Equival�ncia de Taxas � Juro Composto
Duas taxas de juros s�o equivalentes se:
� aplicadas ao mesmo capital;
� pelo mesmo intervalo de tempo.
Ambas produzem o mesmo juro ou montante.
No regime de juros composto, as taxas de juros n�o s�o proporcionais, ou seja, uma taxa de 12% ao ano � n�o � equivalente a 1% ao m�s.
Partido do principio acima, se tomarmos um capital inicial VP e aplicarmos a juro composto no per�odo de um ano teremos VF = VP(1+ ia) aplicando o mesmo capital inicial no mesmo per�odo mas capitalizado mensalmente temos VF = VP(1+ im)12
Para que as taxas sejam equivalentes os montantes ter�o que ser iguais, assim:
VP(1 + ia) = VP(1 + im)12
Da igualdade acima, deduz-se que:
(1+ia) = (1+ im)12
Para determinar a taxa anual, conhecida a taxa mensal.
ia = (1+ im)12 -1
Para determinar a taxa mensal, quando se conhece a anual.
Da mesma forma, dada uma taxa mensal ou anual, determina-se � taxa di�ria e vice-versa.
Exemplos:
1)��� Determinar a taxa anual equivalente a 2% ao m�s:
ia = (1 + im)12 � 1 = (1,02)12 - 1 = 1,2682 - 1 = 0,2682 ou 26,82%
2)��� Determinar a taxa mensal equivalente a 60,103% ao ano:
im = (1 + ia)1/12 �1 = (1,60103)1/2�1 = 1,04 - 1 ou� 4% ao m�s
3)��� Determinar a taxa anual equivalente a 0,19442% ao dia:
ia = (1 + id)360 - 1 = (1,0019442)360 - 1 = 2,0122 � 1 = 1,0122 ou 101,22% ao ano
4)��� Determinar a taxa trimestral equivalente a 47,746% em dois anos:
it = (1 + i2a)1/8 - 1 = (1,47746 )1/8 - 1 = 1,05 - 1 = 0,05 = 5% ao trimestre
5)��� Determinar a taxa anual equivalente a 1% � quinzena:
ia = (1 + iq)24 - 1 = (1,01)24 - 1 = 1,2697 - 1 = 0,2697 = 26,97% ao ano
Como no dia-a-dia os per�odos a que se referem �s taxas que se tem e taxas que se quer s�o os mais variados, vamos apresentar uma f�rmula gen�rica, que possa ser utilizada para qualquer caso, ou seja:
Para efeito de memoriza��o denominamos as vari�veis como segue:
iq = taxa para o prazo que eu quero
it= taxa para o prazo que eu tenho
q = prazo que eu quero
t = prazo que eu tenho
Vejamos alguns exemplos:
6)��� Determinar a taxa para 183 dias, equivalente a 65% ao ano:
i183 = (1 + 0,65)183/360 � 1 = 28,99%
7)��� Determinar a taxa para 491 dias, equivalente a 5% ao m�s:
i491 = (1 + 0,05)491/30 � 1 = 122,23%
8)��� Determinar a taxa para 27 dias, equivalente a 13% ao trimestre:
i27 = (1 + 0,13)27/90 � 1 = 3,73%
Taxas Equivalentes são taxas que quando aplicadas ao mesmo capital, num mesmo intervalo de tempo, produzem montantes iguais. Essas taxas devem ser observadas com muita atenção, em alguns financiamentos de longo prazo, somos apenas informados da taxa mensal de juros e não tomamos conhecimento da taxa anual ou dentro do período estabelecido, trimestre, semestre entre outros. Uma expressão matemática básica e de fácil manuseio que nos fornece a equivalência de duas taxas é:
1 + ia = (1 + ip)n, onde:
ia = taxa anual
ip = taxa período
n: número de períodos
Observe alguns cálculos:
Exemplo 1
Qual a taxa anual de juros equivalente a 2% ao mês?
Temos que: 2% = 2/100 = 0,02
1 + ia = (1 + 0,02)12
1 + ia = 1,0212
1 + ia = 1,2682
ia = 1,2682 – 1
ia = 0,2682
ia = 26,82%
A taxa anual de juros equivalente a 2% ao mês é de 26,82%.
As pessoas desatentas poderiam pensar que a taxa anual nesse caso seria calculada da seguinte forma: 2% x 12 = 24% ao ano. Como vimos, esse tipo de cálculo não procede, pois a taxa anual foi calculada de forma correta e corresponde a 26,82% ao ano, essa variação ocorre porque temos que levar em conta o andamento dos juros compostos (juros sobre juros).
Exemplo 2
Qual a taxa mensal de juros equivalentes a
0,1% ao dia?
Temos que: 0,1% = 0,1/100 = 0,001
1 + im = (1 + 0,001)30
1 + im = 1,00130
1 + im = 1,0304
im = 1,0304 – 1
im = 0,0304
im = 3,04%
A taxa mensal de juros equivalente a 0,1% ao dia é de 3,04%.
Exemplo 3
Determine a taxa de juros anual correspondente a uma taxa de 3% ao trimestre.
Temos: 3% = 3/100 = 0,03
(1 + ia) = (1 + 0,03)4
(1 + ia) =
1,034
ia = 1,1255 – 1
ia = 0,1255
ia = 12,55%
Caso necessite converter alguma taxa, utilize as expressões a seguir de acordo com o período desejado.
1 + im = (1 + id)30 → 1 mês = 30 dias
1 + ia = (1 + im)12 → 1 ano = 12 meses
1 + ia = (1 + is)2 → 1 ano = 2 semestres
1 + is = (1 + im)6 → 1 semestre = 6 meses
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