Matem�tica n�o tem Idade II: Velas isom�tricas ou seja de medidas iguais
O problema abaixo, foi proposto no concurso de admiss�o � Escola Preparat�ria de Cadetes do Ex�rcito, em 1969. Como eu j� disse num arquivo anterior, n�o fiz esta prova. A mesma chegou �s minhas m�os em 1998, atrav�s de um amigo que esteve l�. Soube pelo pr�prio amigo, que ele n�o logrou �xito nesse exame. Esta quest�o, por exemplo, para ele era grego! rarar�... Brincadeiras � parte,
Vamos ao enunciado:
Duas velas de alturas iguais s�o acesas no mesmo instante. A primeira se consome em 4 horas e a segunda, em 3 horas. Supondo que cada vela queima-se com velocidade constante, quantas horas ap�s terem sido acesas, a altura da primeira vela � o dobro da altura da segunda?
Solu��o:
Portanto, em t (h), ou seja t horas, a vela 1 ter� queimado t.L/4 e a vela 2 ter� queimado t.L/3.
Os comprimentos das velas no tempo t ser�o:
Vela1 ........................ L – t. L/4
Vela2 ........................ L – t. L/3
Pelo enunciado, poderemos ent�o escrever:
L – t. L/4 =
L – t. L/4 = 2L – 2.t.L/3
L(1 – t/4) = L(2 – 2t/3)
1 – t/4 = 2 – 2t/3
2t/3 – t/4 = 2 – 1
8t/12 – 3t/12 = 1
5t/12 = 1
5t = 12
t = 12/5 = 2,4h = 2h + 0,4h = 2h + 0,4x60min = 2h 24min
Resposta: 2h 24min Agora resolva este:Duas velas de alturas iguais s�o acesas no mesmo instante. A primeira se consome em 4 horas e a segunda, em 2 horas. Supondo que cada vela queima-se com velocidade constante, quantas horas ap�s terem sido acesas, a altura da primeira vela � o dobro da altura da segunda?
Resposta: 1h 20min
Paulo Marques, Feira de Santana - BA - revisado e ampliado em 06/02/2009
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Duas velas homogêneas e de comprimentos iguais são acesas simultaneamente. A primeira tem um tempo de queima de 4 horas e a segunda de 6 horas. Após certo tempo, ambas foram apagadas ao mesmo tempo. Observou-se que o resto de uma tinha o dobro do resto da outra. Por quanto tempo ficaram acesas ?
Duas velas homogêneas e de comprimentos iguais são acesas simultaneamente. A primeira tem um tempo de queima de 4 horas e a segunda de 6 horas. Após certo tempo, ambas foram apagadas ao mesmo tempo. Observou-se que o resto de uma tinha o dobro do resto da outra. Por quanto tempo ficaram acesas?
a) 2 horas
b) 2 horas e 30 min
c) 3
horas
d) 3 horas e 20 min
e) 3 horas e 30 min
Liliana RodriguesEstrela Dourada
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Imaginamos que na hora que foram "largadas" as velas tinham 10 cm.
Como a vela 1 acaba-se em 4h, ela perde 1/4 do seu tamanho por hora.
Como a vela 2 acaba-se em 6h, ela perde 1/6 do seu tamanho por hora.
O que nos leva a seguintes progressões de tamanho conforme o tempo.:
(primeiro termo é o tamanho na primeira hora, segundo termo é o da segunda e assim sucessivamente).
VELA 1: 10cm, 7,5cm, 5cm, 2,5cm, 0cm (diminui 2,5cm por hora pois 1/4 do tamanho da vela
é 2,5cm; mesmo raciocínio empregado para calcular a taxa em que a vela 2 perde tamanho).
VELA 2: 10cm, ~8,3333...cm, ~6,66666...cm, ~5cm, ...
Note que nos dois quartos termos, o tamanho de 2 é o dobro de 1. Logo isso acontece na quarta hora.
Comprimento das velas = x Comprimento
∆V = ∆S/∆T
∆S = ∆V.∆T
∆v1 = x/4 comprimento/hora e ∆v2 = x/6 comprimento/hora
Depois t horas, vela 1 mede (x - x/4t) e vela 2 mede (x - x/6t)
Igualdade: "Observou-se que o resto de uma tinha o dobro do resto da outra".
2 (x - x/4t) = (x -
x/6t)
2(4x-xt/4) = (6x-xt/6)
24x - 6xt = 12x - 2xt
12x = 4xt
t = 3horas
Resolução 2:
Comprimento inicial de cada vela = "10cm" (exemplo)
................................................................................................................................................................
..................................................................................................................................
......................................................................................................................................................................
Depois de t horas,
Igualdade: "Observou-se que o resto de uma tinha o dobro do resto da outra".
Muito obrigada gente!!!
Liliana RodriguesEstrela
Dourada
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Sergio, só uma correção, em " Logo isso acontece na quarta hora" na verdade, é na terceira hora. Após a terceira hora, o volume de uma é o dobro da outra. Mas é fácil de confundir mesmo. Do resto, entendi muito bem com seu exemplo
Liliana RodriguesEstrela Dourada
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Liliana Rodrigues escreveu:Sergio, só uma correção, em " Logo isso acontece na quarta hora" na verdade, é na terceira hora. Após a terceira hora, o volume de uma é o dobro da outra. Mas é fácil de confundir mesmo. Do resto, entendi muito bem com seu exemplo
Tem razão, eu havia começado a contar no instante zero e esqueci de levar isso em consideração.
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