Autor: Maurilio Santos
Institui��o: Col�gio Estadual Dom Bosco
Munic�pio: Campo Mour�o
Conte�do: Medidas dos �ngulos externos n�o adjacentes de um tri�ngulo
S�rie: 7� / 8� ano
Este material foi elaborado como requisito de avalia��o final da oficina Geogebra, sob orienta��o da docente, assessora pedag�gica Giselli Mocelin Martins, da equipe da Coordena��o Regional de Tecnologia na Educa��o do N�cleo Regional de Educa��o, de Campo Mour�o.
Justificativa
A matem�tica desenvolvida em sala de aula n�o deve simplesmente ser ditada por n�s professores como verdades absolutas, sem possibilitar ao aluno a comprova��o dessas verdades.
Nesse sentido, para melhor compreender os conte�dos de Geometria, o aluno pode dispor de materiais manipulativos e de softwares educacionais, como o GeoGebra - recurso utilizado
nesta proposta de aula.
Objetivos
Refor�ar o conte�do de soma das medidas dos �ngulos internos de um tri�ngulo.
Desenvolvimento metodol�gico
Inicialmente fa�a a exposi��o te�rica do conte�do. Em seguida, aplique as atividades de aprendizagem aos alunos, com a utiliza��o do transferidor, envolvendo uma breve revis�o do conte�do de medida de �ngulos. Posteriormente, acompanhe os alunos no desenvolvimento de atividades referentes �
constru��o de tri�ngulos.
Depois, utilizando l�pis, r�gua e transferidor, os alunos construir�o tri�ngulos e medir�o os �ngulos internos registrando os seus valores numa opera��o de soma, a fim de compreender que cada �ngulo externo � igual � soma dos �ngulos internos n�o adjacentes.
Para refor�ar o conte�do, utilize o software GeoGebra para construir um tri�ngulo de v�rtices m�veis e obter suas pr�prias conclus�es a respeito do conte�do em quest�o. Para isso, utilize o passo
a passo desenvolvido neste plano de aula.
Recursos
L�pis, borracha, r�gua, l�pis de cor, transferidor, caderno, computador com o software GeoGebra instalado.
Avalia��o
A avalia��o ocorrer� em v�rios momentos, continuamente, de forma que o professor e o aluno percebam os conhecimentos adquiridos no processo de ensino e aprendizagem; o aluno identifique as suas dificuldades; e o professor, por sua vez, retome o conte�do num processo de revis�o que venha a sanar os d�ficits de aprendizagem.
Refer�ncias
JAKUBOVIC, Jos�; LELLIS, Marcelo. Matem�tica na medida certa: 7� s�rie. 3. ed. S�o Paulo: Scipione, 1998.
PARAN�. Secretaria de Estado da Educa��o. Diretrizes Curriculares da a Educa��o B�sica. Matem�tica. Curitiba: Seed, 2008.
Passo a passo da atividade no software GeoGebra
Propriedade:Em qualquer tri�ngulo, cada �ngulo externo � a soma dos �ngulos internos n�o adjacentes.
Atividade: Demonstrar a propriedade e conclui-la de tal forma que o aluno compreenda que em qualquer tri�ngulo cada �ngulo externo � a soma dos �ngulos internos n�o adjacentes.
1. Clicar no bot�o 3 e construir um segmento definido por dois pontos: Segmento AB
2. Clicar no bot�o 5 e, utilizando a ferramenta
Pol�gono, construir o tri�ngulo ACD.
3. Clicar na extremidade de AB em A em C (exterior ao segmento AB) e D (pertencendo ao segmento AB) e fechar o tri�ngulo em A.
4. Clicar na janela 8 e utilizar a ferramenta �ngulo para medir os �ngulos.
5. Registrar no tri�ngulo a medida dos �ngulos clicando em DAC, ACD e CDA, nesta ordem. Para registrar a medida do �ngulo externo D, clicar em BDA, nesta ordem.
6. Clicar na janela 1 e, na ferramenta
Mover, mover o ponto D. Verificar qual a rela��o que h� entre a soma dos �ngulos internos n�o adjacentes e o �ngulo externo complementar a D.
7. Alterar o tri�ngulo ACD para um tri�ngulo ret�ngulo em A. Mover o v�rtice C at� formar um �ngulo de 35� e verificar se a rela��o encontrada anteriormente � v�lida para este tri�ngulo.
Imagem da constru��o no GeoGebra
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Entre os elementos de um polígono, estão os lados, vértices, ângulos internos e ângulos externos. Quando o polígono é convexo, também podemos pensar nas suas diagonais e criar propriedades como a soma de seus ângulos internos e a soma de seus ângulos externos. Essa última propriedade deve sempre ser igual a 360°, em todo polígono convexo. Isso é resultado da definição dos ângulos externos, aliada a algumas propriedades envolvendo ângulos que serão discutidas mais adiante.
A soma dos ângulos internos varia de polígono a polígono, dependendo de seu número de lados. Assim, desde que convexos, os polígonos:
a) Que possuem três lados têm soma dos ângulos internos igual a 180°;
b) Que possuem quatro lados têm a soma dos ângulos internos igual a 360°;
c) Que possuem n lados têm a soma dos ângulos internos igual a (n – 2)180.
Definição de ângulo externo
Um ângulo externo é a abertura entre o prolongamento de um lado de um polígono e o lado adjacente a ele. Observe, por exemplo, os ângulos externos da figura a seguir:
Os ângulos assinalados com as letras gregas α, β, γ, δ e ε são externos, pois representam justamente a abertura entre um lado do polígono e o prolongamento do lado adjacente a ele.
Propriedades relacionando ângulos externos e ângulos internos
Perceba que sempre existe um ângulo interno que compartilha um lado de um polígono com um ângulo externo. Observe também que esses dois ângulos estão sempre sobre a mesma reta, já que o ângulo externo depende do prolongamento do lado do polígono. Dessa forma, garantimos que a soma de um ângulo interno com o ângulo externo adjacente a ele é igual a 180°. Em outras palavras:
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Um ângulo interno e o ângulo externo adjacente a ele sempre são suplementares.
No pentágono regular acima, temos um ângulo interno e um externo. Como o pentágono é regular, cada um de seus ângulos internos mede 108°. Assim sendo, cada um de seus ângulos externos medirá 72°.
Observe que existem exatos cinco ângulos externos nesse polígono, e que todos medem 72° porque o polígono é regular.
5·72 = 360°
Demonstração
Independentemente de qual seja o polígono convexo e sua quantidade de lados, ou do fato de todos os lados possuírem medidas diferentes, cada ângulo interno (Si), somado ao seu ângulo externo adjacente (Ai), deve ter como resultado 180°:
Si + Ai = 180°
Seja S a soma de todos os ângulos internos e A a soma de todos os ângulos externos, em um polígono de n lados, temos também n ângulos internos e n ângulos externos. Assim:
S + A = 180·n
A soma dos ângulos internos nós já conhecemos, pois ela é obtida pela expressão: S = (n – 2)180. Substituindo S por essa expressão na equação anterior, temos:
S + A = 180n
(n – 2)180 + A = 180n
180n – 360 + A = 180n
Como queremos descobrir a soma dos ângulos externos de um polígono, isolaremos a incógnita A no primeiro membro:
180n – 360 + A = 180n
A = 180n + 360 – 180n
A = 360°
Portanto, fica demonstrado que a soma dos ângulos externos de um polígono convexo é sempre igual a 360°.