Exercícios de progressão geométrica soma dos termos

Para determinarmos o termo de uma progressão geométrica utilizamos a expressão an = a1*qn–1, onde:

an: posição do termo a ser calculado

a1: primeiro termo q: razão n: número de termos Em algumas situações precisamos determinar a soma dos termos de uma PG, para isso utilizamos a expressão:

Exemplo 1

Determine a soma dos doze primeiros elementos da progressão geométrica (2, 8, 32, 128, ...).

a1: 2

q (razão): 8 : 2 = 4

n: 12

Exemplo 2 Um tipo de bactéria divide-se em duas a cada hora. Após 12 horas, qual será o número de bactérias?

a1: 1

q: 2

n: 12

Após 12 horas o número de bactérias será igual a 4096.

Exemplo 3

Ao ser atacada por uma praga desconhecida, os frutos de uma mangueira foram apodrecendo dia após dia, obedecendo a uma progressão geométrica de primeiro termo igual a 2 e razão igual a 3. Se no décimo dia apodreceram os últimos frutos, calcule o número de frutos atacados pela praga. Resolução:

Podemos analisar a situação da seguinte forma:

1º dia	2º dia	3º dia	4º dia
2	6	18	54

a1: 2 q: 3 n: 10

O número de frutos atacados pela praga será de 59.048.

Exemplo 4

Uma pessoa resolve guardar um dinheiro obedecendo a uma progressão geométrica de razão 2. Considerando que no primeiro mês ela irá poupar R$ 0,50, qual será o valor poupado no oitavo mês e o total guardado no período? Valor guardado no 8º mês.

an = a1*qn–1

a8 = 0,5*28–1
a8 = 0,5*27
a8 = 0,5*128
a8 = 64 No oitavo mês ela irá poupar R$ 64,00. Total poupado

A quantia poupada no tempo determinado é de R$ 127,50.

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Vamos praticar a soma de uma progressão geométrica? Separamos alguns exercícios resolvidos e comentados sobre a soma de uma progressão geométrica (PG). Divirtam-se!

(ESPM) Na progressão geométrica (1, 2, 4, 8, …), sendo an o n-ésimo termo e Sn a soma dos n primeiros termos, podemos concluir que
A) Sn = 2.an
B) Sn = an + 1
C) Sn = an+1  + 1
D) Sn = an+1  – 1
E) Sn = 2.an + 1
Solução

(UEL) Os divisores positivos do número 310 são 30, 31,32, etc. A soma de todos esses divisores é

a) (311-1)/2
b) (310-1)/2
c) (39-1)/2
d) 310
e) 310-1
Solução

(Mackenzie) Sejam l1, l2, …, l100 os lados dos quadrados Q1, Q2, …, Q100, respectivamente.
Se l1 = 1 e lk = 2lk-1 , para k = 2, 3, …, 100, a soma das áreas desses quadrados é igual a…Solução.

Sabendo-se que o limite da soma $$x+\frac{x}{2}+\frac{x}{4}+\frac{x}{8}+…$$ é 100, determine o valor de x. Solução.

(ITA) Seja (a1, a2, a3;…) uma progressão geométrica (PG). infinita de razão a1, com 0< a1<1 , e soma igual a 3a1. A soma dos 3 primeiros termos dessa progressão geométrica é:

a) 8/27 b) 20/27 c) 26/27 d) 30/27 e) 38/27

Solução

Um assunto fundamental na matemática é a progressão geométrica, portanto responda os exercícios para entender e praticar.

1) Determine o 5º (quinto) termo de uma PG onde o primeiro termo é 3 e a razão é 7.

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Aplicando a fórmula, temos:

Portanto, o quinto termo da PG é igual a 7203.

2) Calcule o 10º (décimo) termo da PG: 1, 3, 9, 27, 81, …

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Vamos aplicar a fórmula, assim:

O décimo termo da PG dos exercícios é igual a 19683.

3) Encontre a soma dos cinco primeiros termos onde a1 = 2 e razão igual a 5.

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Calculamos a soma utilizando a fórmula para calcular os n primeiros termos de um PG.

Portanto, a soma dos cinco primeiros termos é igual a 1562.

4) Determine o primeiro termo de uma PG decrescente onde a9 = 12 e a6 = 96.

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Precisamos encontrar a razão desta PG para resolver a questão. Então, se considerarmos o 9º termo como o último termo da PG e o 6º como o primeiro, temos:

Agora que temos a razão podemos calcular o primeiro termo da PG. Assim:

Portanto, o primeiro termo da PG é 3072.

Estes exercícios elaborados com progressão geométrica servem para treinar o aprendizado estudado, portanto pratique e tenha facilidade em resolver questões envolvendo PG.