm de diâmetro. Calcule a sua área. ) Um disco de cobre tem 80 cm de diâmetro. Determine a área desse disco 3) Os dois azulejos da figura são quadrados com 0 cm de lado. Calcule a área da parte colorida em cada um deles. a) b) 4) Calcule a área da figura raio 4 cm
5) Denomina-se coroa circular à região pintada, que é obtida com dois círculos de mesmo centro O e raios diferentes. Na figura os dois círculos têm o mesmo centro. O raio do círculo pequeno é de 5 cm, já o raio do círculo grande é de 8 cm. Calcule a área da coroa circular. 6) Um terreno tem a forma de um quadrado com semicircunferência nas extremidades, conforme mostra figura. Sabendo que o preço do metro quadrado está valendo R$ 100,00, qual é o valor do terreno. Lado 0 m 7) Calcule a área do setor circular com raio de 6 cm e ângulo central de: a) α = 45 b) α = 60 c) α = 10 8) Se um círculo com raio de 10 m foi dividido em 9 partes iguais, calcule: a) a área de um dos setores circulares assim obtidos; b) a medida do correspondente ângulo central. 9) No quadrado ABCD a diagonal mede 10. Nessas condições determine a área da figura abaixo. 10) No gráfico de setores abaixo, foi utilizado um círculo com cm de raio. Calcule a área de cada setor. 11) Uma pizza tem raio igual a 15 cm e está dividida em 6 fatias. Calcule a área de cada fatia. 1) Uma pizza com 0 cm de diâmetro custa R$ 4,80. Quanto você espera pagar por uma outra do mesmo sabor com 30 cm de diâmetro? (Sugestão: a razão entre as áreas é o quadrado da razão entre os comprimentos diâmetro ou raio).
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Aqui você encontra várias questões comentadas, todas retiradas de provas de concursos públicos.
Bons estudos.
Exercício 1 (Exatus). Donato, patrulheiro militar, utiliza uma bicicleta no exercício da sua função, que é patrulhar uma região turística de Vitória-ES. Sabe-se que o pneu dessa bicicleta possui formato circular de diâmetro medindo 70 cm. Considerando que na última quinta-feira Donato percorreu 21,4 km com essa bicicleta em serviço de patrulhamento, é correto afirmar que o pneu dessa bicicleta deu:
(Dado π= 3)
a) 10000 voltas
b) 10190 voltas
c) 10199 voltas
d) 10210 voltas
e) 10220 voltas
Resolução:
Vamos primeiro calcular quanto o patrulheiro anda após uma volta do pneu.
Pela fórmula do comprimento de uma circunferência:
C = 2.π.r = 2.3.35 = 210 cm = 2,1 metros
Repare que usamos r = 35 cm pois o diâmetro da roda é 70 cm.
Temos que 21,4 km equivalem a 21400 metros.
Como em uma volta ele anda 2,1 metros, e no total ele andou 21400 metros, basta efetuar a divisão:
21400/2,1 = 10190,4 voltas
Resposta: B
Exercício 2 (Exatus). Para realizar o teste físico em determinado concurso da PM, os candidatos devem correr ao redor de uma praça circular cujo diâmetro mede 120 m. Uma pessoa que dá 9 voltas ao redor dessa praça percorre: (Dado: π = 3).
a) 1620 m
b) 3240 m
c) 4860 m
d) 6480 m
e) 8100 m
Resolução:
Comprimento de uma circunferência = 2π.r = 2.3.60 = 360m
Como a pessoa dá 9 voltas: 9×360 = 3240m
Resposta: B
Exercício 3 (Cesiep). Se o raio de uma circunferência tiver um acréscimo de 50% então o acréscimo percentual em seu comprimento será igual a:
a) 25%
b) 50%
c) 100%
d) 150%
Resolução:
Relembrando a fórmula do comprimento de uma circunferência:
C = 2.π.r
Temos uma função afim.
Claramente se o raio dobra, o comprimento também dobra, se cresce 50%, o comprimento também cresce 50%…
Resposta: B
Exercício 4 (PM Pará). Uma empresa possui em sua sala de reunião uma mesa de vidro redonda que possui lugar para 10 pessoas. Sabendo-se que cada pessoa ocupa um espaço de 50 cm. O diâmetro que essa mesa possui é:
Resolução
Cabem 10 pessoas na mesa, onde cada uma ocupa 50 cm, então o comprimento da mesa é de 50.10 = 500 cm.
Para calcularmos o raio, precisamos utilizar a fórmula do comprimento de uma circunferência:
C = 2.π.r
500 = 2π.r
r = 500/2π
r = 250/π
Como o diâmetro é o dobro do raio:
D = 2.(250/π) = 500/π
Resposta: A
Questão 5 (Prefeitura de Bombinhas – SC). Quantas voltas dá uma roda de 20 cm de raio para percorrer 7536 metros?
a) 1000 voltas
b) 2000 voltas
c) 3000 voltas
d) 6000 voltas
Resolução
Calculando o comprimento da circunferência da roda, onde consideramos que o raio de 20 cm equivale a 0,2 metros.
C = 2.π.r
C = 2 . 3,14 . 0,2
C = 1,256 metros
Como o objetivo é percorrer 7536 metros, basta dividirmos este valor pelo comprimento da circunferência:
7536 / 1,256 = 6000 voltas
Resposta: D
Questão 6 (FGV). Em uma praça há uma pista de corrida circular com 50m de raio. Um corredor deu 7 voltas completas nessa pista.
Esse corredor percorreu, aproximadamente:
a) 2000m;
b) 2200m;
c) 2400m;
d) 2800m;
e) 3000m.
Resolução
Como a pista tem formato circular, podemos calcular o comprimento da pista através da seguinte fórmula:
C = 2.π.r
C = 2 . 3,14 . 50
C = 314 metros
Como o corredor deu 7 voltas:
314 . 7 = 2198 metros
Resposta: B
Questão 7 (Consulplan). Maria faz, diariamente, caminhadas em volta da lagoa de sua cidade. Considerando que a lagoa tem formato circular de raio igual a 20 metros e que π = 3,14, ela se propôs a dar 3 voltas ao redor da lagoa por dia. De acordo com as informações apresentadas, quantos metros Maria caminha por semana?
A) 376,8 m.
B) 1888,4 m.
C) 2337,2 m.
D) 2637,6 m.
Resolução
Calculando o comprimento da circunferência que representa o formato circular da pista de caminhada:
C = 2.π.r
C = 2 . 3,14 . 20
C = 125,60
Considerando que uma semana possui 7 dias, e que Maria dá 3 voltas por dia, temos:
125,60 . 7 . 3 = 2637,60 metros
Resposta: D
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