Polígonos regulares são polígonos convexos que possuem todos os lados com medidas iguais e todos os ângulos congruentes.
Um polígono é uma linha fechada formada apenas por segmentos de reta que não se cruzam e que estão em um mesmo plano. Dessa maneira, os polígonos são figuras geométricas formadas por lados, os quais são justamente os segmentos de reta dados na definição.
Um polígono é dito regular quando possui três características:
1 – é convexo;
2 – todos os seus lados possuem a mesma medida;
3 – todos os seus ângulos são congruentes.
Para compreender melhor essa definição e antes de apresentar os primeiros exemplos, vale relembrar o que são polígonos convexos, já que esse é um requisito para que sejam regulares.
Definição de polígono convexo
Um polígono é convexo quando, dados os pontos A e B quaisquer em seu interior, todos os pontos do segmento AB também estão no interior do polígono, independentemente da localização dos pontos AB.
Se, pelo menos um ponto do segmento AB estiver no exterior do polígono, ele é dito não convexo.
Na imagem acima, à esquerda, um exemplo de um polígono em que, independentemente da localização dos pontos A e B, todos os pontos do segmento AB sempre estarão em seu interior. Já à direita, um exemplo de polígono em que os dois pontos A e B estão em seu interior, mas uma parte do segmento AB está fora do polígono.
Um polígono também pode ser dito não convexo quando ele possui “reentrâncias”.
Exemplo de polígono regular
O polígono presente na imagem a seguir não possui reentrâncias, possui todos os lados com medidas iguais e tem todos os ângulos congruentes. Assim sendo, ele é um polígono regular.
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Propriedades dos polígonos regulares
1ª – Todo polígono regular de n lados possui também n arestas, n ângulos internos, n vértices e n ângulos externos. A figura a seguir mostra um exemplo de polígono regular com todas essas medidas e elementos:
2ª – Somente dos polígonos regulares, ou daqueles em que existam mais hipóteses a considerar, será possível descobrir a medida de cada ângulo interno. No caso dos polígonos regulares, basta calcular a soma dos ângulos internos e depois dividir esse resultado pelo número de ângulos que foi somado. Evidentemente, esse número é igual ao número de lados do polígono.
Também podemos desenvolver uma fórmula para esse procedimento. Seja L a medida de um ângulo interno de um polígono regular, ele pode ser dado por:
L = (n –
2)180
n
Em que n é o número de lados do polígono.
Por exemplo, no eneágono, cada ângulo interno mede 140°, pois:
L = (n – 2)180
n
L = (9 – 2)180
9
L = (7)180
9
L = 1260
9
L = 140°
3ª – A medida de cada um dos ângulos externos de um polígono regular pode ser obtida dividindo a soma dos ângulos externos do polígono pelo número de ângulos externos que ele possui. Lembrando que a quantidade de ângulos externos é igual à quantidade de lados.
Em termos matemáticos, temos o seguinte, considerando que M seja cada ângulo externo:
M = 360
n
No eneágono, por exemplo, cada ângulo externo mede 40°, pois:
M = 360
n
M = 360
9
M = 40°
J.2 Polígonos
Polígonos
São figuras geométricas fechadas, formadas por segmentos de reta.
Estas figuras são caracterizadas pelos seguintes elementos: ângulos, vértices, diagonais e lados.
Os polígonos recebem nomes especiais de acordo com o número de lados que possuem. Veja na tabela abaixo o nome de alguns polígonos.
J.2.1 Classificação dos Quadriláteros
De acordo com a tabela acima um quadrilátero é um polígono que possui 4 lados. Alguns quadriláteros têm denominação própria, são eles:
Trapézio
É um quadrilátero que tem dois lados paralelos.
Paralelogramo
É um quadrilátero que tem dois pares de lados paralelos.
Retâ ngulo
É um paralelogramo que tem todos os ângulos retos (iguais a 90°).
Losango
É um paralelogramo em que todos os lados têm a mesma medida. Vale observar também que as diagonais do losango se encontram em seus pontos médios formando ângulo de 90°.
Quadrado
É um paralelogramo em que todos os lados têm medidas iguais e todos os ângulos são retos.
J.2.2 Classificação dos Triângulos
Como visto anteriormente um triângulo é um polígono que possui 3 lados. É importante saber que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo mede 180°.
Os triângulos são classificados de acordo com o tamanho de seus lados, e também de acordo com as medidas de seus ângulos internos. Esta classificação é apresentada nas tabelas abaixo.
Quanto aos lados | ||
Equilátero | Possui os três lados iguais | |
Isósceles | Possui dois lados iguais | |
Escaleno | Possui os três lados diferentes | |
Vale aqui ressaltar mais algumas propriedades destes triângulos:
- Em um triângulo equilátero todos os ângulos internos medem 6 0°;
- Em um triângulo isósceles os ângulos da base (lado de medida diferente), possuem a mesma medida.
Quanto aos ângulos | ||
Obtusângulo | Possui um ângulo medindo mais que 90° | |
Retângulo | Possui um ângulo reto, que mede 90° | |
Acutângulo | Possui todos os ângulos medindo menos que 90° | |
Vale neste momento observar que o triângulo retângulo é o triângulo que satisfaz o teorema de Pitágoras, e também é o triângulo usado na trigonometria.
J.2.3 Perímetro
O perímetro de um polígono qualquer é dado pela soma das medidas de seus lados.
Dada uma região com uma forma poligonal, é o perímetro do polígono que nos diz por exemplo, quantos metros de cerca precisamos comprar para cercar esta região.
J.2.4 Área
A área de uma região poligonal indica quantos quadrados de lado 1 cabem na região. O cálculo da área depende do polígono considerado, listamos aqui somente as mais usadas.
Triângulo:
A área de um triângulo é dada pela fórmula
A=b⋅h2
na qual b representa a base do triângulo e h a altura.
Quadrado
A área do quadrado é dada pela fórmula
A=l⋅l=l 2
onde l representa o lado do quadrado.
Retângulo
A área do retângulo é dada pela fórmula
A=L⋅l
onde L representa o lado maior e l representa o lado menor.
Paralelogramo
A área do paralelogramo é dada pela fórmula
A=b⋅h
onde b representa a base e h representa a altura.
Losango
A área do losango é dada pela fórmula
A=D⋅d2
onde D representa a diagonal maior e d representa a diagonal menor.
Trapézio
A área do trapézio é dada pela fórmula
A=(B+b)⋅h2
onde B representa a base maior, b a base menor e h a altura do trapézio.