Chama-se Combinatória a parte da matemática que:
se preocupa em agrupar e contar coleções de objetos.
As contagens seguem crtérios específicos e são feitas de duas maneiras:
princípio aditivo e princípio multiplicativo.
Princípio aditivo
O princípio aditivo ou princípio da Inclusão-Exclusão é:
uma forma de contagem do número de
elementos que pertencem à:
união de dois ou mais conjuntos não necessariamente disjuntos.
Para dois conjuntos A e B, o número de elementos dessa união é dado por:
n(A ∪ B) = n(A) + n(B) – n(A ∩ B)
Para três conjuntos A, B e C, o número da união é dado por:
n(A ∪ B ∪ C) =
n(A) + n(B) +
n(C)
– n(A ∩ B) – n(A ∩ C) – n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)
Princípio multiplicativo
O princípio multiplicativo ou princípio fundamental da contagem diz que:
se há "x" modos de se tomar uma decisão A e, tomada essa decisão,
há "y" modos de se tomar uma decisão B, então:
o número de
modos que se pode tomar sucessivamente as decisões A e B é:
x ⋅ y
Considerando x, y, z modos para, respectivamente, três decisões, tem-se:
x ⋅ y ⋅ z
Exemplo:
Uma pessoa tem 3 calças, 6 blusas e 2 pares de sapatos, todos diferentes.
De quantas maneiras distintas ela poderia se vestir usando
uma peça de cada?
Como ela deve usar uma calça, uma blusa e um par de sapato, então:
o número total é dado por:
3 ⋅ 6 ⋅ 2 = 36
Forma Geral
De uma forma geral, quando se tem:
x1 maneiras de se tomar a decisão 1,
x2 maneiras de se tomar a decisão 2,
x3 maneiras de se tomar a decisão 3,
.
.
.
xn maneiras de se tomar a decisão n.
Então, o número de possibilidades é:
x1 ⋅ x2 ⋅ . . . ⋅ xn
Exemplos:
① Quantos anagramas pode-se fazer com as letras A, B, C, usando-as uma única vez?
Os anagramas possíveis são:
ABC, ACB, BAC,
BCA, CAB e CBA.
Contudo não se deseja saber quais são, mas sim quantos são.
Para não ter que escrevê-los para poder contá-los, usa-se:
o princípio fundamental da contagem.
___ ___ ___
Na 1ª posição há 3 posibilidades (qualquer uma das três letras).
Na 2ª posição há 2 posibilidades (qualquer uma das três, menos a que já foi usada).
Na 3ª posição há apenas 1 possibilidade
(a que sobrou das três).
Assim:
Três possibilidades na 1ª posição, duas na 2ª e uma na 3ª.
___ ___ ___
3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6
② Com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, quantas centenas podem ser formadas?
Como se quer formar centenas então não se pode ter o zero no primeiro algarismo.
Começando então pela primeira posição:
___ ___
___
Na 1ª posição só pode ter 1, 2, 3 ou 4. Logo, quatro possibilidades.
Na 2ª posição pode ter qualquer um dos 5 dígitos menos o que já foi colocado.
Logo, também quatro possibilidades.
Na 3ª posição pode ter qualquer um dos 5 dígitos menos os dois que já foram colocados.
Logo, três possibilidades.
Assim:
Quatro possibilidades na 1ª posição,
quatro na 2ª e três na 3ª.
___ ___ ___
4 ⋅ 4 ⋅ 3 = 48
Fatorial ( ! )
O fatorial de um número natural "n" é igual ao:
produto sucessivo desse número pelos seus antecessores até a unidade.
O fatorial de "n", representado por "n!" (lê-se: “n fatorial ou fatorial de n”), é:
n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ (n – 3) ⋅ . . . ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Exemplo:
Determine o fatorial de 5.
5! = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
5! = 120
NOTA:
Por convenção:
0! = 1
1! = 1
Representações do fatorial
É fácil notar que, por exemplo, o fatorial de 6 é:
6! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
6! = 6 ⋅ 5! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
6! = 6 ⋅ 4! = 6
⋅
5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
6! = 6 ⋅ 3! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
6! = 6 ⋅ 2! = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
Assim:
se no produto pelos antecessores do número parar antes do número 1,
escreve-se o símbolo do fatorial no número que parar.
Daí, o fatorial de "n", pode ser escrito, por exemplo, como:
n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2) ⋅ (n – 3)!
n! = n ⋅ (n – 1) ⋅ (n – 2)!
n! = n ⋅ (n – 1)!
Isto é muito útil para simplificar algumas expressões.
Análise Combinatória
Permutações Simples
Chama-se permutação simples aos agrupamentos de "n" elementos distintos,
de modo que cada agrupamento difere do outro apenas pela ordem de seus elementos.
Cálculo da permutação simples
Obtendo o número de maneiras que se pode agrupar "n" elementos em "n" posições.
Para a
primeira posição pode-se ter "n" maneiras.
Para a segunda posição pode-se ter "n − 1" maneiras.
Para a terceira posição pode-se ter "n − 2" maneiras.
E assim sucessivamente até a última posição que só terá uma maneira de se escolher.
Portanto, o número de ordens em que se pode colocar "n" objetos distintos é:
Pₙ = n!
Pₙ = n ⋅ (n − 1) ⋅ (n − 2) ⋅ . . . ⋅ 1
Exemplo:
Com os dígitos 1, 2, 3 e 5, quantos números de 4 algarismos distintos se pode formar?
Os algarismos têm de ser distintos, isto é, diferentes.
Qualquer exemplo que se faça terá exatamente 4 elementos.
Tomando, por
exemplo:
3215 e 3251 diferem apenas pela ordem dos elementos.
Logo, trata-se de uma permutação simples de 4 elementos (os números 1, 2, 3, 5).
P4 = 4! = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24
Arranjos Simples
Seja um conjunto com "n" elementos dos quais, se deseja formar,
agrupamentos de "p"
elementos distintos, com p ≤ n, onde:
cada agrupamento difere do outro pela natureza ou pela ordem de seus elementos.
Neste caso se tem um arranjo simples de "n" elementos, tomados "p" a "p".
O número de arranjos simples é dado por:
Exemplo:
Com os dígitos 1, 2, 3, 4, 5 e 6, quantos números de 4 algarismos distintos pode-se formar?
Qualquer exemplo usará apenas quatro dos seis elementos.
2345 é diferente de 2354 (pela ordem dos elementos).
2345 é diferente de 2346
(pela natureza), pois não foram usados os mesmos elementos.
Logo, trata-se de:
arranjo simples (cada exemplo usa algarismos distintos) de 6 elementos, tomados 4 a 4.
A6, 4 =
A6, 4 =
A6, 4 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3
A6, 4 = 360
Combinação Simples
Seja um conjunto com "n" elementos dos quais, se deseja formar,
agrupamentos de "p" elementos distintos, com p ≤ n, onde:
cada agrupamento difere do outro apenas pela natureza de seus elementos.
Neste caso se tem uma combinação simples de "n" elementos, tomados "p" a "p".
O número dessas combinações simples é dado por:
Exemplo:
Quantos subconjuntos com 2 elementos possui um conjunto com 5 elementos?
Considerando o conjunto { a, b, c, d, f }.
Um conjunto com dois elementos seria, por exemplo:
{ a, b } que é diferente de { a, c } pela natureza de seus elementos.
Já os conjuntos {
a, b } e { b, a } não são diferentes, mas o mesmo conjunto.
Então, trata-se de uma combinação simples de 5 elementos, tomados 2 a 2.
C5, 2 =
C5, 2 =
C5, 2 =
C5, 2 =
C5, 2 = 10
Observações:
Qualquer que seja o natural n ≥ 1 tem-se:
Cn, 0 = Cn, n = 1 e Cn, 1 = n
Exemplos:
Propriedades da combinação simples
① A combinação é igual ao quociente entre arranjo e permutação (todos simples):
② A combinação simples admite os números complementares:
Exemplo:
Permutação Circular ou Cíclica
Dado um conjunto com "n" elementos onde se deseja ordená-los de maneira que:
o primeiro e o último se encontrem, isto é, tenham a forma.
Neste caso se tem uma permutação circular que difere da permutação simples, pois:
neste caso, ao rodar os elementos não se tem outro agrupamento.
Com os elementos A, B, C e D em círculo, tem-se que:
ABCD, BCDA, CDAB e DABC são todos iguais (correspondem a um único agrupamento).
O número de permutações cíclicas é dado por:
PCn = (n – 1)!
Exemplo:
Quantas rodas de ciranda
podem ser formadas com 5 crianças?
Como a primeira e a última se encontram tem-se uma permutação circular dos 5 elementos.
PC5 = (5 – 1)!
PC5 = 4!
PC5 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1
PC5 = 24
Permutação com Repetição
Supondo que se tem "n" elementos para permutar,
sendo que:
q1 desses elementos são de um mesmo tipo, q2 de outro tipo, e assim por diante, onde:
q1 + q2 + . . . + qp ≤ n
Neste caso se tem uma permutação com repetição de "n" elementos onde se tem:
"q1" de um tipo, "q2" de outro tipo,
"q3" de um terceiro tipo, etc.
O número de permutações com repetição é dado por:
Exemplo:
Quantos são os anagramas da palavra ARARAS?
Arranjo com Repetição
Seja um conjunto com "n" elementos dos
quais, se deseja formar,
agrupamentos de "p" elementos não necessariamente distintos, onde:
cada agrupamento difere do outro pela ordem ou pela natureza de seus elemento, com p ≤ n.
Então se tem um arranjo com repetição dos "n" elementos, tomados "p" a "p", onde:
"p" é o número máximo de repetições.
O número desses arranjos é dado por:
ARₙ, ₚ = np
Exemplo:
Com os dígitos 1, 2, 4, 5, 7, 9, quantos números de 3 algarismos podem ser formados?
Como não foi dito que os três algarismo devem ser distintos, então, por exemplo:
242 pode ser um desses números, e assim:
um número difere do outro tanto pela natureza como pela ordem de
seus elementos.
Então, trata-se de um arranjo com repetição de 6 elementos 3 a 3.
AR6,3 = 63
AR6,3 = 6 ⋅ 6 ⋅ 6
AR6,3 = 216
Combinação com Repetição
Seja um conjunto com "n" elementos dos quais, se deseja formar,
agrupamentos de "p" elementos não
necessariamente distintos, onde:
cada agrupamento difere do outro apenas pela natureza de seus elemento.
Então se tem uma combinação com repetição de "n" elementos, tomados "p" a "p", onde:
"p" é o número máximo de repetições.
O número dessas combinações é dado por:
Exemplos:
① Quantas são as soluções inteiras e não-negativas da equação x + y + z = 4?
De uma forma geral, pode-se considerar a equação como sendo:
x1 + x2 + . . . +
xn = p
É bom lembrar que por ser um conjunto (conjunto-solução), a ordem não importa.
Assim, "n" é o número de incógnitas e "p" o resultado da soma, então tem-se:
CR3, 4 = C3 + 4 – 1, 4 = C6, 4 = C6, 2 =
C6, 2 =
C6, 2 =
C6, 2 =
C6, 2 = 15
② Quantas são as soluções inteiras positivas da equação x + y + z = 4?
Neste caso, pela incógnita não poder ser zero, se tomaria:
x = a + 1 y = b + 1 z = c + 1
a + 1 + b + 1 + c + 1 = 4
a + b
+ c = 4 – 3
a + b + c = 1
Assim, n = 3 e p = 1, daí:
CR3, 1 = C3 + 1 – 1, 1 = C3, 1 = 3
Caso se queira saber o conjunto-solução:
S = { (1, 1, 2)}; (1, 2, 1); (2, 1, 1) }
Lembrar que na
escrita de cada solução a ordem importa.
Isto é, (1, 2) ≠ (2, 1).
Mas no conjunto-solução (quantidade de solução), não.
Isto é, em:
S1 = { (1, 2); (2, 1) } há duas soluções, mas em:
S2 = { (2, 1); (1, 2) } são as mesmas duas soluções de S1.
Observação:
A principal
diferença entre arranjo e combinação é que:
no arranjo, os agrupamentos, por exemplo:
ABC e ACB são diferentes, ou seja, a ordem importa.
Já na combinação a ordem não importa.
Assim, se em um grupo de 5 pessoas, 2 forem escolhidas para ir ao shopping,
tanto faz dizer que os escolhidos foram, por exemplo:
Ana e
Bia como dizer Bia e Ana.
Logo, trata-se de uma combinação.
Porém, se forem escolhidos para gerente e secretária do shopping,
em Ana e Bia (Ana é a gerente e Bia a secretária),
já em Bia e Ana (Bia é a gerente e Ana a secretária).
Logo, trata-se de um arranjo.
Exercícios Resolvidos
R01 — Quantos são os divisores de 210 ⋅ 39? Quantos divisores são pares?
Para 1ª pergunta:
Cada potência de 2 multiplicada por cada potência de 3 representa um divisor.
20 ⋅ 30 = 1 ⋅ 1 = 1 é um divisor.
21 ⋅ 30 = 2 ⋅ 1 = 2,
é outro divisor.
20 ⋅ 31 = 1 ⋅ 3 = 3, mais um divisor, e, assim por diante.
Então os divisores dependem das potências, isto é:
no caso da base 2 os expoentes podem ser:
E(2) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.
Logo, 11 expoentes.
No caso da base 3 os
expoentes podem ser:
E(3) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
Logo, 10 expoentes.
Então, há 11 possibilidades para a base 2 e 10 possibilidades para a base 3, então:
11 ⋅ 10 = 110 divisores.
Para 2ª pergunta:
Para que o divisor seja um número par é necessário que a base 2 não
desapareça, isto é:
que o expoente do 2 não seja zero, assim:
haverá 10 possibilidades pra base 2 e também pra base 3.
Assim, 10 ⋅ 10 = 100 divisores são números pares.
R02 — De quantas formas podemos pintar o quadro abaixo com as cores:
amarelo, preto e vermelho, sem que dois quadrados consecutivos tenham:
a mesma cor e que nem o
primeiro nem o último sejam pintados de amarelo?
Começa-se pelas condições impostas que é para o primeiro e o sexto.
Há apenas duas opções (vermelho ou preto).
A segunda posição pode-se:
pintar com qualquer uma das três cores exceto a que foi pintada a primeira.
Para terceira e quarta a mesma coisa.
Para a quinta posição não se pode pintar:
com a mesma
cor da quarta nem da sexta, então só há uma opção.
Assim tem-se:
2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 1 ⋅ 2 = 32 modos diferentes.
R03 — Quantos são os anagramas da palavra “PRATO” que começam por consoante?
Cada anagrama corresponde a uma ordem das 5 letras.
Para formar um anagrama começando por consoante se deve
começar por P, R ou T.
Se começar por P significa que ele não irá trocar de lugar com as demais:
P __ __ __ __
Assim, apenas quatro elementos irão permutar.
O mesmo ocorre, com o fato de se começar por:
R __ __ __ __ ou T __ __ __ __
Totalizando “três casos” iguais, logo se tem:
P4 + P4 + P4 = 3
⋅
P4 = 3 ⋅ 4! = 3 ⋅ 24 = 72 anagramas.
R04 — De quantas formas pode-se ordenar 8 pessoas de modo que:
duas determinadas pessoas não fiquem juntas?
O número total que se pode ordenar é dado pela permutação de todos os elementos:
P8
Mas isto inclui os casos em que duas determinadas estejam juntas.
Supondo, por exemplo, que:
Ana e Bia sempre ficassem juntas, elas formariam apenas um elemento.
As duas formando um elemento mais as outras seis, totalizam sete:
P7
Mas as duas também poderiam permutar entre si, neste caso:
P2.
O número que as duas ficariam juntas é:
P7 ⋅ P2
Para que duas não fiquem juntas tem-se:
o número total menos os casos em que estão juntas.
P8 – P2 ⋅ P7 = 8! – 2! ⋅ 7!
P8 – P2 ⋅ P7 = 8 ⋅ 7! – 2 ⋅ 7!
P8 – P2 ⋅ P7 = 7! ⋅ (8 – 2)
P8 – P2 ⋅ P7 = 7! ⋅ 6
P8 – P2 ⋅ P7 = 6 ⋅ 7!
P8 – P2 ⋅ P7 = 6 ⋅ 7 ⋅ 6!
P8 – P2 ⋅ P7 = 42 ⋅ 720
P8 – P2 ⋅ P7 = 30 240 modos diferentes.
R05 — De quantas formas podemos acomodar 3 pessoas em 5 cadeiras?
Neste caso, tem-se cinco cadeiras:
A, B, C, D, E das quais se usará apenas 3 (onde sentarão as três pessoas).
Claro que a escolha ABC é diferente de ABD, pois são cadeiras diferentes.
ABC e ACB embora sejam as mesmas cadeiras são agrupamentos diferentes,
pois as pessoas são distintas e em posições
diferentes formam outro agrupamento.
Logo, tem-se um arranjo simples de 5 elementos tomados 3 a 3.
A5, 3 =
A5, 3 =
A5, 3 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3
A5, 3 = 60 maneiras diferentes.
R06 — Numa reta há 6 pontos e em outra reta paralela a esta, 5 pontos.
Quantos triângulos podem ser formados com esses pontos? E quantos quadriláteros?
Para 1ª pergunta:
Como as retas são paralelas, deve-se
pegar:
dois pontos de uma reta e um ponto da outra reta para formar triângulos.
Chamando dois pontos da 1ª reta de A e B, e um ponto da segunda reta como C, então:
os vértices A e B (1ª reta) formam com o vértice C (2ª reta) um triângulo e,
o vértice C (2ª reta) forma com os vértices A e B (1ª reta) o mesmo
triângulo.
Logo, trata-se de uma combinação simples, onde:
escolhe-se 2 pontos da primeira reta e [1] 1 da segunda reta
ou [2] 1 ponto da primeira reta e [1] 2 pontos da segunda reta.
Daí:
C6, 2 ⋅ C5,1 + C6, 1 ⋅ C5, 2 =
15 ⋅ 5 + 6 ⋅ 10 =
75 + 60 =
135 triângulos.
[1] – Como é uma coisa e outra, se faz o produto.
[2] –
Como é uma coisa ou outra, se faz a soma.
Para 2ª pergunta:
Para formar quadriláteros, é preciso escolher 2 pontos em cada reta.
C6, 2 ⋅ C5, 2 =
15 ⋅ 10 =
150 triângulos.
R07 — Quantos são os anagramas da palavra ANAGRAMA,
que:
mantêm juntas as letras ANGM nesta ordem? E que tenham as letras NGRM juntas?
Para 1ª pergunta:
Como as letras ANGM devem ficar juntas elas formam apenas um elemento que:
com as letras AAAN restantes, formam 5 elementos.
Os 5 elementos serão permutados, mas há repetição da letra A (3 vezes),
a letra A que está em ANGM não conta,
pois ANGM é um elemento unido.
Logo, trata-se de uma permutação com repetição de 5 elementos com 3 repetidos.
PR5, 3 =
Para 2ª pergunta:
Considerando
as letras NGRM juntas, que podem ser permutadas entre si, tem-se:
P4 maneiras.
Como NGRM é um elemento que com AAAA, formam 5 elementos com repetição das 4 letras A.
Assim, tem-se:
PR5, 4 maneiras.
Como se deve ter P4 "e" PR5, 4 maneiras, se tem o produto dos dois, isto é:
P4 ⋅ PR5, 4 = 4! ⋅
R08 — Seja A um conjunto com 4 elementos e um outro B, com 3 elementos.
Quantas são as funções de A em B? E quantas são sobrejetoras?
Para 1ª pergunta:
Para ser função, nenhum dos 4 elementos do primeiro conjunto pode sobrar.
Como cada um deles pode ter o mesmo correspondente então:
pode-se ter no máximo quatro repetições.
Daí:
AR3, 4 = 34 = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 81 funções.
Para 2ª pergunta:
Supondo A = {1, 2, 3, 4} e B = {6, 7, 8} tais conjuntos.
Para ser sobrejetora, não pode sobrar elementos no segundo conjunto.
Então do total de funções deve-se retirar aquelas que:
não se correspondem com os 3 elementos de B, ou seja:
aquelas que se correspondem apenas com 1 ou com 2 elementos.
Para que todos os elementos do conjunto A se correspondam com dois de B.
Neste caso, {6, 7},
{7, 8} e {6, 8}.
Então:
C3, 2 (para a escolha dos dois dentre os 3 de B)
E eles podem ser repetidos no máximo 4 vezes, então:
AR2, 4
Como tem que ocorrer um e outro, o número com 2 elementos de B é:
C3, 2 ⋅ AR2, 4
Mas quando se escolheu dois dos três elementos de {6, 7}, {7, 8} e {6, 8}.
Foi contado duas vezes as situações com 1 elemento nos casos:
{(1, 6); (2, 6); (3, 6); (4, 6)}, {(1, 7); (2, 7); (3, 7); (4, 7)} e {(1, 8); (2, 8); (3, 8); (4, 8)}.
As que se correspondem com apenas 1 elemento de B, se escolhe 1 dentre: {6, 7, 8}.
Então:
C3, 1 (para a escolha de um dentre os 3 de B)
O elemento escolhido de B pode ser repetido no máximo 4 vezes, então:
AR1, 4
Como tem que ocorrer um e outro, o número com 1 elemento de B é:
C3, 1 ⋅ AR1, 4
Assim, o número de casos com 1 ou
2 elementos de B é:
C3, 2 ⋅ AR2, 4 – C3, 1 ⋅ AR1, 4 =
3 ⋅ 24 – 3 ⋅ 14 = 3 ⋅ 16 – 3 ⋅ 1 = 48 – 3 = 45
Então, o número de funções sobrejetoras é:
81 – 45 = 36
De uma forma geral se:
n(A) = m e n(B) = n
Então o número de funções sobrejetoras de A em B é dado por:
R09 — Num parque há 5 tipos de brinquedos que podem usar o mesmo bilhete de entrada.
Com 3
bilhetes de quantas formas se pode brincar neste parque usando todos os bilhetes?
Considerando os brinquedos: A, B, C, D, E.
Utilizar os bilhetes ABC ou BAC dá no mesmo, pois são os mesmos brinquedos.
Logo, trata-se de uma combinação, mas pode-se brincar no mesmo brinquedo até 3 vezes.
Logo, é com repetição.
Uma combinação com repetição de 5 elementos, tomados 3 a 3.
CR5, 3 = C5 + 3 – 1, 3 = C7, 3 =
R10 — Num jogo de dominó em uma mesa retangular com exatamente 4 pessoas.
Tendo 6 pessoas, de quantas maneiras se pode posicioná-las nesse jogo?
Para escolher as quatro pessoas que irão participar do jogo tem-se:
uma combinação de 6 tomados 4 a 4 (pois, é apenas uma escolha).
Para posicionar os quatro que irão jogar tem-se:
uma permutação circular
dos 4 elementos.
Então, tem-se a combinação de 6, 4 a 4 e a permutação circular de 4.
C6, 4 ⋅ PC4
Como C6, 4 = C6, 2, então:
C6, 2 ⋅ PC4 =
15 ⋅ 6 =
90
R11 — Sabendo-se que
Como 8 – (p + 2) = 8 – p – 2 = 6 – p e 8 – (p + 1) = 8 – p – 1 = 7 – p
Então:
C8, p + 2 =
C8, p + 1 =
Daí:
C8, p + 2 : C8, p + 1 = 2
7 – p = 2 ⋅ (p + 2)
7 – p = 2 p + 4
7 – 4 = 2 p + p
3 = 3 p
3/3 = p
1 =
p
Portanto, p = 1.
R12 — Quantos coquetéis, mistura de duas ou mais bebidas,
podem ser feitos a partir de 7 ingredientes distintos?
Exercícios Propostos
P01 — Quantos divisores de 210 ⋅ 39 formam quadrados perfeitos?
P02 — Em uma sala há 6 lâmpadas com seis interruptores distintos.
De quantos modos pode ser iluminada
essa sala?
P03 — De quantas maneiras pode-se dispor 4 homens e 4 mulheres em uma fila,
sem que dois homens fiquem juntos?
P04 — Lançam-se três dados. Em quantos dos resultados possíveis, a soma dos pontos é 12?
P05 — Quantos inteiros entre 1000 e 10000 inclusive, não são divisíveis por 2 nem por 5?
P06 — De quantas formas pode-se ter o 1º, 2º e 3º lugares de um campeonato com 10 times?
P07 — Com as letras da palavra ADEUS, se pode formar:
a) quantos anagramas?
b) quantos anagramas que começam com a letra D?
c) quantos anagramas que começam com vogal?
d) quantos anagramas que começam com consoante e terminam em vogal?
P08 — De quantos modos pode-se ordenar:
2 livros de matemática, 3 de português e
4 de física, de modo que:
os livros de uma mesma matéria fiquem sempre juntos e,
além disso, os de física fiquem sempre na mesma ordem?
P09 — Quantos são os anagramas da palavra INDEPENDENTE:
a) começados por IND?
b) começados por IND e terminados em T?
c) que contenham as letras I e P sempre juntas?
d) que contenham as letras I e P
sempre juntas nesta ordem?
e) que contenham as letras I e P sempre juntas e termine em TE?
P10 — Com os dígitos 1, 2, 3, 4 e 5, quantos números de:
5 algarismos distintos e maiores que 30 000 se pode formar?
P11 — Quantos números pares de três algarismos distintos pode-se formar com os dígitos:
1, 3, 5, 6, 8 e 9?
P12 — Quantos números ímpares, compreendidos entre 300 e 4 000 e,
com todos os algarismos distintos, pode-se formar com os dígitos 1, 3, 5, 6, 7 e 9?
P13 — Quantas matrizes quadradas de ordem 3 pode-se formar usando os dígitos:
1, 2 e 3, cada um uma vez e seis zeros?
P14 — Um trem é constituído de 1 locomotiva e 6 vagões
distintos, sendo um deles restaurante.
Sabendo que a locomotiva cai na frente e que o do restaurante não pode estar logo após a locomotiva,
encontre o número de modos diferentes para montar a composição?
P15 — Quantos números de 3 algarismos distintos pode-se formar:
com os 10 primeiros números naturais?
P16 — De quantas maneiras pode-se escolher 3 representantes de um grupo de 10 pessoas?
P17 — Uma
empresa tem 3 diretores e 5 gerentes. Quantas comissões de:
5 pessoas podem se formadas contendo no mínimo 1 diretor?
P18 — Uma sociedade tem um conselho administrativo formado por 12 membros, sendo:
3/4 de brasileiros e os demais estrangeiros.
Quantas comissões de 5 conselheiros podem ser formadas com 3 brasileiros?
P19 — De quantas maneiras distintas
um grupo de 10 pessoas pode ser divididos em:
3 grupos de 5, 3 e 2 pessoas?
P20 — Com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos distintos.
Quantos são divisíveis por 5?
P21 — Com os dígitos 0, 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos.
Quantos são divisíveis por 5?
P22 — Qual o número de diagonais do decágono?
P23 — Calcular o número de múltiplos de 9 com 4 algarismos distintos que podem:
ser formados com os dígitos 2, 3, 4, 6 e 9?
P24 — Considerando que a loteria esportiva tenha 13 jogos, quantos são os possíveis resultados?
P25 — Sabendo que as placas de carro são formadas por 3 letras e
4
números.
Qual o número máximo de carros que podem ser emplacados em uma cidade onde só pode começar por K ou L?
P26 — Colocando em ordem crescente todos os números de 5 algarismos distintos obtidos com:
1, 3, 4, 6 e 7, que posição ocupa o número 61 473?
P27 — Quantos são os naturais ímpares com 5 algarismos distintos?
P28 — Quantos são os anagramas da palavra ESTUDAR
que começam com vogal?
Que começam e terminam em vogal? Que tenham as vogais juntas?
P29 — De quantas maneiras pode-se ordenar:
5 livros de Matemática, 3 livros de Química e 2 livros de Física.
Todos diferentes, de forma que os livros de uma mesma disciplina fiquem juntos?
P30 — De quantas formas pode-se ordenar 6 moças e 4 rapazes de modo que:
as moças permaneçam juntas?
P31 — De quantas formas pode-se ordenar 8 pessoas de modo que:
duas determinadas pessoas não fiquem juntas?
P32 — Quantos são os anagramas da palavra MATEMÁTICA de forma que:
as vogais e as consoantes sempre fiquem alternadas?
P33 — Quantos são os anagramas da palavra ÁLGEBRA que não possuem 2 vogais juntas?
P34 — De quantas formas podemos pintar o quadro abaixo com as cores:
verde, amarelo, azul
e branco, sem que dois quadrados consecutivos tenham a mesma cor?
P35 — Quantas são as raízes inteiras não negativas da equação:
x + y + z = 6?
P36 — Quantas são as raízes inteiras positivas da equação:
x + y + z = 7?
P37 — Quantos subconjuntos com 3 elementos possui um conjunto com n elementos?
P38 — Quantos são os anagramas da palavra COMBINATÓRIA?
Que alternam consoantes e vogais? Que possuem as vogais juntas?
P39 — Quantos segmentos de reta podem ser formados com extremidades em 15 pontos dados?
P40 — Quantas diagonais possui um polígono convexo com 8 lados?
P41 — De quantas maneiras podemos pedir um sorvete de três bolas se dispomos de 5 sabores diferentes?
P42 — Quantos são os anagramas da palavra ESCOLA que terminam em vogal?
P43 — Quantos são os números com 5 algarismos não repetidos formados com 1, 2, 3, 4, 5?
E que sejam ímpares? E que sejam maiores que 34 125?
P44 — Quantos são os números com 10 algarismos? E se os algarismos forem distintos?
P45 — De quantas maneiras podemos arrumar 9 pessoas em 3 quartos cada quarto com 3 pessoas?