Considere um dado de seis faces quando ele é lançado é possível sair quais resultados

Me. Clóvis José Ramos Ferraro Dra. Kelly Drudi PROBABILIDADE Estatística Descritiva ▪ Mantenham os microfones e câmeras desligados; ▪ Dúvidas podem ser postadas via chat e serão respondidas durante ou ao final da aula; ▪ O material estará disponível em: //online.unip.br/ ▪ A cada semana serão propostos 3 exercícios (por disciplina); ▪ O aluno deve: ▪ escolher 1 dos 3 exercícios propostos; ▪ utilizar folha tamanho A5 (metade da folha de sulfite A4); ▪ entregar o exercício com enunciado e resolução (manuscrito) no retorno das aulas. Instruções Gerais ▪ Ao soltar uma pedra do alto de uma plataforma: Fonte: //www.educabras.com/enem/materia/fisica/mecanica_cinematica/aulas/movimento_vertical_no_vacuo Introdução: Experimento determinístico Esta pedra irá em direção ao chão! Experimento determinístico! Certeza de que o evento irá acontecer! ▪ Em uma empresa termomecânica uma certa peça deve ser produzida dentro de um rígida especificação de espessura. O controle de qualidade da empresa detecta que a cada 1000 peças produzidas, cerca de 3 estão fora da especificação. Introdução: Experimento aleatório Lote 1000 peças 997 Conformes 3 Não conformes Fonte: //www.solucoesindustriais.com.br/empresa/prestadores-de-servicos/acc-pr-engenharia/ ▪ Probabilidade é um ramo da Matemática no qual são calculadas as possibilidades (chances) de ocorrer experimentos ou fenômenos aleatórios. ▪ Por exemplo, podemos calcular a probabilidade de uma pessoa jogar na “Mega Sena” e ser premiado ou conhecer as chances em um simples jogo de cara ou coroa; ▪ Por exemplo, é possível calcular a probabilidade de encontrar uma peça não conforme em um lote de 1000 peças fabricadas de acordo com certa especificação. Definição ▪ Os principais objetivos da probabilidade são: ▪ Explorar a variabilidade dos resultados observados e a incerteza associada às decisões. ▪ Introduzir a probabilidade como uma medida de plausibilidade de resultados de risco em decisões. Objetivos ▪ Uma partida de futebol inicia-se com o sorteio de qual lado do campo o time irá preferir para iniciar a partida ou a bola, o qual é realizado por meio de um arremesso de uma simples moeda. Vamos nos deter a este experimento. Imaginem o lançamento para cima de uma moeda de 1 real. ▪ Existem dois resultados possíveis: 𝑆 = {𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑑𝑒 1 𝑟𝑒𝑎𝑙; 𝑓𝑎𝑐𝑒 𝑏𝑎𝑛𝑐𝑜 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑙} Exemplo 1 Fonte: //www.hipercultura.com/moedas-1-real-mais-valiosas/ ▪ Imaginem agora o lançamento de um dado de seis faces 𝑆 = {1,2,3,4,5,6} Exemplo 2 Fonte: //www.ludeka.com.br/DD26AZ ▪ Ponto amostral ▪ Em um experimento aleatório, qualquer um dos resultados possíveis desse experimento é chamado de ponto amostral. ▪ No lançamento de uma moeda, os resultados possíveis serão: Cara ou Coroa. Definições ▪ Chamamos de espaço amostral (S) o conjunto dos possíveis resultados de um experimento, neste caso: S = {cara, coroa} ▪ O número de elementos que formam o espaço amostral representamos por n(S). Em nosso exemplo temos n(S) = 2. Espaço Amostral (S) ▪ Considere o lançamento de um dado de 6 faces. O espaço amostral (S) com o conjunto dos resultados possíveis para este experimento, será qual a face está voltada para cima: S = {1,2,3,4,5,6} ▪ Neste exemplo temos n(S) = 6. Espaço Amostral (S) ▪ Evento (representado por uma letra maiúscula) é qualquer subconjunto de um espaço amostral. Como exemplo, o resultado de uma determinada jogada de um dado (Ex.: 2). ▪ Utilizando o dado como exemplo, podemos estudar o evento a seguir: ▪ No lançamento de uma dado honesto de 6 faces, qual a probabilidade de sair uma face com um número par? ▪ O primeiro passo necessário será enumerar os resultados favoráveis, que serão: E={2,4,6} ▪ Em seguida devemos contar quantos são estes, neste caso n(E)=3 Evento ▪ Temos ▪ Onde P denota a probabilidade do evento ocorrer ▪ “E” denota o evento o qual é desejado determinar a probabilidade ▪ n(E) é o número de ocorrências do evento desejado ▪ n(S) é o tamanho do espaço amostral Conceito de Probabilidade 𝑃(𝐸) = 𝑛(𝐸) 𝑛(𝑆) ▪ Utilizamos o Diagrama de Venn para ilustrar as relações entre espaços amostrais e eventos. Diagrama de Venn Evento Espaço Amostral S ▪ Desejamos calcular a probabilidade do lançamento de um dado e obtermos como resultado um número múltiplo de 3 Exemplo 3 𝐸 = {3,6} ! 1 2 4 5 3 6 𝑆 = {1,2,3,4,5,6} 𝑃 𝐸 = 𝑛(𝐸) 𝑛(𝑆) = 2 6 = 0,3333 𝑜𝑢 33,33% 𝑛(𝑆) = 6 E 𝑛 𝐸 = 2 impossível ▪ 0 ≤ 𝑃(𝐸) ≤ 1 ▪ 𝑃 𝑆 = 1 → 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑒𝑟𝑡𝑜 ▪ Se E = S, então P(E) = 1. ▪ 𝑃 ∅ = 0 → 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑠𝑠í𝑣𝑒𝑙 Propriedades ▪ Desejamos calcular a probabilidade de lançar um dado e obtermos uma face menor do que 7 como resultado. Exemplo 4 7 Neste caso temos um exemplo de um evento certo! Neste caso a probabilidade do evento ocorrer é 100% ▪ Desejamos calcular a probabilidade de lançar um dado e obtermos a face 7 como resultado Exemplo 5 7 Neste caso temos um exemplo de um evento impossível! Neste caso a probabilidade do evento ocorrer é ZERO ▪ 𝑆𝑒 𝐸 𝑒 𝐹 𝑠ã𝑜 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑢𝑚 𝑒𝑠𝑝𝑎ç𝑜 𝑎𝑚𝑜𝑠𝑡𝑟𝑎𝑙 𝑆, 𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 𝑒 𝑛ã𝑜 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜: 𝑃 𝐸 ∪ 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃 𝐹 − 𝑃(𝐸 ∩ 𝐹) ▪ 𝑆𝑒 ത𝐸 é 𝑜 𝑒𝑣𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑚𝑒𝑛𝑡𝑎𝑟 𝑑𝑒 𝐸, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜: 𝑃 ത𝐸 = 1 − 𝑃(𝐸) ▪ 𝑆𝑒 𝐸 ∩ 𝐹 = ∅, 𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝐸 𝑒 𝐹 𝑠ã𝑜 𝑐ℎ𝑎𝑚𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑚𝑢𝑡𝑢𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑥𝑐𝑙𝑢𝑠𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑒 ∶ 𝑃(𝐸) + 𝑃(𝐹) Propriedades ▪ Exemplo: Considere um dado de seis faces. ▪ O evento E = sair um número ímpar ▪ O evento F = sair um número ≤ 4 ▪ Evento União ∪ : é o evento que consiste em todos os resultados que estão contidos em cada um dos dois eventos. S = 1,2,3,4,5,6 𝐸 = 1,3,5 F = 1,2,3,4 𝐸 ∪ 𝐹 = 1,2,3,4,5 ▪ Operações com eventos: União S E F 3 1 5 6 2 4 ▪ Exemplo: Considere um dado de seis faces. ▪ O evento E = sair um número ímpar ▪ O evento F = sair um número ≤ 4 ▪ Determine a probabilidade de sair um número ímpar ou um número ≤ 4 S = 1,2,3,4,5,6 𝐸 = 1,3,5 F = 1,2,3,4 P 𝐸 ∪ 𝐹 = 𝑃 𝐸 + 𝑃 𝐹 − 𝑃(𝐸 ∩ 𝐹) ▪ P 𝐸 ∪ 𝐹 = 𝟑 𝟔 + 4 6 − 2 6 = 5 6 Exemplo 6 S E F 3 1 5 6 2 4 ▪ Exemplo: Considere um dado de seis faces. ▪ O evento E = sair um número ímpar ▪ O evento F = sair um número ≤ 4 ▪ Evento Intersecção ∩ : é o evento que consiste em todos os resultados que estão contidos dois eventos simultaneamente. S = 1,2,3,4,5,6 𝐸 = 1,3,5 F = 1,2,3,4 𝐸 ∩ 𝐹 = 1,3 ▪ Operações com eventos: Intersecção S E F 3 1 5 6 2 4 ▪ Exemplo: Considere um dado de seis faces. ▪ O evento E = sair um número ímpar ▪ O evento F = sair um número ≤ 4 ▪ Evento Complementar (Ē) é o evento formado por todos os elementos que não pertencem ao evento E 𝑆 = 1,2,3,4,5,6 𝐸 = 1,3,5 𝐹 = 1,2,3,4 ത𝐸 = 2,4,6 ▪ ത𝐹 = 5,6 Operações com eventos: Complementar S E F 3 1 5 6 2 4 ▪ Seja o espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }; ▪ E = { 1 } ▪ Ē = { 2, 3, 4, 5, 6} Exemplo 7 1 2 3 4 5 6 ▪ Evento Complementar (Ē) é o obtido utilizando a equação: ▪ P (Ē) = 1 – P(E) ▪ Onde: ▪ 1 representa 100 % dos casos menos a probabilidade de ocorrer o caso não desejado. Exemplo 7 – outra forma de resolver 1 2 3 4 5 6 𝑃 Ē = 1 − 1 6 = 5 6 = 0,8333 𝑜𝑢 83,33% ▪ No lançamento de um dado honesto de seis faces, qual é a probabilidade de não sair os números 3 e 5. ▪ Temos: S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } n(S)=6 E = { 3, 5 } n(E)=2 𝑃 Ē = 1 − 𝑃 𝐸 𝑃 Ē = 1 − 2 6 = 4 6 = 2 3 = 0,667 𝑜𝑢 66,7% Exemplo 8 ▪ No lançamento de um dado de 6 faces considere os eventos: ▪ A: ocorrer um número menor que 3 → A = { 1, 2} ▪ B: ocorrer um número superior a 5→ B = { 6 } ▪ Determine a probabilidade de ocorrer um nº < 3 ou um número > 5 P ( A Ս B ) = P (A) + P (B) P ( A Ս B ) = 2 6 + 1 6 = 3 6 = 0,5 Exemplo 9 1 2 6 3 4 5 A B ▪ Temos os eventos: ▪ A = { 3,