Toda reta não-vertical (reta que possui inclinação diferente de 90º) possui uma equação que representa todos os seus pontos. Essa equação é demonstrada através de um ponto pertencente a essa reta mais o seu coeficiente angular (m).
Considere uma reta s não vertical que passa pelo ponto B (x0, y0) de coeficiente igual a m.
O outro ponto A(x,y), pertencente ao plano cartesiano, irá pertencer a reta s se o cálculo do coeficiente angular (m) da reta s for igual:
m = ∆y =
y – y0∆x x – x0
Podemos representar essa igualdade da seguinte forma:
m =
y – y0x – x0
y – y0 = m (x – x0)
Essa equação formada é chamada de equação fundamental da reta.
Dessa forma podemos concluir que a equação fundamental da reta é obtida por um ponto pertencente a essa reta mais o seu coeficiente angular, ficando sempre em função de outro ponto.
Exemplo 1:
Determine a equação fundamental da reta que passa pelo P(1/4,-3,2) de coeficiente angular m = -1/2.
Os dados oferecidos no enunciado são:
P(x0, y0)
= (1/4,-3,2)
m = -1/2
Substituindo-os na equação fundamental da reta temos:
y – y0 = m (x – x0)
y – (-3/2) = -1/2 (x – 1/4)
y + 3/2 = -1/2 (x – 1/4)
2(y + 3/2) = -x + 1/4
2y + 3 = -x + 1/4
=
-4x + 14 4
4x + 8y + 11 = 0
Exemplo 2:
Represente por meio de uma equação a reta que passa por esses dois pontos A(1,8) e B(4,2).
Foi dito na explicação acima que a equação fundamental de uma reta é determinada por um ponto pertencente à reta e o seu coeficiente angular. O ponto foi dado no enunciado, falta calcular o seu coeficiente angular.
m =
yB - yAxB – xA
m =
2 – 8=
- 6 = - 2
4 –
1 3
Escolha um dos dois pontos e monte a equação fundamental da reta que passa pelos pontos A e B.
Ponto A (1,8) e m = -2
y – y0 = m (x – x0)
y – 8 = - 2 (x – 1)
y – 8 = - 2x + 2
2x + y – 10 = 0.
A equação da reta pode ser determinada representando-a no plano cartesiano (x,y). Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos pertencentes a reta podemos determinar sua equação.
Também é possível definir uma equação da reta a partir de sua inclinação e das coordenadas de um ponto que lhe pertença.
Equação geral da reta
Dois pontos definem uma reta. Desta forma, podemos encontrar a equação geral da reta fazendo o alinhamento de dois pontos com um ponto (x,y) genérico da reta.
Sejam os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), não coincidentes e pertencentes ao plano cartesiano.
Três pontos estão alinhados quando o determinante da matriz associada a esses pontos é igual a zero. Assim devemos calcular o determinante da seguinte matriz:
Desenvolvendo o determinante encontramos a seguinte equação:
(ya - yb) x + (xb - xa) y + xayb - xbya = 0
Vamos chamar:
a = (ya - yb)
b = (xb - xa)
c = xayb - xbya
A equação geral da reta é definida como:
ax + by + c = 0
Onde a, b e c são constantes e a e b não podem ser simultaneamente nulos.
Exemplo
Encontre uma equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1, 8) e B(-5, -1).
Primeiro devemos escrever a condição de alinhamento de três pontos, definindo o matriz associada aos pontos dados e a um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta.
Desenvolvendo o determinante, encontramos:
(8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0
A equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1,8) e B(-5,-1) é:
9x - 4y + 41 = 0
Para saber mais, leia também:
- Matriz
- Determinante
- Teorema de Laplace
Equação reduzida da reta
Coeficiente angular
Podemos encontrar uma equação da reta r conhecendo a sua inclinação (direção), ou seja o valor do ângulo θ que a reta apresenta em relação ao eixo x.
Para isso associamos um número m, que é chamado de coeficiente angular da reta, tal que:
m = tg θ
O coeficiente angular m também pode ser encontrado conhecendo-se dois pontos pertencentes a reta.
Como m = tg θ, então:
Exemplo
Determine o coeficiente angular da reta r, que passa pelos pontos A(1,4) e B(2,3).
Sendo,
x1 = 1 e y1 = 4
x2 = 2 e y2 = 3
Conhecendo o coeficiente angular da reta m e um ponto P0(x0,y0) pertencente a ela, podemos definir sua equação.
Para isso vamos substituir na fórmula do coeficiente angular o ponto conhecido P0 e um ponto P(x,y) genérico, também pertencente a reta:
Exemplo
Determine uma equação da reta que passa pelo ponto A(2,4) e tem coeficiente angular 3.
Para encontrar a equação da reta basta substituir os valores dados:
y - 4 = 3 (x - 2)
y - 4 = 3x - 6
-3x + y + 2 = 0
Coeficiente linear
O coeficiente linear n da reta r é definido como o ponto em que a reta intercepta o eixo y, ou seja o ponto de coordenadas P(0,n).
Utilizando esse ponto, temos:
y - n = m (x - 0)
y = mx + n (Equação reduzida da reta).
Exemplo
Sabendo que a equação da reta r é dada por y = x + 5, identifique seu coeficiente angular, sua inclinação e o ponto em que a reta intercepta o eixo y.
Como temos a equação reduzida da reta, então:
m = 1
Sendo m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º
O ponto de interseção da reta com o eixo y é o ponto P(0,n), sendo n=5, então o ponto será P(0,5)
Leia também Cálculo do coeficiente angular
Equação segmentária da reta
Podemos calcular o coeficiente angular usando o ponto A(a,0) que a reta intercepta o eixo x e o ponto B(0,b) que intercepta o eixo y:
Considerando n = b e substituindo na forma reduzida, temos:
Dividindo todos os membros por ab, encontramos a equação segmentária da reta:
Exemplo
Escreva na forma segmentária, a equação da reta que passa pelo ponto A(5,0) e tem coeficiente angular 2.
Primeiro vamos encontrar o ponto B(0,b), substituindo na expressão do coeficiente angular:
Substituindo os valores na equação, temos a equação segmentária da reta:
Leia também sobre:
- Geometria analítica
- Plano Cartesiano
- Distância entre dois pontos
- Cônicas
- Reta
- Retas Paralelas
- Retas Perpendiculares
- Segmento de Reta
- Função Linear
- Função Afim
- Exercícios de Função Afim
Exercícios Resolvidos
1) Dada a reta que tem a equação 2x + 4y = 9 , determine seu coeficiente angular.
Ver Resposta
4y = - 2x + 9
y = - 2/4 x + 9/4
y = - 1/2 x + 9/4
Logo m = - 1/2
2) Escreva a equação da reta 3x + 9y - 36 = 0 na forma reduzida.
Ver Resposta
y = -1/3 x + 4
3) ENEM - 2016
Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas.
Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que
o
objetivo fosse alcançado.
Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá
a) diminuir em 2 unidades.
b) diminuir em 4 unidades.
c) aumentar em 2 unidades.
d) aumentar em 4 unidades.
e) aumentar em 8 unidades.
Ver Resposta
Primeiro devemos encontrar o valor inicial do coeficiente angular da reta B.
Lembrando que m= tg Ɵ, temos:
m1 = 12/6 = 2
Para passar pelo ponto de altura máxima da trajetória de A, o coeficiente angular da reta B terá que ter o seguinte valor:
m2 = 16/4 = 4
Assim o coeficiente angular da reta B terá que passar de 2 para 4, logo aumentará 2 unidades.
Alternativa c: aumentar 2 unidades
Veja também: Exercícios sobre Geometria Analítica
Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011.