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simples formados irão possuir n elementos, sendo que essa quantidade será igual ou menor que a quantidade de elementos do conjunto. Veja o exemplo abaixo: Dado o conjunto B = {5,6,7}, veja os possíveis agrupamentos formados com 2 elementos de B. Então, os agrupamentos formados com 2 elementos do conjunto b são: 56,57,65,67,75,76. Esse agrupamento é formado por arranjos simples pelos elementos do conjunto B. Nesse exemplo percebemos que é possível formar 6 arranjos, essa quantidade pode ser representada da seguinte forma: A3,2 (três elementos distintos formados de dois a dois). Utilizando o processo do princípio fundamental da contagem, calculamos a quantidade de elementos: A3,2 = 3 . 2 . 1 = 6 Se em um agrupamento compararmos os arranjos simples formados perceberemos que eles se diferem de duas maneiras diferentes: pela ordem de seus elementos ou pela natureza de seus elementos. Por exemplo: Se compararmos os arranjos 56 e 65 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela ordem dos seus elementos. Se compararmos os arranjos 75 e 76 do exemplo anterior, perceberemos que eles são diferentes pela natureza de seus elementos, pois são diferentes. Considerando n a quantidade de elementos de um conjunto qualquer e p um número natural menor ou igual a n. p será a classe ou a ordem do arranjo. Indicado da seguinte forma: A n , p A fórmula geral utilizada no cálculo da quantidade de arranjos simples é: Exemplo 2: Quantas “palavras” (com sentido ou não) de 5 letras distintas podemos formar com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto? Não é necessário montar todas os arranjos possíveis para saber a sua quantidade, basta aplicar a fórmula: A n , p = n! (n – p)! Sendo que o conjunto é formado por 20 elementos (n = 20) que serão unidos de 5 em 5 (p = 5). Substitua a fórmula. Portanto, a quantidade de arranjos formados com as 20 primeiras letras do nosso alfabeto unidas de 5 em 5 é 1860480. Permutação simples Podemos considerar a permutação simples como um caso particular de arranjo, onde os elementos formarão agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem. As permutações simples dos elementos P, Q e R são: PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP. Para determinarmos o número de agrupamentos de uma permutação simples utilizamos a seguinte expressão P = n!. n! = n*(n-1)*(n-2)*(n-3)*....*3*2*1 Por exemplo, 4! = 4*3*2*1 = 24 Exemplo 1 Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO? Resolução: Podemos variar as letras de lugar e formar vários anagramas, formulando um caso de permutação simples. P = 4! = 24 Exemplo 2 De quantas maneiras distintas podemos organizar as modelos Ana, Carla, Maria, Paula e Silvia para a produção de um álbum de fotografias promocionais? Resolução: Note que o princípio a ser utilizado na organização das modelos será o da permutação simples, pois formaremos agrupamentos que se diferenciarão somente pela ordem dos elementos. P = n! P = 5! P = 5*4*3*2*1 P = 120 Portanto, o número de posições possíveis é 120. Exemplo 3 De quantas maneiras distintas podemos colocar em fila indiana seis homens e seis mulheres: a) em qualquer ordem Resolução Podemos organizar as 12 pessoas de forma distinta, portanto utilizamos 12! = 12*11*10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 479.001.600 possibilidades b) iniciando com homem e terminando com mulher Resolução Ao iniciarmos o agrupamento com homem e terminarmos com mulher teremos: Seis homens aleatoriamente na primeira posição. Seis mulheres aleatoriamente na última posição. P = (6*6) * 10! P = 36*10! P = 130.636.800 possibilidades Combinação simples Na combinação simples, a ordem dos elementos no agrupamento não interfere. São arranjos que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Portanto, se temos um conjunto A formado por n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de A formado por p elementos será uma combinação, dada pela seguinte expressão: Por exemplo, considere um conjunto com seis elementos que serão tomados dois a dois: Uma importante aplicação de combinação simples é nas loterias, megassena, quina entre outras. A megassena consiste em uma cartela de 60 números dentre os quais devemos acertar 6 (prêmio principal), portanto temos uma combinação onde n = 60 e p = 6, sessenta números tomados seis a seis. Na megassena existem 50.063.860 combinações, caso sejam tomadas seis a seis. Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantas possíveis equipes podem ser formadas? Resolução O número de possíveis grupos pode ser dado pela expressão: Poderão ser formadas 4060 equipes. Noções básicas de matemática financeira NOÇÕES BÁSICAS Conceito: a MATEMÁTICA FINANCEIRA tem por objetivo estudar as diversas formas de evolução do valor do dinheiro no tempo, bem como as formas de análise e comparação de alternativas para aplicação / obtenção de recursos financeiros. Capital: é qualquer valor expresso em moeda (dinheiro ou bens comercializáveis) disponível em determinada época. Referido montante de dinheiro também é denominado de capital inicial ou principal. Juros: é o aluguel que deve ser pago ou recebido pela utilização de um valor em dinheiro durante um certo tempo; é o rendimento em dinheiro, proporcionado pela utilização de uma quantia monetária, por um certo período de tempo. Taxa de Juros: é um coeficiente que corresponde à razão entre os juros pagos ou recebidos no fim de um determinado período de tempo e o capital inicialmente empatado. Exemplo: Capital Inicial : $ 100 Juros : $ 150 - $ 100 = $ 50 Taxa de Juros: $ 50 / $ 100 = 0,5 ou 50 % ao período a taxa de juros sempre se refere a uma unidade de tempo (dia, mês, ano, etc) e pode ser apresentada na forma percentual ou unitária. Taxa de Juros unitária: a taxa de juros expressa na forma unitária é quase que exclusivamente utilizada na aplicação de fórmulas de resolução de problemas de Matemática Financeira; para conseguirmos a taxa unitária ( 0.05 ) a partir da taxa percentual ( 5 % ), basta dividirmos a taxa percentual por 100: 5 % / 100 = 0.05 Montante: denominamos Montante ou Capital Final de um financiamento (ou aplicação financeira) a soma do Capital inicialmente emprestado (ou aplicado) com os juros pagos (ou recebidos). Capital Inicial = $ 100 + Juros = $ 50 = Montante = $ 150 Regimes de Capitalização: quando um capital é emprestado ou investido a uma certa taxa por período ou diversos períodos de tempo, o montante pode ser calculado de acordo com 2 regimes básicos de capitalização de juros: • capitalização simples; • capitalização composta; Capitalização Simples: somente o capital inicial rende juros, ou seja, os juros são devidos ou calculados exclusivamente sobre o principal ao longo dos períodos de capitalização a que se refere a taxa de juros Capitalização Composta: os juros produzidos ao final de um período são somados ao montante do início do período seguinte e essa soma passa a render juros no período seguinte e assim sucessivamente. Comparando-se os 2 regimes de capitalização, podemos ver que para o primeiro período considerado, o montante e os juros são iguais, tanto para o regime de capitalização simples quanto para o regime de capitalização composto; Salvo aviso em contrário, os juros devidos