As relações métricas relacionam as medidas dos elementos de um triângulo retângulo (triângulo com um ângulo de 90º).
Os elementos de um triângulo retângulo estão apresentados abaixo:
Sendo:
a: medida da hipotenusa (lado oposto ao ângulo de 90º)
b: cateto
c: cateto
h: altura relativa à
hipotenusa
m: projeção do cateto c sobre a hipotenusa
n: projeção do cateto b sobre a hipotenusa
Semelhança e relações métricas
Para encontrar as relações métricas, utilizaremos semelhança de triângulos. Considere os triângulos semelhantes ABC, HBA e HAC, representados nas imagens:
Como os triângulos ABC e HBA são semelhantes (), temos as seguintes proporções:
Usando que encontramos a proporção:
Da semelhança entre os triângulos HBA e HAC encontramos a proporção:
Temos ainda que a soma das projeções m e n é igual a hipotenusa, ou seja:
Teorema de Pitágoras
A mais importante das relações métricas é o Teorema de Pitágoras. Podemos demonstrar o teorema usando a soma de duas relações encontradas anteriormente.
Vamos somar a relação b2 = a . n com c2 = a . m, conforme mostrado abaixo:
Como a = m + n, substituindo na expressão anterior, temos:
Assim, o Teorema de Pitágoras pode ser enunciado como:
A hipotenusa ao quadrado é igual a soma dos quadrados dos catetos.
Exemplos
1) Encontre o valor de x e de y na figura abaixo:
Primeiro calcularemos o valor da hipotenusa, que na figura está representado por y.
Usando a relação: a = m + n
y = 9 + 3
y = 12
Para encontrar o valor de x, usaremos a relação b2 =
a.n, assim:
x2 = 12 . 3 = 36
2) A medida da altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo é 12 cm e uma das projeções mede 9 cm. Calcular a medida dos catetos desse triângulo.
Primeiro vamos encontrar o valor da outra projeção usando a relação: h2 = m . n
Vamos encontrar o valor da hipotenusa, usando a relação a = m + n
a = 16 + 9 = 25
Agora é possível calcular o valor dos catetos usando as relações b2 = a . n e
c2 = a . m
Fórmulas
Na tabela abaixo, reunimos as relações métricas no triângulo retângulo.
Para saber mais, leia também:
- Trigonometria no Triângulo Retângulo
- Exercícios de trigonometria no triângulo retângulo
- Exercícios de Trigonometria
- Triângulo Retângulo
- Razões Trigonométricas
- Seno, Cosseno e Tangente
- Exercícios de seno, cosseno e tangente
- Relações Trigonométricas
- Identidades trigonométricas
- Fórmulas de Matemática
Exercícios Resolvidos
1) Num triângulo retângulo, a hipotenusa mede 10 cm e um dos catetos mede 8 cm. Nessas condições, determine:
a) a medida da altura relativa à hipotenusa
b) a área do triângulo
2) Determine a medida das projeções em um triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 13 cm e um dos catetos 5
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.
O que é projeção ortogonal do cateto?
A projeção ortogonal de um segmento de reta AB sobre uma reta r é um segmento de reta obtido pela projeção ortogonal de todos os pontos desse segmento de reta sobre a reta r. BC é a hipotenusa de medida a. AC é o cateto de medida b. ... BH é a projeção ortogonal, de medida n, do cateto AB sobre a hipotenusa.
O que é projeção no triângulo retângulo?
Nesta representação abaixo de um triângulo retângulo temos que h é chamado de altura relativa à hipotenusa ou simplesmente a distancia da hipotenusa ao vértice formado pelos catetos; m e n são as projeções dos catetos, isto é, a altura h divide a hipotenusa em duas partes, m e n.
O que são relações Metricas no triângulo retângulo?
As relações métricas no triângulo retângulo são parte da geometria plana e se relacionam às medidas correspondentes em triângulos retângulos. Desta forma, a expressão encontra medidas não conhecidas de um triângulo. Assim, conseguimos encontrar catetos, a hipotenusa a partir das semelhanças entre as figuras.
O que significa cada letra minúscula desse triângulo retângulo?
A letra a é a medida da hipotenusa; As letras b e c são as medidas dos catetos; A letra h é a medida da altura do triângulo retângulo; ... A letra m é a projeção do cateto BA sobre a hipotenusa.
Como calcular as projeções de um triângulo?
Uma delas é esta: ah = bc ---(hipotenusa vezes altura é igual ao produto dos catetos). h = 9,6 cm
Como achar a projeção de um triângulo retângulo?
As letras b e c são as medidas dos catetos; A letra h é a medida da altura do triângulo retângulo; A letra n é a projeção do cateto AC sobre a hipotenusa; A letra m é a projeção do cateto BA sobre a hipotenusa.
Como é um triângulo retângulo?
- É um triângulo que possui um ângulo reto, isto é, um dos seus ângulos mede noventa graus, daí o nome triângulo retângulo. Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180 graus, então os outros dois ângulos medem 90 graus.
Qual é a diagonal de um retângulo?
- Qual é a medida da diagonal de um retângulo cujo lado maior mede 20 cm e o lado menor mede 10 cm? A diagonal de um retângulo divide-o em dois triângulos retângulos. Essa diagonal fica sendo a hipotenusa, como mostra a figura a seguir:
Como fazer uma projeção ortogonal?
- Observe que, para quem olha de cima para baixo, a projeção ortogonal forma uma curva que se estende de A até B e, depois disso, faz um pequeno movimento para dentro e para a esquerda, quando “sobe” no mapa. Assim, a alternativa correta é a letra E. Compartilhe!
Será que os três triângulos da figura anterior são semelhantes?
- É importante perceber que os três triângulos da figura anterior são semelhantes e a partir das relações de semelhança podemos concluir que: h² = mn b² = a.m m = c.m a² = b² + c² h = b.c c² = a.n h= b.n Das relações listadas acima, a mais importante a ser lembrada é , chamada de Teorema de Pitágoras.