Em um poligono regular a medida de um angulo interno e o quintoplo da medida de um angulo externo

O ângulo interno é aquele arco formado pelos dois lados de um polígono, de forma que ele esteja contido na figura.

Ou seja, o ângulo interno é aquele arco que se constitui pela intersecção de dois lados do polígono, estando localizado dentro dele.

Cada vértice do polígono corresponde a um ângulo interno e a um ângulo externo, ambos complementares, ou seja, somam 180º.

Por exemplo, se o ângulo interno de um triângulo é 50º, seu ângulo externo correspondente naquele mesmo vértice mede 130º.

Neste ponto, devemos lembrar que um polígono é uma figura geométrica bidimensional formada por segmentos não colineares consecutivos, constituindo um espaço fechado.

Deve-se notar que se algum dos ângulos internos de um polígono for maior que 180º ou π radianos, o polígono é côncavo. Por outro lado, se todos os ângulos internos forem menores que 180º, o polígono é convexo (veja a imagem abaixo).

Da mesma forma, se todos os ângulos internos de um polígono são iguais, estamos diante de um polígono equiangular.

Tipos de ângulos

Soma e medida dos ângulos internos

Para saber quanto somam os ângulos internos de um polígono simples (seus lados não se cruzam), devemos seguir a seguinte fórmula.

Na imagem acima, n é o número de lados dos lados do polígono e θ é o ângulo interno.

Da mesma forma, tendo um polígono regular, que é aquele cujos lados e ângulos internos medem o mesmo, a medida de cada ângulo interno pode ser calculada com esta fórmula:

Exemplo de ângulo interno

Suponha que estejamos na frente de um pentágono regular. Qual será a soma dos ângulos internos e quanto cada um desses ângulos irá medir?

Ou seja, a soma dos ângulos internos de um pentágono é 540º, e se o polígono for regular, cada ângulo interno medirá 108º.

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QUESTÕES DE TREINAMENTO 1) Considerando um hexágono regular, determine: a) gênero b) Soma dos ângulos internos c) Soma dos ângulos externos d) Número de diagonais que partem de cada vértice e) Número total de diagonais f) Cada ângulo Interno g) Cada ângulo externo 2) Quanto mede cada ângulo interno de um hexágono regular 3) Quanto vale a soma dos ângulos internos de um dodecágono regular 4) Quantas diagonais partem de cada vértice de um icoságono convexo 5) Quantas diagonais possui um undecágono convexo 6) Quanto vale cada ângulo externo de um octógono regular 7) Qual o polígono cuja soma dos ângulos internos vale 3.240º 8) Qual o polígono no qual, de cada vértice, partem 12 diagonais 9) Qual o polígono regular cujo ângulo externo vale: a) 30º b) 24º 10) Qual o polígono regular cujo ângulo interno vale: a) 135º b) 168º 11) Quanto mede cada lado de um dodecágono regular de perímetro 60 cm 12) Os ângulos interno e externo de um polígono regular são dados, respectivamente, por 7x – 5º e 3x – 15º. Qual o perímetro desse polígono, visto que cada lado mede 4 cm 13) As somas dos ângulos internos e externos de um polígono convexo são, respectivamente, dadas por 10x – 80º e 2x + 20º. Qual a metade de cada ângulo externo 14) Qual o polígono regular em que um ângulo externo equivale a 124 da soma de todos os ângulos internos 15) Um dos ângulos internos de um polígono regular é expresso por 5x – 7º, enquanto que um ângulo externo é dado por 3x + 3º. Com relação a esse polígono, é correto afirmar que: a) Ao menos uma de suas diagonais passa pelo centro b) Possui 9 diagonais c) A soma de seus ângulos internos é 90º d) De cada um de seus vértices partem 2 diagonais. 16) Em um polígono regular, o ângulo interno excede o externo em 90º. Quanto vale a soma dos ângulos internos desse polígono 17) Em um polígono regular, a soma de um ângulo interno com todos os ângulos externos dá 520º. Calcule o gênero desse polígono 18) Em um polígono convexo, a soma dos ângulos externos é inferior em 1440º à soma dos ângulos internos. Qual é esse polígono 19) Encontre três polígonos de gêneros consecutivos cuja soma de todos os seus ângulos internos, juntos, vale 3240º. 20) O polígono regular convexo cujo ângulo interno é 72 do seu ângulo externo é o: a) icoságono b) dodecágono c) decágono d) eneágono e) octógono 21) A razão entre os ângulos internos de dois polígonos regulares é 45 e um deles tem o dobro do número lados do outro. Quais são esses polígonos 22) Em um polígono regular, a soma de todos os ângulos internos, exceto um deles, é 2184º. Qual é o polígono 23) Em um polígono regular, a soma de todos os ângulos internos, exceto dois deles, vale 480º. Qual é o polígono 24) Em um quadrilátero convexo, os ângulos são expressos por 3x + 50º, 4x – 20º, 3x – 10º e x + 10º. Determine-os 25) Os ângulos internos de um pentágono convexo são dados por x + 25º, 3x – 5º, 2x + 10º, 2x – 10º, 4x + 20º. Determine-os 26) Em uma linha poligonal aberta e convexa ABCDE, o primeiro e último segmentos que a compõe são paralelos. Se �̂� = 140º e �̂� = 120º, determine a medida do ângulo 𝐶.̂ 27) Determine as medidas dos ângulos internos de um pentágono convexo, sabendo-se que eles são proporcionais a 1, 32, 23, 76 e 53. 28) Os ângulos internos de um pentágono convexo são expressos em graus por números pares consecutivos. Determine a medida do maior ângulo. 29) Em um hexágono convexo ABCDEF, os lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐸𝐷̅̅ ̅̅ são paralelos. Sabendo-se que 𝐴 ̂ = 𝐷 ̂ = 120º, �̂� = 140º e �̂� = 130º, determine as medidas dos ângulos �̂� e �̂�. 30) Em um pentágono convexo, os lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ e 𝐴𝐸̅̅ ̅̅ são congruentes �̂�= 100º, �̂� = 110º, e �̂�= 100º. Determine as medidas dos ângulos �̂� E �̂� , sabendo-se que a diagonal 𝐸𝐵̅̅ ̅̅ é paralela ao lado 𝐷𝐶̅̅ ̅̅ . 31) Determine o perímetro de um undecágono regular de lado igual a 6 cm. 32) Os lados de um quadrilátero de perímetro 90 cm, são proporcionais a 3, 5, 6 e 4. Determine-os 33) Um octógono regular é isoperímetro de um decágono regular de 4 cm. Determine a medida do lado do primeiro polígono. 34) Em um pentágono convexo ABCDE, sabe-se que �̂� = 130º, �̂� = 100º e �̂� = 60º. Se 𝐸𝐶̅̅̅̅ é bissetriz dos ângulos �̂� e �̂�, determine a medida do ângulo 𝐴.̂ 35) Qual polígono cujo número de diagonais é o quíntuplo do número de lados 36) Qual polígono cujo gênero é o dobro de diagonais 37) Qual o polígono cujo gênero é 2 9 do número de diagonais 38) Qual o polígono cujo número de lados equivale a 2 13 do número de diagonais 39) Qual o polígono convexo cujo número de lados equivale a 1 6 de diagonais 40) A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono regular é 2160º. Então o número de diagonais deste poígono, que não passam pelo seu centro é: a) 50 b) 60 c) 70 d) 80 e) 90 41) Quantas diagonais partem de cada vértice de um polígono regular em que a medida de um ângulo interno é igual à medida de um ângulo externo 42) Os ângulos externo e interno de um polígono regular são proporcionais a 2 e 7. Quanto vale a razão entre o número de diagonais que partem de cada vértice e o número total de diagonais 43) Encontre dois polígonos convexos de gêneros consecutivos, que possuam, juntos, 62 diagonais. 44) Qual polígono convexo cuja soma do gênero com o total de diagonais dá 28 45) Qual polígono convexo cujo número de diagonais excede em 7 unidades o gênero 46) Os ângulos interno e externo de um polígono regular diferem de 132º. Quantas diagonais passam pelo centro desse polígono 47) Em um polígono regular, o dobro da medida de um ângulo interno excede o óctuplo da medida de um externo em um ângulo raso. Se de um dos vértices desse polígono podemos traçar x diagonais ao todo, quantas dessas x diagonais têm medidas distintas 48) Qual o polígono convexo no qual a terça parte do gênero, acrescida de 5 9 do número total de diagonais, dá 34 49) Encontre dois polígonos convexos cujos gêneros diferem de 2 unidades e cujos números totatis de diagonais diferem de 17 unidades. 50) A soma dos ângulos internos de um polígono regular vale 1440º. Quantas diagonais não passam pelo centro desse polígono 51) A soma dos 𝑛 – 2 ângulos internos de um polígono regular de gênero 𝑛 é 980º. Quantas diagonais não passam pelo centro desse polígono 52) Considerando-se um dodecágono regular, ABCD...LM, determine: a) O ângulo formado pelas bissetrizes internas de �̂� 𝑒 �̂�. b) O ângulo formado pelas mediatrizes dos lados 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝑒 𝐵𝐶.̅̅ ̅̅̅ c) O ângulo formado pela bissetriz de �̂� com a mediariz de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ . d) O ângulo formado pelas bissetrizes de �̂� 𝑒 𝐶.̂ e) O ângulo formado pelas mediatrizes de 𝐴𝐵̅̅ ̅̅ 𝑒 𝐶𝐷.̅̅ ̅̅ ̅ f) O ângulo formado pela bissetriz de �̂� com a mediatriz de 𝐶𝐷̅̅ ̅̅ . 53) Em um polígono regular, o ângulo ineterno é o dobro do ânfulo formado pelas bissetrizes internas de dois ângulos consecutivos desse polígono. Qual o gênero do polígono 54) As mediatrizes de dois lados consecutivos de um polígono formam um ângulo de 20º. Quantas diagonais tem esse polígono 55) Em um pentágono regular ABCDE, determine a medida do ângulo 𝐶�̂�𝐷. 56) Em um polígono ABCDE..., determine a diagonal 𝐴𝐶̅̅ ̅̅ forma 20º com o lado 𝐴𝐵.̅̅ ̅̅ ̅ Determine a medida do ângulo formado pela bissetriz interna de �̂� com a referida diagonal. 57) Em um polígono regular ABCD..., traçam-se todas as diagonais possíveis do vértice A. O ângulo formado pela primeira com a última diagonal é igual ao dobro do ângulo exerno desse polígono. Qual é esse polígono 58) Em um polígono regular ABCDE..., o ângulo

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Qual é a medida de um ângulo externo dos polígonos é de um ângulo interno?

Qual a medida do ângulo interno é a do ângulo externo de um pentágono regular?

Qual a medida do ângulo interno é do ângulo externo de um octógono regular?

Qual é a soma dos ângulos externos de um polígono regular?