Determinar P A , P ( B ) e P A ∩ B .
Se você não se lembra bem, um baralho é composto por 52 cartas, divididas em 4 naipes (espadas, copas, paus e ouros). Cada um desses naipes possui 13 cartas, (às, 1, 2, 3..., 10, dama, valete e rei). Então temos 4 damas totais em um baralho, uma de cada naipe.
Como são 4 damas em 52 cartas,
P A = 4 52 = 1 13
Como cada naipe possui 13 cartas,
P B = 13 52 = 1 4
E:
P A ∩ B = 1 52
Lembrando que a interseção é a dama de copas.
Substituir na fórmula inicial.
P A ∪ B = 1 13 + 1 4 - 1 52 = 16 52
Teste seus conhecimentos sobre probabilidade com questões divididas por nível de dificuldade, que são úteis para o ensino fundamental e médio.
Aproveite as resoluções comentadas dos exercícios para tirar suas dúvidas.
Questões nível fácil
Questão 1
Ao jogar um dado, qual a probabilidade de obtermos um número ímpar voltado para cima?
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Resposta correta: 0,5 ou 50% de chances.
Um dado possui seis lados, logo, a quantidade de números que podem ficar voltados para cima é 6.
Há três possibilidades de termos um número ímpar: caso ocorra o número 1, 3 ou 5. Sendo assim, o número de casos favoráveis é igual a 3.
Calculamos então a probabilidade utilizando a seguinte fórmula:
Substituindo os números na fórmula acima, encontramos o resultado.
As chances de ocorrer um número ímpar são 3 em 6, que corresponde a 0,5 ou 50%.
Questão 2
Se lançarmos dois dados ao mesmo tempo, qual a probabilidade de dois números iguais ficarem voltados para cima?
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Resposta correta: 0,1666 ou 16,66%.
1º passo: determinar o número de eventos possíveis.
Como são dois dados jogados, cada face de um dos dados tem a possibilidade de ter um dos seis lados do outro dado como par, ou seja, cada dado tem 6 combinações possíveis para cada um de seus 6 lados.
Sendo assim, o número de eventos possíveis é:
U = 6 x 6 = 36 possibilidades
2º passo: determinar o número de eventos favoráveis.
Se os dados possuem 6 lados com números de 1 a 6, logo, o número de possibilidades do evento é 6.
Evento A =
3º passo: aplicar os valores na fórmula de probabilidade.
Para termos o resultado em porcentagem basta apenas multiplicar o resultado por 100. Logo, a probabilidade de se obter dois números iguais voltados para cima é de 16,66%.
Questão 3
Um saco contém 8 bolas idênticas, mas com cores diferentes: três bolas azuis, quatro vermelhas e uma amarela. Retira-se ao acaso uma bola. Qual a probabilidade da bola retirada ser azul?
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Resposta correta: 0,375 ou 37,5%.
A probabilidade é dada pela razão entre o número de possibilidades e de eventos favoráveis.
Se existem 8 bolas idênticas, esse é o número de possibilidades que vamos ter. Mas apenas 3 delas são azuis e, por isso, a chance de retirar uma bola azul é dada por.
Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de retirar uma bola azul é de 37,5%.
Questão 4
Qual a probabilidade de tirar um ás ao retirar ao acaso uma carta de um baralho com 52 cartas, que possui quatro naipes (copas, paus, ouros e espadas) sendo 1 ás em cada naipe?
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Resposta correta: 7,7%
O evento de interesse é tirar um ás do baralho. Se há quatro naipes e cada naipe possui um ás, logo, o número de possibilidades de retirar um ás é igual a 4.
O número de casos possíveis corresponde ao número total de cartas, que é 52.
Substituindo na fórmula de probabilidade, temos:
Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de retirar uma bola azul é de 7,7%.
Questão 5
Sorteando-se um número de 1 a 20, qual a probabilidade de que esse número seja múltiplo de 2?
Ver Resposta
Resposta correta: 0,5 ou 50%.
A quantidade de número total que podem ser sorteados é 20.
A quantidade de números múltiplos de dois são:
A =
Substituindo os valores na fórmula de probabilidade, temos:
Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de sortear um número múltiplo de 2 é de 50%.
Para mais questões, veja também: Exercícios de Probabilidade (fáceis)
Questões nível médio
Questão 6
Se uma moeda é lançada 5 vezes, qual a probabilidade de sair "cara" 3 vezes?
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Resposta correta: 0,3125 ou 31,25%.
1º passo: determinar o número de possibilidades.
Há duas possibilidades existentes ao lançar uma moeda: cara ou coroa. Se há duas possibilidades de resultado e a moeda é lançada 5 vezes, o espaço amostral é:
2º passo: determinar o número de possibilidades de ocorrer o evento de interesse.
O evento coroa será chamado de O e o evento cara de C para facilitar a compreensão.
O evento de interesse é apenas cara (C) e em 5 lançamentos, as possibilidades de combinações para que o evento ocorra são:
- CCCOO
- OOCCC
- CCOOC
- COOCC
- CCOCO
- COCOC
- OCCOC
- OCOCC
- OCCCO
- COCCO
Sendo assim, existem 10 possibilidades de resultados com 3 caras.
3º passo: determinar a probabilidade de ocorrência.
Substituindo os valores na fórmula, temos que:
Multiplicando o resultado por 100, temos que a probabilidade de "sair" cara 3 vezes é de 31,25%.
Veja também: Probabilidade Condicional
Questão 7
Em uma experiência aleatória foi lançado duas vezes um dado. Considerando que o dado é equilibrado, qual a probabilidade de:
a) A probabilidade de conseguir no primeiro lançamento o número 5 e no segundo o número 4.
b) A probabilidade de obter em pelo menos um dos lançamentos o número 5.
c) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual a 5.
d) A probabilidade de obter a soma dos lançamentos igual ou menor que 3.
Ver Resposta
Respostas corretas: a) 1/36, b) 11/36, c) 1/9 e d) 1/12.
Para resolver o exercício devemos considerar que a probabilidade da ocorrência de um determinado evento, é dada por:
Na tabela 1 indicamos os pares resultantes dos lançamentos consecutivos do dado. Note que temos 36 casos possíveis.
Tabela 1:
1 | (1,1) | (1,2) | (1,3) | (1,4) | (1,5) | (1,6) |
2 | (2,1) | (2,2) | (2,3) | (2,4) | (2,5) | (2,6) |
3 | (3,1) | (3,2) | (3,3) | (3,4) | (3,5) | (3,6) |
4 | (4,1) | (4,2) | (4,4) | (4,4) | (4,5) | (4,6) |
5 | (5,1) | (5,2) | (5,3) | (5,4) | (5,5) | (5,6) |
6 | (6,1) | (6,2) | (6,3) | (6,4) | (6,5) | (6,6) |
a) Na tabela 1 observamos que existe apenas 1 resultado que cumpre a condição indicada (5,4). Assim, temos que em um total de 36 casos possíveis, apenas 1 é um caso favorável.
b) Os pares que atendem a condição de pelo menos um número 5 são: (1,5);(2,5);(3,5);(4,5);(5,1);(5,2);(5,3);(5,4);(5,5);(5,6);(6,5). Assim, temos 11 casos favoráveis.
c) Na tabela 2 representamos a soma dos valores encontrados.
Tabela 2:
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
Observando os valores da soma na tabela 2 vemos que temos 4 casos favoráveis da soma ser igual a 5. Assim a probabilidade será dada por:
d) Usando ainda a tabela 2 observamos que temos 3 casos em que a soma é igual ou menor que 3. A probabilidade neste caso será dada por:
Veja também: Probabilidade
Questão 8
Qual a probabilidade de lançar um dado sete vezes e sair 3 vezes o número 5?
Ver Resposta
Resposta correta: 7,8%.
Para encontrar o resultado podemos usar o método binomial, visto que cada lançamento do dado é um evento independente.
No método binomial, a probabilidade de um evento acontecer em k das n vezes é dado por:
onde:
n: número de vezes que ocorrerá a experiência
k: número de vezes de acontecer um evento
p:
probabilidade do evento acontecer
q: probabilidade do evento não acontecer
Vamos agora substituir os valores para a situação indicada.
Para ocorrer 3 vezes o número 5 temos:
n = 7
k = 3
(em cada jogada temos 1 caso favorável entre 6 possíveis)
Substituindo os dados na fórmula:
Logo, a probabilidade de jogar o dado 7 vezes e sair 3 vezes o número 5 é de 7,8%.
Questão 9
Um casal planeja ter cinco filhos e deseja saber a probabilidade de serem 3 meninos e 2 meninas. Calcule esta probabilidade.
Ver Resposta
Resposta: 31,25%
A probabilidade do evento A nascer menina é: P(A) = 1/2
A probabilidade do evento B nascer menino é: P(B) = 1/2
A ocorrência destes eventos é independente e uma das possibilidades seria:
A . A . B . B . B
Desta forma, em probabilidades
Ainda, é preciso verificar que os eventos podem ocorrer em diversas ordens. Para resolver calculamos uma permutação de 5 elementos, com 2 repetições de A e 3 repetições de B.
Repare que este é o mesmo resultado de realizarmos uma combinação:
A probabilidade final será calculada como:
Questão 10
Uma pesquisa realizada com 800 pessoas sobre a preferência pelos telejornais de uma cidade, evidenciou que 200 entrevistados assistem o apenas o telejornal A, 250 apenas o telejornal B e 50 assistem A e B. Das pessoas entrevistadas, qual a probabilidade de sortear ao acaso uma pessoa que assiste o telejornal A ou o telejornal B?
Ver Resposta
Resposta: 62,5%
Seja o evento A, sortear uma pessoa que assiste o telejornal A,
O evento B, sortear uma pessoa que assiste B,
A interseção são as pessoas que assistem os dois telejornais, 50 pessoas.
Desta forma, temos que
A probabilidade de sortear alguém que assista A ou O é de 62,5%.
Veja também: Análise Combinatória
Questões de probabilidade no Enem
Questão 11
(Enem/2012) O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa.
O objetivo da brincadeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta.
As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há:
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas
Ver Resposta
Alternativa correta: a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas.
1º passo: determinar o número total de possibilidades utilizando o princípio multiplicativo.
2º passo: interpretar o resultado.
Se cada aluno deve ter uma resposta e foram selecionados 280 alunos, entende-se que o diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 10 alunos a mais do que a quantidade de respostas possíveis.
Questão 12
(Enem/2012) Em um jogo há duas urnas com dez bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.
Amarela | 4 | 0 |
Azul | 3 | 1 |
Branca | 2 | 2 |
Verde | 1 | 3 |
Vermelha | 0 | 4 |
Uma jogada consiste em:
- 1.º: o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2
- 2.º: ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão
- 3.º: em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2
- 4.º: se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar?
a) Azul
b) Amarela
c) Branca
d) Verde
e) Vermelha
Ver Resposta
Alternativa correta: e) Vermelha.
Analisando os dados da questão, temos:
- Como a urna 2 não tinha nenhuma bola amarela, se ele pegar uma amarela da urna 1 e colocar na urna 2, o máximo que terá de bolas amarelas é 1.
- Como tinha apenas uma bola azul na urna 2, se ele pegar mais uma bola azul, o máximo que terá de bolas azuis na urna é 2.
- Como tinha duas bolas brancas na urna 2, se ele adicionar mais uma dessa cor, o máximo de bolas brancas na urna será 3.
- Como já tinha 3 bolas verdes na urna 2, se ele pegar mais uma dessa cor, o máximo de bolas vermelhas na urna será 4.
- Já há quatro bolas vermelhas na urna 2 e nenhuma na urna 1. Logo, esse é o maior número de bolas dessa cor.
Pela análise de cada uma das cores, vimos que a maior probabilidade é de pegar uma bola vermelha, já que é a cor que está em maior quantidade.
Questão 13
(Enem/2013) Numa escola com 1.200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras: inglês e espanhol.
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol?
a) 1/2
b) 5/8
c) 1/4
d) 5/6
e) 5/14
Ver Resposta
Alternativa correta: a) 1/2.
1º passo: determinar o número de alunos que falam pelo menos uma língua.
2º passo: determinar o número de alunos que falam inglês e espanhol.
3º passo: calcular a probabilidade do aluno falar espanhol e não falar inglês.
Questão 14
(Enem/2013) Considere o seguinte jogo de apostas:
Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6.
O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela.
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos.
6 | 2,00 |
7 | 12,00 |
8 | 40,00 |
9 | 125,00 |
10 | 250,00 |
Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para apostar, fizeram as seguintes opções:
- Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos
- Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos
- Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos
- Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos
- Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos
Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são:
a) Caio e Eduardo
b) Arthur e Eduardo
c) Bruno e Caio
d) Arthur e Bruno
e) Douglas e Eduardo
Ver Resposta
Alternativa correta: a) Caio e Eduardo.
Nessa questão de análise combinatória, devemos utilizar a fórmula de combinação para interpretar os dados.
Como são sorteados apenas 6 números, então o valor de p é 6. O que vai variar para cada apostador é o número de elementos tomados (n).
Multiplicando o número de apostas pela quantidade de combinações, temos:
Arthur: 250 x C(6,6)
Bruno: 41 x C(7,6) + 4 x C(6,6)
Caio: 12 x C(8,6) + 10 x C(6,6)
Douglas: 4 x C(9,6)
Eduardo: 2 x C(10,6)
De acordo com as possibilidades de combinações, Caio e Eduardo são os apostadores com mais chances de serem premiados.
Vídeo sobre Probabilidade
Leia também:
- Exercícios de Análise Combinatória
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- Princípio Fundamental da Contagem
- Permutação
Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.