Ensino Fundamental, M�dio e Superior no Brasil
Ensino M�dio
Exercicios de An�lise Combinat�ria
Ulysses Sodr�
Material desta p�gina
- 1 Quinze Exerc�cios de permuta��es simples
- 2 Dez Exerc�cios de permuta��es com repeti��o
- 3 Dois Exerc�cios de permuta��es circulares
- 4 Trinta e tr�s Exerc�cios de combina��es simples
- 5 Dois Exerc�cios de combina��es com repeti��o
- 6 Doze Exerc�cios de arranjos simples
- 7 Dezessete Exerc�cios de arranjos com repeti��o
- 8 Nove Exerc�cios de arranjos condicionais
- 9 Dezesseis Exerc�cios com o fatorial
- 10 Tr�s Exerc�cios com a regra do produto
Na p�gina An�lise Combinat�ria, voc� encontra a teoria necess�ria para resolver os exerc�cios aqui propostos, sendo que alguns deles possuem resposta ou alguma ajuda. Nem sempre os exerc�cios aparecem em ordem de dificuldade crescente.
1 Quinze Exerc�cios de permuta��es simples
- Com as vogais: \(AEIOU\), quantas permuta��es podem ser formadas com as letras: \(A\), \(E\) e \(I\).
- De quantos modos distintos podemos colocar 3 livros juntos em uma estante de biblioteca?
Aux�lio: \(P(n)=n!, n=3\)
Resposta: \(N=1{\times}2{\times}3=6\) - De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em um banco de jardim com 5 lugares?
Aux�lio: \(P(n)=n!, n=5\)
Resposta: \(N=1(2)(3)(4)(5)=120\) - Qual � o n�mero poss�vel de anagramas que se pode montar com as letras da palavra \(AMOR\)?
Aux�lio: \(P(n)=n!, n=4\)
Resposta: \(N=1(2)(3)(4)=24\) - Quantos n�meros com cinco algarismos podemos construir com os n�meros �mpares 1,3,5,7,9.
Resposta: \(P(5)=120\). - Quantos n�meros com cinco algarismos podemos construir com os n�meros �mpares 1,3,5,7,9, desde que estejam sempre juntos os algarismos 1 e 3.
Aux�lio: Cada conjunto com os algarismos 13 e 31 forma um grupo que junto com os outros, fornece 4 grupos.
Resposta: \(N=2{\times}P(4)=2{\times}24=48\) - Consideremos um conjunto com \(n\) letras. Quantas permuta��es come�am por uma determinada letra?
Resposta: \(N=P(n-1)=(n-1)!\) - Quantos s�o os anagramas poss�veis com as letras: \(ABCDEFGHI\)?
Resposta: \(P(9)=9!\) - Quantos anagramas existem com as letras: \(ABCDEFGHI\), iniciando por \(A\)?
Resposta: \(P(8)=8!\) - Quantos anagramas existem com as letras: \(ABCDEFGHI\), iniciando por \(AB\)?
Resposta: \(P(7)=7!\) - Quantos anagramas existem com as letras: \(ABCDEFGHI\), iniciando por \(ABC\)?
Resposta: \(P(6)=6!=720\) - Quantos anagramas existem com as letras: \(ABCDEFGHI\), iniciando por uma das letras \(A\) ou \(B\) ou \(C\)?
Aux�lio: Come�ando por uma das letras \(A\) ou \(B\) ou \(C\): \(P(8)=8!\)
Resposta: \(N=3{\times}P(8)=3{\times}8!\) - Quantos s�o os anagramas poss�veis com as letras: \(ABCDEFGHI\), come�ando pelas tr�s letras do grupo \(ABC\)?
Aux�lio: Come�ando pelas letras do grupo \(ABC\): \(P(3)=3!=6\)
Resposta: \(N=P(3){\times}P(6)=6{\times}720=4320\) - Quantos s�o os anagramas poss�veis com as letras: \(ABCDEFGHI\), come�ando por uma vogal e terminando por uma consoante?
Aux�lio: 3 s�o as vogais e 6 s�o as consoantes.
Resposta: \(N=P(3){\times}P(6)=6{\times}720=4320\) - H� 10 pessoas em um local, sendo 3 com camisas verdes, 3 com camisas amarelas, 2 com camisas azuis e 2 com camisas brancas. De quantos modos podemos perfilar todas essas 10 pessoas de modo que os grupos com as camisas de mesma cor fiquem
juntos?
Aux�lio: Temos 4 grupos de camisas, logo \(P(4)\) posi��es para as equipes e os grupos podem permutar as suas posi��es, respectivamente, \(P(3)\), \(P(3)\), \(P(2)\) e \(P(2)\).
Resposta: \(N=P(4){\times}P(3){\times}P(3){\times}P(2){\times}P(2)=3456\)
2 Dez Exerc�cios de permuta��es com repeti��o
- Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(ARARA\)?
Aux�lio: A letra \(A\) aparece 3 vezes e a letra \(R\) aparece 2 vezes.
Resposta: \(P_r(5;3+2)=\dfrac{5!}{3!2!}=10\) - Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(ULYSSES\)?
- Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(ULYSSES\) iniciando por U?
- Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(ULYSSES\) terminando por S?
- Quantos anagramas existem com as letras da palavra: \(ULYSSES\) iniciando por \(U\) e terminando por \(S\)?
- Quantos anagramas existem com as
letras da palavra \(AMA\)?
Aux�lio: \(p_1=n(A)=2\), \(p_2=n(M)=1\), \(N=P_r(3;2+1)\), \(P_r(p;p_1+p_2)= \dfrac{(p_1+p_2)!}{p_1!p_2!}\)
Resposta: \(N=\dfrac{3!}{2!1!}=3\) - Quantos anagramas existem com as letras da palavra \(AMAR\)?
Aux�lio: \(N=\dfrac{(p_1+p_2+p_3)!}{p_1!p_2!p_3!}, A=2, M=1, R=1\)
Resposta: \(N=\dfrac{4!}{2!1!1!}=12\) - Quantos anagramas existem com as letras da palavra \(ARARUNA\)?
Aux�lio: \(N=\dfrac{(p_1+p_2+p_3+p_4)!}{p_1!p_2!p_3!p_4!}\), \(A=3\), \(R=2\), \(N=1\), \(U=1\)
Resposta: \(N=\dfrac{7!}{3!2!1!1!}=420\) - O n�mero \(\pi\) com 10 algarismos (sem colocar a v�rgula) � indicado por \(3141592653\). Quantas s�o as permuta��es diferentes que podemos construir com estes 10 algarismos
Aux�lio: \(n(1)=n(3)=n(5)=2, n(2)=n(4)=n(6)=n(9)=1\)
Resposta: \(P_r(10,2+1+2+1+2+1+1)=\dfrac{10!}{8}=453600\) - Quantos anagramas existem com as
letras da palavra: \(MATEMATICA\)?
Aux�lio: A letra \(A\) aparece 3 vezes, a letra \(M\) aparece 2 vezes, a letra \(T\) aparece 2 vezes, a letras \(E\) aparece 1 vez , a letra \(I\) aparece 1 vez e a letra \(C\) aparece 1 vez.
Resposta: \(P_r(10;3+2+2+1+1+1)=\dfrac{10!}{3!2!2!1!1!1!}=151200\)
3 Dois Exerc�cios de permuta��es circulares
- De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa circular?
Aux�lio: \(N=P(n-1)=(n-1)!, n=5\)
Resposta: \(N=1(2)(3)(4)=24\) - De quantos modos distintos 5 pessoas podem sentar-se em volta de uma mesa retangular?
Aux�lio: \(N=P(n-1)=(n-1)!, n=5\)
Resposta: \(N=1(2)(3)(4)=24\)
4 Trinta e tr�s Exerc�cios de combina��es simples
- Um indiv�duo possui 25 livros diferentes. De quantas formas distintas ele poder� empacotar tais livros em grupos de 6 livros?
- Quantos
grupos de 3 pessoas podem ser montados com 8 pessoas?
Aux�lio: \(C=C(m,p)=\dfrac{m!}{p!(m-p)!}; m=8,p=3\)
Resposta: \(C=\dfrac{8!}{3!5!}=\dfrac{8(7)(6)}{1(2)(3)}=56\) - Quantos grupos de 2 pessoas podem ser montados com 1000 pessoas?
Aux�lio: \(C=C(m,p)=\dfrac{m!}{p!(m-p)!}, m=1000, p=2\)
Resposta: \(C=\dfrac{1000!}{2!998!}=\dfrac{1000{\times}999}{2}=499500\) - Quantas combina��es com 4 elementos podem ser montadas com as 10
primeiras letras do alfabeto?
Aux�lio: \(C=C(m,p)=\dfrac{m!}{p!(m-p)!}, m=10, p=4\)
Resposta: \(C=\dfrac{10!}{4!6!}=\dfrac{10(9)(8)(7)}{1(2)(3)(4)}=210\) - Quantas combina��es com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre comecem pela letra \(A\)?
Aux�lio: \(C=C(m_1,p_1).C(m-m_1,p-p_1), m=10, p=4, m_1=1, p_1=1\)
Resposta: \(C=C(1,1).C(9,3)=\dfrac{1(9)(8)(7)}{6}=84\) - Quantas
combina��es com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que sempre estejam juntas as letras \(A\) e \(B\)?
Aux�lio: \(C=C(m_1,p_1).C(m-m_1,p-p_1), m=10, p=4, m_1=2, p_1=2\)
Resposta: \(C=C(2,2).C(8,2)=\dfrac{1{\times}8{\times}7}{2}=28\) - Quantas combina��es com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que n�o contenham nem as letras \(A\) e \(B\)?
Aux�lio: \(C=C(m_1,p_1).C(m-m_1,p-p_1), m=10, p=4, m_1=2, p_1=0\)
Resposta: \(C=C(2,0).C(8,4)=\dfrac{1{\times}8{\times}7{\times}6{\times}5}{24}=70\) - Quantas combina��es com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que somente uma das letras \(A\) ou \(B\) esteja presente, mas n�o as duas?
Aux�lio: \(C=C(m_1,p_1).C(m-m_1,p-p_1), m=10, p=4, m_1=2, p_1=1\)
Resposta: \(C=C(2,1).C(8,3)=\dfrac{2{\times}8{\times}7{\times}6}{6}=112\) - Quantas combina��es com 4 elementos podem ser montadas com as 10 primeiras letras do alfabeto, de tal forma que cont�m 2 dentre as 3 letras \(A\), \(B\) e \(C\)?
Aux�lio: \(C=C(m_1,p_1).C(m-m_1,p-p_1), m=10, p=4, m_1=3, p_1=2\)
Resposta: \(C=C(3,2).C(7,2)=\dfrac{3{\times}7{\times}6}{2}=63\) - Em uma sala existem 40 pessoas, 18 mulheres e 22 homens. Quantas comiss�es podem ser montadas nesta sala contendo 3 mulheres e 5 homens?
- Calcular o valor de \(m\) tal que \(5 C(m+1,3)=2 C(m+2,2)\).
- Quantos tri�ngulos podem ser tra�ados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?
- Quantos quadril�teros convexos podem ser tra�ados contendo pontos de duas retas paralelas, sabendo-se que em uma reta existem 6 pontos e na outra reta existem 5 pontos?
- Em uma classe com 16 pessoas, h� 10 homens e 6 mulheres. Consideremos \(H\) um certo homem e \(M\) uma certa
mulher. Quantos grupos podemos formar:
- com 4 homens e 2 mulheres?
- contendo \(H\) mas n�o \(M\)?
- contendo \(M\) mas n�o \(H\)?
- contendo \(H\) e \(M\)?
- contendo somente \(H\) ou somente \(M\)?
- Quantos n�meros diferentes maiores do que 100 e menores do que 1000 podem ser constru�dos com os algarismos 1,2,3,4,5 e 6, sendo:
- que cada algarismo aparece somente uma vez?
- que cada algarismo pode repetir at� 3 vezes?
- os n�meros pares sem repeti��o?
- os n�meros �mpares sem repeti��o?
- os n�meros pares com repeti��o?
- os n�meros �mpares com repeti��o?
- Para resolver um assunto entre 6 professores e 4 alunos, formamos comiss�es com 3 professores e 2 alunos. Quantas s�o as possibilidades?
Resposta: \(N=C(6,3){\times}C(4,2)=20{\times}6=120\) - Desejamos formar comiss�es de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comiss�es ter�o somente 1 professor?
- Desejamos formar comiss�es de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comiss�es ter�o somente 2 professores?
- Desejamos formar comiss�es de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comiss�es ter�o no m�nimo 2 professores?
- Desejamos formar comiss�es de 6 pessoas entre cinco pais de alunos e quatro professores. Quantas comiss�es ter�o no m�nimo 3 professores?
- Num plano existem 4
pontos, sendo que 3 deles s�o n�o colineares. Qual � o n�mero poss�vel de retas que passam por esses pontos?
Resposta: \(C(4,2)=6\) - Num plano colocamos n pontos, sendo que 3 deles s�o n�o colineares. Qual � o n�mero poss�vel de retas que passam por esses pontos?
Resposta: \(C(n,2)=n(n-1)/2\) - Quatro pontos s�o postos num plano, sendo que 3 deles s�o n�o colineares. Qual � o n�mero poss�vel de tri�ngulos constru�dos com esses pontos?
Aux�lio: \(C(3,2)=3\) tri�ngulos para cada ponto. - Qual � o n�mero de diagonais de um pol�gono regular de n lados?
Resposta: \(N=C(n,2)-n=n(n-1)/2-n=n(n-3)/2\) - Qual � o n�mero de diagonais de um cubo?
- Qual � o n�mero de diagonais de um prisma regular cuja base tem 5 lados?
- Qual � o n�mero de diagonais de um prisma regular cuja base tem 6 lados?
- Qual � o n�mero de diagonais de um prisma regular cuja base tem n lados?
- Com as 5 vogais: A,E,I,O,U, construir o conjunto que cont�m todas as combina��es tomadas 2 a 2.
- Com as letras: A,B,C,D,E,F,G e H, determinar o n�mero das permuta��es poss�veis que come�am por ABC.
Resposta: \(N=P(5)=120\). - Quantas digonais possui um dodec�gono?
Resposta: \(N=12{\times}9/2=54\) - Quantas digonais possui o tetraedro regular?
Resposta: \(N=0\) - Quantas digonais possui um prisma triangular regular?
Resposta: \(N=0\)
5 Dois Exerc�cios de combina��es com repeti��o
- Qual � o n�mero de combina��es com 4 elementos tomados com repeti��o de 7 livros.
Aux�lio: \(C_r=C_r(m,p)=C(m+p-1,p), m=7, p=4\)
Resposta: \(C_r=C_r(7,4)=C(7+4-1,4)=C(10,4)=210\) - Determinar o n�mero de combina��es com repeti��o de 4 objetos tomados 2 a 2.
Aux�lio: \(C_r=C_r(m,p)=C(m+p-1,p), m=4, p=2\)
Resposta: \(C_r=C_r(4,2)=C(4+2-1,2)=C(5,2)=10\)
6 Doze Exerc�cios de arranjos simples
- Quantos n�meros diferentes com 1 algarismo, podemos formar com os algarismos: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\).
Resposta: \(N_1=A(9,1)=9\) - Quantos n�meros distintos com 2 algarismos diferentes, podemos formar com os d�gitos: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\).
Aux�lio: Os n�meros iniciados por 0 n�o ter�o 2 d�gitos e sua quantidade corresponde a \(A(9,1)\).
Resposta: \(N_2=A(10,2)-A(9,1)=10{\times}9-9=90-9=81\) - Quantos n�meros distintos com 3 algarismos diferentes, podemos formar com os d�gitos: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\).
Aux�lio: Os n�meros iniciados por 0 n�o ter�o 3 d�gitos e sua quantidade corresponde a \(A(9,2)\).
Resposta: \(N_3=A(10,3)-A(9,2)=720-72=648\) - Quantos n�meros distintos com 4 algarismos diferentes, podemos formar com: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\).
Aux�lio: Os n�meros iniciados por 0 n�o ter�o 3 d�gitos e sua quantidade corresponde a \(A(9,3)\).
Resposta: \(N_4=A(10,4)-A(9,3)=5040-504=4536\) - Quantos n�meros distintos menores que 10000 podem ser formados com algarismos diferentes da cole��o: \(\{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\}\).
Resposta: \(N=N_1+N_2+N_3+N_4=9+81+648+4536=5274\) - No sistema decimal de numera��o, quantos n�meros existem com 4 algarismos com 2 algarismos repetidos?
Aux�lio: A quantidade de n�meros distintos com 4 algarismos � 4536 e a quantidade total de n�meros (com repeti��o ou n�o) com 4 algarismos � 9000.
Resposta: \(N=9000-4536=4464\) - Com as 5 vogais: \(A\), \(E\), \(I\), \(O\), \(U\), obter o conjunto solu��o que cont�m todos os arranjos tomados 2 a 2.
- Usando-se apenas os algarismos \(1,3,5,7,9\) quantos n�meros com 3 algarismos podem ser montados?
Aux�lio: \(A=A(m,p)=\dfrac{m!}{(m-p)!}, m=5, p=3\)
Resposta: \(A=\dfrac{5!}{2!}=60\) - Usando-se os
algarismos \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\) quantos n�meros com 4 algarismos podem ser montados?
Aux�lio: \(A=A(m,p)=\dfrac{m!}{(m-p)!}, m=10, p=4\)
Resposta: \(A=\dfrac{10!}{6!}=5040\) - Usando-se as 26 letras do alfabeto: \(A\), \(B\), \(C\), \(D,...\), \(Z\) quantos arranjos distintos com 3 letras podem ser montados?
Aux�lio: \(A=A(m,p)=\dfrac{m!}{(m-p)!}, m=26, p=3\)
Resposta: \(A=\dfrac{26!}{23!}=26.25.24=15600\) - Com 26 letras do
alfabeto: \(A\), \(B\), \(C\), \(D,...\), \(Z\) e os algarismos \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,\) quantas placas de carros podem ser escritas contendo 3 letras seguidas de 4 algarismos?
Aux�lio: \(A=A(m,p)=m!/(m-p)!, m=26, p=3, n=10, q=4\)
Resposta: \(A=(26!/23!).(10!/6!)=78624000\) - Consideremos um baralho contendo 52 cartas distintas.
- Quantos pares distintos podem ser formados?
- Quantas trincas distintas podem ser formados?
- Quantas quadras distintas podem ser formados?
- Quantos pares distintos podem ser formados tendo pelo menos um �s?
- Quantos pares distintas podem ser formados tendo pelo menos um �s e um Rei?
- Quantas trincas distintas podem ser formados tendo pelo menos um �s?
- Quantas trincas distintas podem ser formados tendo pelo menos um �s e um Rei?
7 Dezessete Exerc�cios de arranjos com repeti��o
- Quantos n�meros com 4 algarismos podemos formar com os algarismos: \(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9\).
Resposta: \(A_r(10,4)=10^4=10000\) - Quantas palavras com 3 letras podemos formar com as 26 letras de nosso alfabeto?
Resposta: \(A_r(26,3)=26^3=17576\) - Quantas placas s�o poss�veis em nosso sistema de tr�nsito, se em todas devem aparecer 3 letras seguidas por 4 n�meros?
Resposta: \(N=A_r(26,3) \cdot A_r(10,4)=175760000\) - No sistema
decimal de numera��o, quantos n�meros existem com 1 algarismo?
Resposta: \(N_1=A_r(10,1)-A_r(10,0)=10-1=9\) - No sistema decimal de numera��o, quantos n�meros existem com 2 algarismos (repetidos ou n�o)?
Aux�lio: S�o \(10=A_r(10,1)\) os n�meros com 2 d�gitos iniciados por 0.
Resposta: \(N_2=A_r(10,2)-A_r(10,1)=10^2-10^1=100-10=90\) - No sistema decimal de numera��o, quantos n�meros existem com 3 algarismos (repetidos ou n�o)?
Aux�lio: Existem \(100=A_r(10,2)\) n�meros com 3 d�gitos iniciados por 0.
Resposta: \(N_3=A_r(10,3)- A_r(10,2)=10^3-10^2=900\) - No sistema decimal de numera��o, quantos n�meros existem com 4 algarismos (repetidos ou n�o)?
Aux�lio: S�o \(100=A_r(10,3)\) os n�meros com 4 d�gitos iniciados por 0.
Resposta: \(N_4=A_r(10,4)-A_r(10,3)=10^4-10^3=9000\) - No sistema decimal de numera��o, quantos n�meros existem com n algarismos (repetidos ou
n�o)?
Aux�lio: S�o \(A_r(10,n-1)\) os n�meros com \(n-1\) d�gitos iniciados por 0.
Resposta: \(N_4=A_r(10,n)-A_r(10,n-1)=10^n-10^{n-1}=9 \cdot 10^{n-1}\) - Num sistema de numera��o com a base tendo b algarismos, quantos n�meros existem com n algarismos (repetidos ou n�o)?
Aux�lio: S�o \(A_r(b,n-1)\) os n�meros com \(n-1\) d�gitos iniciados por 0.
Resposta: \(N_4=A_r(b,n)-A_r(b,n-1)=b^n-b^{n-1}=(b-1)b^{n-1}\) - No sistema decimal de numera��o, existem quantos n�meros pares com 4 algarismos (repetidos ou n�o)?
- No sistema decimal de numera��o, existem quantos n�meros �mpares com 4 algarismos (repetidos ou n�o)?
- No sistema decimal de numera��o, existem quantos n�meros pares diferentes com 4 algarismos?
- No sistema decimal de numera��o, existem quantos n�meros �mpares diferentes com 4 algarismos?
Resposta: \(N=5.A(8,3)=1680\) - No sistema decimal de numera��o, existem quantos n�meros pares com 4 algarismos (repetidos ou n�o)?
- No sistema decimal de numera��o, existem quantos n�meros pares com 4 algarismos (repetidos ou n�o)?
- Quantos n�meros menores do que 10.000, podem ser formados com os algarismos \(1,2,3,4\)?
Aux�lio: \(N=A_r(4,1)+A_r(4,2)+A_r(4,3)+A_r(4,4)\)
Resposta: \(N=4^1+4^2+4^3+4^4= 4+16+64+256=340\) - Quantos n�meros de 3 d�gitos podem ser formados com 5 algarismos?
Aux�lio: F�rmula \(A_r(m,p)=m^p, m=5, p=3\)
Resposta: \(A_r=5^3=125\)
8 Nove Exerc�cios de arranjos condicionais
- Quantos arranjos dos elementos \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\), \(G\) tomados 4 a 4, come�am com duas letras dentre \(A\), \(B\) e \(C\)?
Aux�lio: \(N=A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1), m=7, p=4, m_1=3, p_1=2\)
Resposta: \(N=A(3,2).A(4,2)=3!/1! \cdot 4!/2!=72\) - Com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, tomados 6 a 6, quantos n�meros
podem ser formados tendo nas duas posi��es iniciais algarismos que s�o n�meros �mpares?
Aux�lio: \(N=A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1), m=10, p=6, m_1=5, p_1=2\)
Resposta: \(N=A(5,2).A(5,4)=20{\times}120=2400\) - Dentre os arranjos de 5 letras: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), tomados 3 a 3, quantos cont�m a letra \(E\)?
Aux�lio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=5\), \(p=3\), \(m_1=1\), \(p_1=1\)
Resposta: \(N=(3-1+1).A(1,1).A(4,2)=36\) - Dentre os arranjos de 5 letras: \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), tomados 3 a 3, quantos cont�m juntas as duas letras \(A\) e \(B\)?
Aux�lio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=5\), \(p=3\), \(m_1=2\), \(p_1=2\)
Resposta: \(N=(4-2+1).A(2,2).A(3,1)=18\) - Dos arranjos de 6 letras: \(A,B,C,D,E,F\), tomados 4 a 4, quantos cont�m a letra \(A\)?
Aux�lio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=6\), \(p=4\), \(m_1=1\), \(p_1=1\)
Resposta: \(N=(4-1+1).A(1,1).A(5,3)=240\) - Dentre os arranjos das letras: \(A,B,C,D,E,F\), tomados 4 a 4, quantos cont�m juntas 2 das 3 letras \(A\), \(B\) e \(C\)?
Aux�lio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=6\), \(p=4\), \(m_1=3\), \(p_1=2\)
Resposta: \(N=(4-2+1).A(3,2).A(3,2)=108\) - Dos arranjos das letras: \(A,B,C,D\), tomados 3 a 3, quantos cont�m a letra \(A\)?
Aux�lio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=4\), \(p=3\), \(m_1=1\), \(p_1=1\)
Resposta: \(N=(3-1+1).A(1,1).A(3,2)=18\) - Dentre os arranjos das letras: \(A,B,C,D\), tomados 3 a 3, quantos come�am pelas letras \(A\) e \(B\)?
Aux�lio: \(N=A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1), m=4, p=3, m_1=2, p_1=2\)
Resposta: \(N=A(2,2).A(2,1)=4\) - Dentre os arranjos de 4 letras: \(A\), \(B\), \(C\) e \(D\), tomados 3 a 3, quantos cont�m juntos as letras \(A\) e
\(B\)?
Aux�lio: \(N=(p-p_1+1).A(m_1,p_1).A(m-m_1,p-p_1)\), \(m=4\), \(p=3\), \(m_1=2\), \(p_1=2\)
Resposta: \(N=(3-2+1).A(2,2).A(2,1)=8\)
9 Dezesseis Exerc�cios com o fatorial
- Se \(C(n,2)=28\), qual � o valor de \(n\)?
Resposta: \(n=8\). - Existe um n�mero \(n\) natural tal que \(C(n,3)=C(n,2)\)?
- Usando o desenvolvimento binomial de \((1+1)^n\), demonstrar que:
\(C(n,0)+C(n,1)+C(n,2)+...+C(n,n)=2^n\)
- Usar o PIF (Princ�pio de Indu��o Matem�tica), para demonstrar que:
\((p+1)C(n,p+1)=(n-p)C(n,p)\)
- Usar o PIF (Princ�pio de Indu��o Matem�tica), para mostrar que:
\(n \cdot C(n-1,p)=(n-p) \cdot C(n,p)\)
- Se \(A(n,2)=42\), qual � o valor de \(n\)?
Resposta: \(n=7\). - Justificar a afirma��o: Se \(n\) � um n�mero primo e \(p<n\), ent�o \(n\) � um divisor de \(C(n,p)\).
- Usar o PIF (Princ�pio de Indu��o Matem�tica), para
mostrar que:
\(2{\cdot}4{\cdot}6{\cdot}8{\cdot}10�...2n=(2n)n!\)
- Usar o PIF (Princ�pio de Indu��o Matem�tica), para mostrar que:
\(1{\cdot}3{\cdot}5{\cdot}7{\cdot}9\cdots{\cdot}(2n-1)=\dfrac{(2n)!}{2^n n!}\)
- Usar o PIF (Princ�pio de Indu��o Matem�tica), para mostrar que:
\(2{\cdot}6{\cdot}10{\cdot}14{\cdot}18{\cdot}22\cdots{\cdot}(4n-2)=\dfrac{(2n)!}{n!}\)
- Usar o PIF (Princ�pio de Indu��o Matem�tica), para demonstrar que para \(k\leq p\) vale a
igualdade
\(A(n,k)=\dfrac{A(n,p)}{A(n-k,p-k)}\)
- Usar o PIF (Princ�pio de Indu��o Matem�tica), para demonstrar que para \(k \leq n\), vale a igualdade: \(Pr(n;k+(n-k))=C(n,k)\).
- Usar o PIF (Princ�pio de Indu��o Matem�tica), para mostrar que:
\(1(1!)+2(2!)+3(3!)+...+n(n!)=(n+1)!-1\)
- Demonstrar que para todo n�mero \(k\) natural: \(\dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!} =\dfrac{k}{(k+1)!}\).
- Demonstrar que:
\(\dfrac{1/2!+2/3!+3/4!+...+n}{(n+1)!}=\dfrac{1}{(n+1)!}\)
Aux�lio: Como esta � uma s�rie telesc�pica, em que cada termo pode ser escrito como a diferen�a de dois outros que se anulam em sequ�ncia, basta usar o fato que para todo \(k\leq n\), vale a rela��o: \(\dfrac{k}{(k+1)!}=\dfrac{1}{k!} - \dfrac{1}{(k+1)!}\). - Demonstrar que:
\(A(n,p) = p[A(n-1,p-1)+A(n-2,p-1)+...+A(p-1,p-1)]\)
10 Tr�s Exerc�cios com a regra do produto
- Numa festa, 3 meninos devem ser apresentados a 5
meninas. De quantos modos poss�veis eles podem ser apresentados?
Aux�lio: \(N=p{\times}q, p=3, q=5\)
Resposta: \(N=3{\times}5=15\) - Existem quatro estradas ligando duas cidades \(A\) e \(B\), e tr�s estradas ligando as cidades \(B\) e \(C\). De quantos modos diferentes uma pessoa pode se deslocar da cidade \(A\) at� a cidade \(C\)?
Aux�lio: \(N=p{\times}q, p=4, q=3\)
Resposta: \(N=4{\times}3=12\) - Uma sala possui 3 portas. Quantas
possibilidades existem para que uma pessoa possa entrar e sair desta sala?
Aux�lio: \(N=p{\times}q, p=3, q=3\)
Resposta: \(N=3{\times}3=9\)