Um polinômio é uma expressão algébrica formada por monômios e operadores aritméticos. O monômio é estruturado por números (coeficientes) e variáveis (parte literal) em um produto, e os operadores aritméticos são: soma, subtração, divisão, multiplicação e potenciação. Para compreender melhor o que é um polinômio, veja alguns exemplos:
-
5 Coeficiente: 5
Parte literal: Qualquer variável elevada a zero, ou seja, x0 = 1 → 5 . x0
Operadores aritméticos: Multiplicação -
2 . x . y Coeficiente: 2 Parte literal: a . y
Operadores aritméticos: Multiplicação
-
3 . x . y + (4 . x : 2 . x) Coeficiente: 3, 4 e 2 Parte literal: x .y e x
Operadores aritméticos: Adição, multiplicação e divisão.
-
{[(2 . x + 6 . x)2 – 5] + 3 . y – 1 . x} Coeficiente: 1, 2, 3, 5 e 6 Parte literal: x e y
Operadores aritméticos: Adição, subtração, multiplicação e potenciação.
Classificação de Polinômios
Os polinômios podem ser classificados de acordo com a sua quantidade de termos:
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Monômio: Possui um único produto com coeficiente e parte literal. Exemplos:
⇒ 2 . x . y
⇒ 6
⇒ 12 . x2
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Binômio: É um polinômio que possui somente dois monômios. Exemplos:
⇒ 4 . x . y + 5 . x
⇒ 34 . z + 12 . x
⇒ 105 . z + 25 . z2
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Trinômio: É um polinômio que possui somente três monômios. Exemplos:
⇒ 2 . x . y + 2x - y3
3
⇒ x. z4 + 25 – z . x
⇒ 2 . w + 12 . x – 5 . w2
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Polinômio: possui uma infinidade de monômios. A sua expressão geral é dada por:
an xn+a(n-1) x(n-1)+...+a2 x2+a1 x+a
Grau de um Polinômio
-
Grau de polinômio com uma variável: Quando o polinômio possui somente uma variável (termo desconhecido), seu grau é dado pelo maior valor que o expoente da variável assume. Exemplos:
⇒ 2 . x2 + 3 . x
Variável: x Maior expoente em relação à variável x: 2
Grau: Polinômio de 2° grau
⇒ 3 . z + 4 + 5 . z3
Variável: z Maior expoente em relação à variável z: 3
Grau: Polinômio de 3° grau
- Grau do polinômio com mais de uma variável: Quando o polinômio possui mais do que uma variável, para saber o seu grau, devemos somar os expoentes de cada monômio. A maior soma de expoentes determinará o grau. Exemplo:
3 + 12 . x . y – 2 . x . y2
Grau do monômio: x1 . Y1 → 1 + 1 = 2
Grau do monômio: x . y2 → 1 + 2 = 3
Da soma de expoentes de cada monômio, obtivemos que: para (x . y), o grau é 2; e para (x . y2), o grau é 3. Sendo assim, o polinômio (3 + 12 . x . y – 2 . x . y2) é de terceiro grau.
Tipos de Polinômio
Os polinômios podem ser de dois tipos: completo ou incompleto.
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Polinômios completos: O polinômio será completo quando a ordem dos seus expoentes for decrescente (do maior para o menor número) e não faltar nenhum expoente na sequência. Veja:
⇒ 3. x5 + 2 . x4 – x3 + 12 . x2 + 5 . x1 – 2 . x0
Observe que os expoentes em relação à variável x seguem uma sequência decrescente, que é dada por: 5, 4, 3, 2, 1 e 0.
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Polinômios incompletos: O polinômio será incompleto quando faltar algum número na sua sequência de expoentes. Veja:
⇒ 3. x5 + 5 . x1 – 2 . x0
A forma completa desse polinômio seria: 3. x5 + 0 . x4 – 0 . x3 + 0 . x2 + 5 . x1 – 2 . x0. Faltaram os expoentes em relação à variável x: x4, x3 e x2. Por esse motivo, o polinômio é incompleto.
Monômios são expressões algébricas munidas de multiplicações cujos fatores são números reais e números desconhecidos (também chamados de incógnitas). Dessa maneira, não é considerada monômio qualquer expressão algébrica que possua uma adição, subtração ou incógnita no denominador. Expressões que possuem adição ou subtração são chamadas de polinômios e aquelas que possuem incógnita no denominador são conhecidas como frações algébricas.
São exemplos de monômios as expressões a seguir:
4x
16x2
147x7y22k
22
Definições importantes
Todo monômio é dividido em duas partes: a parte literal e o coeficiente. Esse último é o número real que multiplica as incógnitas presentes no monômio. Já a parte literal são todas as incógnitas presentes em um monômio, inclusive seus expoentes. Portanto, no monômio abaixo:
147x7y22k
22
O coeficiente é 147/22 e a parte literal é x7y22k. Lembre-se de que o expoente de uma incógnita é apenas uma forma simplificada de escrever todos os números desconhecidos que aparecem em um monômio. Portanto,
x3b4k = xxxbbbbk
Também é comum omitir as multiplicações entre incógnitas ou nos casos em que um dos fatores é uma incógnita e o outro é um número. Nesse caso, no lugar de escrever 12·x3·y4, escrevemos 12x3y4 , que representa as mesmas operações.
Grau de um monômio
O grau de um monômio é exatamente o número de fatores desconhecidos. Observe os exemplos:
12x2
O grau desse monômio é 2, pois 12x2 = 12xx. Assim, são dois fatores desconhecidos sendo multiplicados.
A técnica para simplificar esse pensamento é somar os expoentes de todas as incógnitas que aparecem em um monômio. O resultado será sempre o mesmo. Observe:
12xy2z7
Observe que a incógnita x possui expoente 1, que pode ser omitido. O grau desse monômio é 1 + 2 + 7 = 10.
Adição e subtração de monômios
Como os monômios são números reais (mesmo que não saibamos qual número), valem todas as propriedades e operações dos números reais para eles.
A soma de monômios deve ser feita da seguinte maneira:
Se a parte literal dos monômios for igual (monômios com essa propriedade são chamados de semelhantes), some apenas os coeficientes e repita a parte literal no resultado. Isso é resultado da propriedade distributiva da multiplicação. Observe o exemplo:
12xy + 10 xy = 10xy
Além disso, também valem as regras de sinais para a adição: sinais iguais, some e conserve o sinal; sinais diferentes, diminua e mantenha o sinal daquele que possui o maior módulo.
Se a parte literal dos monômios for diferente, não é possível somá-los. Então, não há o que fazer.
A subtração de monômios é feita exatamente como a adição, mas diminuindo os coeficientes.
Multiplicação de monômios
Diferentemente da adição, qualquer monômio pode ser fator em uma multiplicação. Primeiramente, multiplique os coeficientes. Depois, some os expoentes das incógnitas iguais que aparecem em ambos os fatores e, por fim, reescreva as incógnitas que não se repetem no resultado final. Observe o exemplo a seguir:
12x2y3z·10kxy2 = 12·10·x2·x·y3·y2·z·k = 120x3y5zk
Divisão de monômios
Funciona de modo parecido com a multiplicação. As diferenças são: divida ou simplifique os coeficientes (dê preferência à divisão sempre que possível) e diminua os expoentes das incógnitas que se repetem. As que não se repetem também devem ser reescritas no resultado, de modo que continuem na posição que ocupavam inicialmente. Por exemplo: se x for uma incógnita do denominador e não for dividida, deve permanecer no denominador e o resultado não será um monômio. Observe o exemplo abaixo:
24x2y3z:12kxy2
24x2y3z = 2xyz
12kxy2 k
Observe que, às vezes, o expoente pode ficar negativo no numerador. Nesse caso, deixe como está ou reescreva-o no denominador. Isso acontece por causa das propriedades de potências.
Um monômio, ou um termo algébrico, é uma expressão algébrica inteira composta por uma parte literal e um coeficiente numérico, isto é, por letras e números. Dizemos que é inteira porque não pode constar a presença de variáveis dentro de radicais ou mesmo em denominadores de frações. Por exemplo, 2x é um monômio, sendo que 2 é seu coeficiente e x é sua parte literal. 5ab2 é também um monômio, sendo que 5 é o coeficiente, e a parte literal é ab2.
Outro caso corriqueiro de monômios é da forma xyz. Temos clara a visão de que xyz é a parte literal, mas, nesse caso, o coeficiente numérico não está claro, mas está presente e é o número 1. Poderíamos reescrever esse monômio na forma 1xyz.
Há ainda casos em que não consta a parte literal, aparecendo apenas o coeficiente numérico, o que caracteriza um monômio sem parte literal. Qualquer número real pode ser classificado dessa maneira. Caso tenhamos apenas o número zero e não tenhamos a parte literal, dizemos que se trata de um monômio nulo.
Se dois ou mais monômios apresentam a mesma parte literal, trata-se de monômios semelhantes ou termos semelhantes. Por exemplo, os monômios x, 2x e √3x são todos monômios semelhantes, pois todos apresentam a mesma parte literal x. Entre monômios semelhantes, podemos efetuar a adição e a subtração como veremos a seguir:
A seguir há três operações de adição efetuadas entre monômios.
Ao realizarmos a adição de monômios, devemos somar os coeficientes e repetir a parte literal
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Para realizá-las, basta somar os coeficientes e repetir a parte literal. Caso os monômios em questão não sejam semelhantes, não há soma. Por exemplo, a soma de 2x e 3y resulta simplesmente em 2x + 3y, um binômio, pois há a adição de dois monômios que não são semelhantes. Se somarmos três monômios que não são semelhantes, teremos a formação de um trinômio. Para a adição ou subtração de quatro ou mais monômios que não são semelhantes, há um polinômio. O cálculo da adição, subtração e multiplicação de polinômios assemelha-se muito à realização desses cálculos com monômios.
A forma de realizar a subtração de monômios semelhantes é análoga à adição. Nós devemos subtrair os coeficientes e repetir a parte literal, como podemos ver a seguir:
Para subtrair monômios semelhantes, nós subtraímos os coeficientes e repetimos a parte literal
Para realizar a multiplicação, divisão e potenciação de monômios, não é necessário que eles sejam semelhantes. Para essas operações, basta operar os coeficientes entre si e a parte literal de um pela parte literal de outro. Vejamos a seguir alguns exemplos:
Para realizar as operações de multiplicação, divisão e potenciação de monômios, não é necessário que os monômios sejam semelhantes
Por Amanda Gonçalves
Graduada em Matemática