De quantos modos distintos 6 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 6 lugares

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Exerccios de permutaes simples

1. Com as vogais: A,E,I,O e U, quantas permutaes podem ser formadas contendo as letras: A,E e I. 2. De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca? Auxlio: P(n)=n!, n=3 Resposta: N=123=6 3. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares? Auxlio: P(n)=n!, n=5 Resposta: N=12345=120 4. Qual o nmero possvel de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMOR? Auxlio: P(n)=n!, n=4 Resposta: N=1234=24 5. Quantos nmeros com cinco algarismos podemos construir com os nmeros mpares 1,3,5,7,9. Auxlio: Resposta: P(5)=120. 6. Quantos nmeros com cinco algarismos podemos construir com os nmeros mpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3. Auxlio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com os outros, fornece 4 grupos. Resposta: N=2P(4)=224=48 7. Consideremos um conjunto com n letras. Quantas permutaes comeam por uma determinada letra?

Resposta: N=P(n-1)=(n-1)! 8. Quantos so os anagramas possveis com as letras: ABCDEFGHI? Resposta: P(9)=9! 9. Quantos so os anagramas possveis com as letras: ABCDEFGHI, comeando por A? Resposta: P(8)=8! 10. Quantos so os anagramas possveis com as letras: ABCDEFGHI, comeando por AB? Resposta: P(7)=7! 11. Quantos so os anagramas possveis com as letras: ABCDEFGHI, comeando por ABC? Resposta: P(6)=6! 12. Quantos so os anagramas possveis com as letras: ABCDEFGHI, comeando por uma das letras A, B ou C? Auxlio: Comeando por uma das letras A,B,C: P(8)=8! Resposta: N=3P(8)=38! 13. Quantos so os anagramas possveis com as letras: ABCDEFGHI, comeando pelas trs letras do grupo ABC? Auxlio: Comeando pelas letras do grupo ABC: P(3)=3!=6 Resposta: N=P(3)P(6)=6120=720 14. Quantos so os anagramas possveis com as letras: ABCDEFGHI, comeando por uma vogal e terminando por uma consoante? Auxlio: 3 so as vogais e 6 so as consoantes. Resposta: N=P(3)P(6)=6120=720 (???)

15. H 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com camisas brancas. De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pessoas de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem juntos? Auxlio: Temos 4 grupos de camisas, logo P(4) posies para as equipes e os grupos podem permutar as suas posies, respectivamente, P(3), P(3), P(2) e P(2). Resposta: N=P(4)P(3)P(3)P(2)P(2)=3456Exerccios de permutaes com repetio

16. Quantos so os anagramas possveis com as letras da palavra: ARARA? Auxlio: A letra A aparece 3 vezes e a letra R aparece 2 vezes. Resposta: Pr(5;3+2)=5!/(3!2!)=10 17. Quantos so os anagramas possveis para a ULYSSES? 18. Quantos so os anagramas possveis para a ULYSSES comeando por U? 19. Quantos so os anagramas possveis para a ULYSSES terminando por S? 20. Quantos so os anagramas possveis para a ULYSSES comeando por U e terminando por S? 21. Qual o nmero possvel de anagramas que montar com as letras da palavra AMA? Auxlio: p1=n(A)=2, p2=n(M)=1, N=Pr(3;2+1) Pr(p;p1+p2)=(p1+p2)!/(p1!p2!) Resposta:N=3!/(2!1!)=3 22. Qual o nmero possvel de anagramas que se pode montar com as letras da palavra AMAR? palavra: palavra: palavra: palavra: se pode

Auxlio: N=(p1+p2+p3)!/(p1!p2!p3!),A=2,M=1,R=1 Resposta: N=4!/(2!1!1!)=12 23. Qual o nmero possvel de anagramas que se pode montar com as letras da palavra ARARUNA? Auxlio: N=(p1+p2+p3+p4)!/(p1!p2!p3!p4!), A=3, R=2, N=1, U=1 Resposta: N=7!/(3!2!1!1!)=420 24. O nmero Pi com 10 algarismos (sem considerar a vrgula) indicado por 3141592653. Quantas so as permutaes diferentes que podemos construir com estes 10 algarismos Auxlio: n(1)=n(3)=n(5)=2, n(2)=n(4)=n(6)=n(9)=1 Resposta: Pr(10,2+1+2+1+2+1+1)=10!/8=453600 25. Quantos so os anagramas possveis com as letras da palavra: MATEMATICA? Auxlio: A letra A aparece 3 vezes, a letra M aparece 2 vezes, a letra T aparece 2 vezes, a letras E aparece 1 vez , a letra I aparece 1 vez e a letra C aparece 1 vez. Resposta: Pr(10;3+2+2+1+1+1) = 10!/[3!2!2!1!1!1!] =151200Exerccios de permutaes circulares

26. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentarse em volta de uma mesa circular? Auxlio: N=P(n-1)=(n-1)!, n=5 Resposta: N=1234=24 27. De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentarse em volta de uma mesa retangular? Auxlio: N=P(n-1)=(n-1)!, n=5

Resposta: N=1234=24Exerccios de combinaes simples

28. Um indivduo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poder empacotar tais livros em grupos de 6 livros? 29. Quantos grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas? Auxlio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!]; m=8,p=3 Resposta: C=8!/(3!5!)=(876)/(123)=56 30. Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas? Auxlio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=1000, p=2 Resposta: C=1000!/(2!998!)=1000999=999000 31. Quantas combinaes com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto? Conceito: Combinao Auxlio: C=C(m,p)=m!/[p!(m-p)!], m=10, p=4 Resposta: C=10!/(4!6!)=(10987)/(1234)=210 32. Quantas combinaes com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra A? Auxlio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=1, p1=1 Resposta: C=C(1,1).C(9,3)=(1987)/6=84 33. Quantas combinaes com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras A e B? Auxlio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=2

Resposta: C=C(2,2).C(8,2)=(187)/2=28 34. Quantas combinaes com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que no contenham nem as letras A e B? Auxlio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=0 Resposta: C=C(2,0).C(8,4)=(18765)/24=70 35. Quantas combinaes com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras A ou B esteja presente, mas no as duas? Auxlio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=2, p1=1 Resposta: C=C(2,1).C(8,3)=(2876)/6=112 36. Quantas combinaes com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que contm 2 dentre as 3 letras A,B e C? Auxlio: C=C(m1,p1).C(m-m1,p-p1), m=10, p=4, m1=3, p1=2 Resposta: C=C(3,2).C(7,2)=(376)/2=63 37. Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comisses podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens? 38. Calcular o valor de m tal que 5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2). 39. Quantos tringulos podem ser traados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos? 40. Quantos quadrilteros convexos podem ser traados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos? 41. Em uma classe com 16 pessoas, h 10 homens e 6 mulheres. Consideremos H um certo homem e M uma certa mulher. Quantos grupos podemos formar: a. com 4 homens e 2 mulheres? b. contendo H mas no M?

c. contendo M mas no H? d. contendo H e M? e. contendo somente H ou somente M? 42. Quantos nmeros diferentes maiores do que 100 e menores do que 1000 podem ser construdos com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, sendo: a. que cada algarismo aparece somente uma vez? b. que cada algarismo pode repetir at 3 vezes? c. os nmeros pares sem repetio? d. os nmeros mpares sem repetio? e. os nmeros pares com repetio? f. os nmeros mpares com repetio? 43. Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, devemos formar comisses com 3 professores e 2 alunos. Quantas so as possibilidades? Resposta: N=C(6,3)C(4,2)=306=180 44. Desejamos formar comisses de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comisses tero somente 1 professor? 45. Desejamos formar comisses de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comisses tero somente 2 professores? 46. Desejamos formar comisses de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comisses tero no mnimo 2 professores? 47. Desejamos formar comisses de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comisses tero no mnimo 3 professores? 48. Num plano existem 4 pontos, sendo que 3 deles so no colineares. Qual o nmero possvel de retas que passam por esses pontos? Resposta: C(4,2)=6 49. Num plano colocamos n pontos, sendo que 3 deles so no colineares. Qual o nmero possvel de retas que passam por esses pontos?

Resposta: C(n,2)=n(n-1)/2 50. Quatro pontos so postos num plano, sendo que 3 deles so no colineares. Qual o nmero possvel de tringulos construdos com esses pontos? Auxlio: C(3,2)=3 tringulos para cada ponto. 51. Qual o nmero de diagonais de um polgono regular de n lados? Resposta: N=C(n,2)-n=n(n-1)/2-n=n(n-3)/2 52. Qual o nmero de diagonais de um cubo? 53. Qual o nmero de diagonais de um prisma regular cuja base tem 5 lados? 54. Qual o nmero de diagonais de um prisma regular cuja base tem 6 lados? 55. Qual o nmero de diagonais de um prisma regular cuja base tem n lados? 56. Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, construir o conjunto que contm todas as combinaes tomadas 2 a 2. 57. Com as letras: A,B,C,D,E,F,G e H, determinar o nmero das permutaes possveis que comeam por ABC. Resposta: N=P(5)=120. 58. Quantas digonais possui um dodecgono?

Resposta: N=129/2=54 59. Quantas digonais possui o tetraedro regular?

Resposta: N=0 60. Quantas digonais possui um prisma triangular regular?

Resposta: N=0Exerccios de combinaes com repetio

61. Determinar o nmero de combinaes elementos tomados com repetio de 7 livros.

com

4

Auxlio: Cr=Cr(m,p)=C(m+p-1,p), m=7, p=4 Resposta: Cr=Cr(7,4)=C(7+4-1,4)=C(10,4)=210 62. Determinar o nmero de combinaes com repetio de 4 objetos tomados 2 a 2. Auxlio: Cr=Cr(m,p)=C(m+p-1,p), m=4, p=2 Resposta: Cr=Cr(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=10Exerccios de arranjos simples

63. Quantos nmeros diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos: 0,1,2