Chama-se função exponencial a função f :
f(x) = ax, onde a > 0 e a ≠ 1
Se a > 1 a função é crescente Se 0 < a < 1 a função é decescente
A curva exponencial não toca no eixo dos "x". Portanto, a função não tem raiz.
Valor numérico: Para encontrar o valor número da função, basta substituir o valor de "x" pelo respectivo número.
Assim, dada a função exponencial f(x) = 7x
Pode-se encontrar o valor numérico de, por exemplo, x = 2f(2) = 72
f(2) = 49 Agora, se "x" for negativo, por exemplo, – 2, tem-se:f(– 2) = 7 –2
f(– 2) = (
f(– 2) =
f(– 2) =
Toda vez que o expoente for negativo inverte-se a base e o expoente passa a ser positivo.
Uma aplicação da função exponencial O aluguel de um imóvel é de R$ 5 000,00 e por contrato, deve aumentar 10% todo ano, quanto custará em cinco anos? No 1º ano: M(1) = 5000 + 5000 ⋅ 0,1 = 5000 ⋅ (1 + 0,1) No 2º ano:
M(2) = 5000 ⋅ (1 + 0,1) + 5000 ⋅ (1 + 0,1) ⋅ 0,1 = 5000 ⋅ (1 + 0,1) ⋅ (1 + 0,1) = 5000 ⋅ (1 + 0,1)2
No 3º ano:M(3) = 5000 ⋅ (1 + 0,1)2 + 5000 ⋅ (1 + 0,1)2 ⋅ 0,1 = 5000 ⋅ (1 + 0,1)2 ⋅ (1 + 0,1) = 5000 ⋅ (1 + 0,1)3
No 4º ano:M(4) = 5000 ⋅ (1 + 0,1)3 + 5000 ⋅ (1 + 0,1)3 ⋅ 0,1 = 5000 ⋅ (1 + 0,1)3 ⋅ (1 + 0,1) = 5000 ⋅ (1 + 0,1)4
No 5º ano:M(5) = 5000 ⋅ (1 + 0,1)4 + 5000 ⋅ (1 + 0,1)4 ⋅ 0,1 = 5000 ⋅ (1 + 0,1)4 ⋅ (1 + 0,1) = 5000 ⋅ (1 + 0,1)5
Assim, em cinco anos custará:M(5) = 5000 ⋅ (1 + 0,1)5
M(5) = 5000 ⋅ (1,1)5 M(5) = 5000 ⋅ 1,61051 M(5) = 8 052,55 De uma forma geral, chamando:
R& 5000,00 de capital inicial (c), 10% de taxa ( i ) e 5 anos de tempo (t).
M(t) = c ⋅ ( 1 + i )t (fórmula do cálculo do montante em juros compostos).
Equação Exponencial
Uma equação onde a incógnita está no expoente é chamada de equação exponencial.
Resolução: A principal maneira de se resolver uma equação exponencial é: deixar as bases iguais em ambos os membros da igualdade.
Na equação 2x = 4 as bases não são iguais.
2x = 4 (fatorando o 4 se tem que 4 = 22)
Substituindo o 4 pelo 22 tem-se:
2x = 22 (uma vez que as bases são iguais os expoentes também o são) O expoente à esquerda da igualdade é x e o expoente à direita da igualdade 2, então: x = 2 (igualando-se os expoentes)
S = { x ∈ IR ; x = 2 } ou S = { 2 }
Observação Em algumas situações, a princípio, não é fácil observar que se pode igualar as bases.
4x + 1 = 9x + 1
Fatorando as bases se encontra: 4 = 22 e 9 = 33
Logo, não tem como torná-las iguais.Mas, dividindo toda a equação, por exemplo, por 9x + 1 tem-se:
4x + 1 = 9x + 1
[
[
[
Como 1 = a0 se a ≠ 0 então:
[
S = { – 1 }
Inquação Exponencial
As inequações exponênciais seguem a regra das equações, exceto,
quando a base é menor do que 1, onde a desigualdade é invertida.
Resolução: ① Dada a inequação:
42x + 3 > 8 (fatorando tanto o 4 quanto o 8) tem-se:
( 22)2 x + 3 > 23 (expoente com expoente multiplica-se)
24 x + 6 > 23 (base é maior do que 1, a desigualdade não se altera) Como as bases são iguais, esquece as bases, usa-se apenas os expoentes. 4 x + 6 > 3 4 x + 6 – 3 > 0 4 x + 3 > 0 (que é uma inequação do 1° grau) Por ser do 1º grau, pode ser resolvida como se fosse uma equação: 4 x + 3 > 0 4 x > − 3
x > –
S = { x ∈ IR ; x > –
② Sendo a inequação:
[
[
x + 2 ≤ 4 (com a desigualdade invertida)
x + 2 − 4 ≤ 0 x – 2 ≤ 0 (que é uma inequação do 1° grau) x ≤ 2S = { x ∈ IR ; x ≤ 2 }
Exercícios Resolvidos
R01 — Faça um esboço do gráfico de f(x) = 2x.
Igualando o exponente a zero tem-se: x = 0 Tomando três valores: o zero, um valor menor e um valor maior.
f(x) = 2x
f(– 1) = 2– 1
f(– 1) = [
f(– 1) =
f(0) = 20
f(0) = 1f(1) = 21
f(1) = 2
R02 — O produto das soluções da equação ( 2x )x – 1 = 4 é:
a) – 3 b) – 2 c) – 1 d) 0 e) 1
Expoente com expoente, multiplica-se:
( 2x )x – 1 = 2x2 – x
Fatorando o 4 tem-se 22
Assim:( 2x )x – 1 = 4
2x2 – x = 22 (as bases são iguais)
x2 – x = 2
x2 – x – 2 = 0 (que é uma equação do 2° grau)
Δ = (– 1)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ (– 2)
Δ = 1 + 8 Δ = 9x =
x′ =
x′ =
x′′ =
x′′ =
Alternativa "b".
R03 — Encontre a solução da equação 22 x – 2 = 2x2 – 1
As bases já são iguais, então:
2 x – 2 = x2 – 1 (passando os elementos do 1º para o 2º membro)
x2 – 1 – 2 x + 2 = 0
x2 – 2 x + 1 = 0 Resolvendo a equação:
Δ = (– 2)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 2
Δ = 4 – 4 Δ = 0 (logo as raízes são iguais)x =
x′ = x′′ =
S = { 1 }
R04 — Encontre a soma das soluções da equação exponencial:
2x + 4 ⋅ 2– x = 5
Como 2– x =
2x + 4 ⋅
Substituindo 2x por y
y +
y2 + 4 = 5 y
y2 – 5 y + 4 = 0 Resolvendo a equação:
Δ = (– 5)2 – 4 ⋅ 1 ⋅ 4
Δ = 25 – 16 Δ = 9y =
y′ =
y′ =
y′′ =
y′′ =
Como 2x = y tem-se:
2x = 4
2x = 22 x = 2
2x = 1
2x = 20 x = 0
Então, a soma das soluções é 2 + 0 = 2.
R05 — Se x é um número real tal que 4x – 4x – 1 = 24. Calcule (2 x)x.
4x – 1 pode ser escrito na forma fatorada 4x ⋅ 4– 1 (onde 4– 1 =
4x – 4x – 1 = 24
4x – 4x ⋅ 4– 1 = 24
4x – 4x ⋅
4 ⋅ 4x – 4x = 24 ⋅ 4
4 ⋅ 4x – 4x = 96
Fazendo 4x = y tem-se:
4 y – y = 96 3 y = 96y =
4x = 32
(22)x = 25
22 x = 25 (expoente com expoente multiplica-se) Como as bases são iguais: 2 x = 5
x =
(2 x)x = (2 ⋅
(2 x)x = 55/2
(2 x)x =
(2 x)x =
(2 x)x = 4 √2
R06 — Encontre a soma dos dois maiores números inteiros que:
satisfazem a desigualdade:
Como
2– 3 ≤ 2– x (bases são iguais e maior do que 1) – 3 ≤ – x x – 3 ≤ 0 (que é uma inequação do 1° grau) x ≤ 3 Logo, os dois maiores números inteiros são 2 e 3.
Portanto, a soma é 2 + 3 = 5.
R07 — Resolva o sistema S =
Esse sistema pode ser resolvido pela adição das duas equações.
2x + 2x + 3y − 3y = 11 + 5
Como 2x + 2x = 2 ⋅ 2x e 3y − 3y = 0 tem-se:
2 ⋅ 2x = 16
2x =
2x = 8
2x = 23 Como as bases são iguais: x = 3 Substituindo o valor de "x" na primeira equação tem-se:
23 + 3y = 11
8 + 3y = 11
3y = 11 – 8
3y = 3 y = 1
S = { ( 3, 1) }
R08 — Seja a é um número real tal que 0 < a < 1,
resolva a inequação a2 x + 1 > (
Como
(
a2 x + 1 > (
a2 x + 1 > a– x + 3
Como a < 1 tem-se:
2 x + 1 < – x + 3 2 x + x + 1 – 3 < 0 3 x – 2 < 0 ( que é uma inequação do 1° grau ) 3 x < 2
x <
S = { x ∈ IR ; x <
R09 — Resolva a equação 32 x – 1 – 3x – 3x – 1 + 1 = 0
Escrevendo 32 x – 1 e 3x – 1 de forma fatorada:
32 x – 1 = 32 x ⋅ 3– 1 = 32 x ⋅
3x – 1 = 3x ⋅ 3– 1 = 3x ⋅
32 x – 1 – 3x – 3x – 1 + 1 = 0
32 x ⋅
32 x – 3 ⋅ 3x – 3x + 3 = 0
Como 32 x = (3x)2 então:
(3x)2 – 3 ⋅ 3x – 3x + 3 = 0 (substituindo 3x por y)
y2 – 3 y – y + 3 = 0
y2 – 4 y + 3 = 0 (que é uma equação do 2° grau)
Δ = 42 − 4 ⋅ 1 ⋅ 3
Δ = 16 − 12 Δ = 4y =
y′ =
y′ =
y′′ =
y′′ =
Como 3x = y tem-se:
3x = 3 ou 3x = 1 Em:
3x = 3
x = 1 Em:3x = 1
3x = 30 x = 0
S = { 0, 1 }
R10 — Determine o conjunto solução de:
32 x + 1 – 9x – 32 x – 1 – 9x – 1 ≥ 126
Como 32 x = (32)x = 9x então: Escrevendo de forma fatorada:
32 x + 1 = (32)x ⋅ 31 = 9x ⋅ 3 = 3 ⋅ 9x
32 x – 1 = (32)x ⋅ 3– 1 = 9x ⋅
9x – 1 = 9x ⋅ 9- 1 = 9x ⋅
32 x + 1 – 9x – 32 x – 1 – 9x – 1 ≥ 126
3 ⋅ 9x – 9x –
27 ⋅ 9x – 9 ⋅ 9x – 3 ⋅ 9x – 9x ≥ 1134 (substituindo 9x por y) 27 y – 9 y – 3 y – y ≥ 1134 14 y ≥ 1134
y ≥
Como y = 9x tem-se:
9x ≥ 81
9x ≥ 92 x ≥ 2
S = { x ∈ IR ; x ≥ 2 }
R11 — Resolva a inequação: 4x + 1 – 6 ⋅ 2x + 2 ≥ 0
Como 4x + 1 = (22)x ⋅ 41 = (2x)2 ⋅ 4 = 4 ⋅ (2x)2 então:
4x + 1 – 6 ⋅ 2x + 2 ≥ 0
4 ⋅ (2x)2 – 6 ⋅ 2x + 2 ≥ 0 (substituindo 2x por y)
4 y2 – 6 y + 2 ≥ 0 (que é uma inequação do 2° grau)
Encontrando as raízes de 4 y2 – 6 y + 2 = 0 tem-se:
Δ = (– 6)2 – 4 ⋅ 4 ⋅ 2 Δ = 36 – 32 Δ = 4
y =
y' =
y' =
y'' =
y'' =
y'' =
Como se deseja que 4 y2 – 6 y + 2 seja ≥ 0 (positivo ou nulo)
Como a > 0 então é positivo fora das raízes e nulo nas raízes.
Assim, tem-se:y ≤
Como y = 2x então:
2x ≤
2x ≤ 2–1 x ≤ – 1
2x ≥ 1
2x ≥ 20 x ≥ 0
S = { x ∈ IR ; x ≤ – 1 ou x ≥ 0 }
R12 — Resolva a equação
Como
S = { 3/7 }
Outra forma de resolver é elevando os dois membros ao quadrado. Assim, tem-se:
(
3x – 1 = 94x – 2
3x – 1 = (32)4x – 2
3x – 1 = 38x – 4 x – 1 = 8x – 4 – 1 + 4 = 8x – x 3 = 7 x
3/7 = x
Exercícios Propostos
P01 — Faça um esboço gráfico de f(x) = (
P02 — Considerando a função f(x) = ax, em que 0 < a < 1, tem-se: a) se x > 0 então f(x) > 1 b) se x < 0 então f(x) < 1 c) se x < 0 então f(x) < – 1
d) se x > 0 então f(x) < 1
P03 — A solução da equação 112x + 5 = 1 é:
a)
P04 — Resolva as equações:
a) (0,1)2x – 1 = (0,01)4x + 3 b) 7x / (1 – x) = 49
P05 — Determine a solução das equações:
a) 3x = (0,3333...)x + 1 b) 23x ⋅ (5x)3 = 1000
P06 — Qual a solução da equação exponencial abaixo?
9x ⋅ 52x = 225
P07 — Obtenha a solução da equação: 3 ⋅ 3x = √3
P08 — Se 2x + 3 = 24, então 2– x é:
a) 2/3 b) 3 c) 1/3 d) 8 e) 1/8
P09 — Obtenha a solução da equação:
P10 — (PUC-RS) A soma das raízes da equação é:
4x –
a) 10 b) 8 c) 4 d) 2 e) 1
P11 — (IPA/IMEC) Se 2x + 2– x = 10 então 4x + 4– x vale:
a) 40 b) 50 c) 75 d) 98 e) 100
P12 — (PUC-RS) A soma das raízes da equação
9 ⋅ 5x2 – 2x + 1 = 5625 é:
a) – 4 b) – 2 c) – 1 d) 2 e) 4
P13 — Resolva a equação: 2x – 4 + 2x = 34
P14 — Obtenha o conjunto solução da inequação:
(2 √2)x > (
P15 — O menor inteiro que satisfaz a inequação:
(
a) – 5 b) – 4 c) – 3 d) 0 d) 3
P16 — Encontre a solução da inequação:
2x ⋅ 4x + 1 ⋅ 8x + 2 > 16x + 3
P17 — Determine a solução da inequação:
9 < 273x – 1 < 27
P18 — Obtenha o conjunto solução da inequação:
(3 + √2 )x > – 2
P19 — A soma dos dois menores valores de x que:
satisfaz a desigualdade (0,1)5x – 1 < (0,1)2x + 5 é:
a) 3 b) 4 c) 5 d) 6 e) 7
P20 — A equação 2x – 1 ⋅ 128x =
a) ∅ b) { 1 } c) { – 23/8 } d) { 2 } e) { 3 }