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//exercicios.mundoeducacao.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-angulos-opostos-pelo-vertice.htm //exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre-Angulos.htm#questao-10 GEOMETRIA – ÂNGULOS 1- Sobre a classificação dos ângulos, marque a alternativa correta: A) Um ângulo é classificado como reto quando ele possui medida menor ou igual a 90º. B) Dois ângulos são complementares quando a soma deles é igual a 180º. C) Um ângulo é classificado como agudo quando a sua medida é menor do que 90º. D) Dois ângulos cuja soma é igual a 90º graus são conhecidos como ângulos obtusos. 2- Sabendo que a soma dos ângulos internos de um quadrilátero é sempre igual a 360º, em um quadrilátero em específico, a medida dos seus ângulos internos é proporcional aos números 3, 5, 6, 10. O valor do menor ângulo é: A) 15º B) 25º C) 45º D) 60º E) 75º 3- Sabendo que o ângulo EÂG é reto, o valor do ângulo FÂG é: A) 12º B) 30º C) 42º D) 45º E) 60º 4- Sabendo que os ângulos são suplementares, e analisando a imagem a seguir, o valor de x é igual a: A) 10º B) 11º C) 12º D) 13º E) 14º 5- (Enem 2018) A rosa dos ventos é uma figura que representa oito sentidos, que dividem o círculo em partes iguais. Uma câmera de vigilância está fixada no teto de um shopping e sua lente pode ser direcionada remotamente, através de um controlador, para qualquer sentido. A lente da câmera está apontada inicialmente no sentido oeste e o seu controlador efetua três mudanças consecutivas, a saber: • 1ª mudança: 135° no sentido anti-horário; • 2ª mudança: 60° no sentido horário; • 3ª mudança: 45° no sentido anti-horário. Após a 3ª mudança, ele é orientado a reposicionar a câmera, com a menor amplitude possível, no sentido noroeste (NO) devido a um movimento suspeito de um cliente. Qual mudança de sentido o controlador deve efetuar para reposicionar a câmera? A) 75º no sentido horário B) 105º no sentido anti-horário C) 120º no sentido anti-horário D) 135º no sentido anti-horário E) 165º no sentido horário 6- (Enem 2017) A imagem apresentada na figura é uma cópia em preto e branco da tela quadrada intitulada O peixe, de Marcos Pinto, que foi colocada em uma parede para exposição e fixada nos pontos A e B. Por um problema na fixação de um dos pontos, a tela se desprendeu, girando rente à parede. Após o giro, ela ficou posicionada como ilustrado na figura, formando um ângulo de 45° com a linha do horizonte. 7- Para recolocar a tela na sua posição original, deve-se girá-la, rente à parede, no menor ângulo possível inferior a 360°. A forma de recolocar a tela na posição original, obedecendo ao que foi estabelecido, é girando-a em um ângulo de A) 90º no sentido horário. B) 135º no sentido horário. C) 180º no sentido anti-horário. D) 270º no sentido anti-horário. E) 315º no sentido horário. 8- (IFG) Supondo que a'//a e b'//b, marque a alternativa correta. A) x = 31° e y = 31° B) x = 56° e y = 6° C) x = 6° e y = 32° D) x = 28° e y = 34° E) x = 34° e y = 28° 9- Analisando a imagem, podemos afirmar que a medida do menor ângulo é: A) 95º B) 89º C) 77º D) 64º E) 25º 10- O ângulo α é complementar ao ângulo ▯ e suplementar a um ângulo de 125º, então, a medida do ângulo ▯ é: A) 55º B) 45º C) 35º D) 30º E) 25º 11- Sabendo que o seguimento AD é bissetriz do ângulo BÂC, então, o valor desse ângulo BÂC é: A) 25º B) 35º C) 50º D) 70º E) 75º 12- A imagem abaixo mostra o cruzamento entre duas retas e o vértice V, ponto de encontro entre elas. Qual a medida do ângulo AVC? a) 10° b) 20° c) 40° d) 50° e) 60° 13- Duas retas cruzam-se no ponto V, formando os ângulos opostos pelo vértice de 10x + 20 e 5x + 50. Qual é o valor de x? a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 14- Das alternativas abaixo que fazem afirmações a respeito de ângulos formados por uma reta transversal a um feixe de retas paralelas, assinale aquela que for correta. a) Ângulos alternos internos são complementares. b) Ângulos alternos internos são suplementares. c) Ângulos correspondentes são suplementares. d) Ângulos opostos pelo vértice são congruentes. e) Ângulos opostos pelo vértice são suplementares.
O ângulo é uma região delimitada por duas semirretas. Para medi-lo, há duas possíveis unidades: grau ou radiano. De acordo com a sua medida, ele pode ser classificado em agudo, reto, obtuso ou raso.
Quando temos dois ângulos, podemos estabelecer relações entre eles. Caso eles possuam a mesma medida, eles são chamados de congruentes. Quando a soma entre eles é igual a 90º ou 180º ou 360º, eles são conhecidos, respectivamente, como ângulos complementares, suplementares e replementares.
Leia também: Ângulos notáveis – conheça os ângulos mais usados na trigonometria
Como medir um ângulo
Para a realização de um desenho ou para a medição de um ângulo, na geometria plana utilizamos o compasso e o transferidor. Existem alguns outros instrumentos utilizados por profissionais da construção civil, como o teodolito.
Como o ângulo corresponde à região que está entre duas semirretas, para realizar a medida em um transferidor, posicionamos uma das semirretas apontando para 0º e observamos o grau para o qual a outra semirreta está apontada.
Unidade de medida de ângulos
Existem duas possibilidades para medirmos um ângulo: o grau e o radiano. 1 rad é o ângulo que faz com que o arco formado na circunferência tenha a mesma medida que o raio dessa circunferência.
É bastante comum a necessidade de converter graus para radianos. Para isso, utilizamos regra de três, sabendo sempre que 180º corresponde a π.
Exemplo
- Qual é o valor de um ângulo de 60º em radianos?
Resolução:
π rad ------------------------- 180º
x rad ------------------------- 60º
Agora, para converter de radianos para graus, basta realizarmos a substituição de π por 180º.
Exemplo
- Qual é o valor do ângulo que mede a terça parte de 2π rad em graus?
Classificação dos ângulos
Um ângulo pode ser classificado de acordo com a sua medida. Além de nulo (ângulo de 0º), um ângulo pode ser agudo, reto, obtuso, raso, côncavo ou inteiro.
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Ângulo agudo: quando sua medida é um número maior que 0 e menor que 90º.
Note que o ângulo AÔB, representado também por α, é um ângulo maior que 0º e menor que 90º.
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Ângulo reto: possui exatamente 90º. Quando isso acontece, podemos dizer também que as semirretas se cruzam de forma perpendicular.
Geralmente o ângulo reto possui a região angular (região em laranja na imagem) representada por um quadrado.
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Ângulo obtuso: quando sua medida é maior que 90º e menor que 180º.
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Ângulo raso: conhecido também como meia-volta ou meia-lua, esse ângulo equivale à metade de um ângulo inteiro, logo possui exatamente 180º.
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Ângulo côncavo: menos comum nas situações cotidianas que os demais, é o ângulo que tem medida maior que 180º e menor que 360º.
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Ângulo inteiro: como o nome sugere, esse ângulo representa a volta completa, possuindo exatamente 360º.
Leia também: Polígonos – figuras geométricas formadas por segmentos de reta
Ângulos congruentes
Dois ângulos são chamados de congruentes quando possuem a mesma medida. Esse conceito é muito confundido com a ideia de igualdade. Para que os ângulos sejam congruentes, eles não precisam ser necessariamente iguais, mas precisam ter a mesma medida.
Ângulos opostos pele vértice
Um caso bastante comum de ângulos congruentes é quando os ângulos são opostos pelo vértice. Quando temos duas retas concorrentes, ou seja, que se cruzam, é possível traçarmos vários ângulos entre elas. Quando comparamos dois ângulos que estão em lados opostos de um mesmo vértice, eles sempre serão congruentes, ou seja, terão a mesma medida.
Leia também: Ângulos colaterais internos e externos
Bissetriz de um ângulo
Definimos como bissetriz de um ângulo a semirreta que divide o ângulo em duas partes congruentes, ou seja, de mesma medida.
A bissetriz AF divide o ângulo maior EÂG em dois ângulos congruentes. O ângulo EÂF é congruente ao ângulo FÂG.
Ângulos consecutivos e ângulos adjacentes
Dois ângulos são consecutivos quando possuem o mesmo vértice e um de seus lados em comum. O conceito de ângulo adjacente, muitas vezes, confunde-se com o de ângulo consecutivo, porém possuem uma diferença sutil – a começar pelo fato de que ângulos adjacentes são casos particulares de ângulos consecutivos.
Dois ângulos consecutivos são adjacentes quando eles possuem somente o lado e o vértice em comum, mas nenhuma região pode pertencer aos dois ao mesmo tempo.
Na representação acima, podemos encontrar ângulos consecutivos e ângulos consecutivos adjacentes. Os ângulos EÂG e EÂF são consecutivos, pois possuem em comum o lado EA e o vértice A. Perceba que, nesse caso, o ângulo EÂF está contido no ângulo maior EÂG, o que faz com que eles não sejam adjacentes.
Os ângulos EÂF e FÂG também são consecutivos, pois possuem o lado FA em comum e também o vértice A, porém, nesse caso, eles possuem somente isso em comum, o que faz com que eles sejam consecutivos e adjacentes.
Casos particulares de soma de dois ângulos
Existem três casos particulares para a soma entre dois ângulos, de acordo com o resultado dessa soma. São eles: ângulos complementares, ângulos suplementares e ângulos replementares.
→ Ângulos complementares
Dois ângulos são conhecidos como complementares quando o resultado da soma dos dois é igual a 90º, ou seja, juntos eles formam um ângulo reto.
→ Ângulos suplementares
Dois ângulos são considerados suplementares quando a soma entre eles é igual a 180º, ou seja, juntos eles formam um ângulo raso.
→ Ângulos replementares
Menos comum que os anteriores em livros didáticos e provas, o ângulo replementar ocorre quando a soma de dois ângulos gera um ângulo inteiro, ou seja, um ângulo de medida igual a 360º.
Retas paralelas cortadas por uma transversal
Quando há duas retas paralelas cortadas por uma transversal, é possível estabelecer uma relação importante entre os ângulos formados na reta. Há três informações importantes que te auxiliam a descobrir o valor de todos os oito ângulos nessa situação. Veja:
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Os ângulos agudos são sempre congruentes;
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Os ângulos obtusos são sempre congruentes.
A soma de um agudo com um obtuso é igual a 180º, ou seja, eles são suplementares.
Essas três informações nos permitem, por meio de equações, descobrir o valor de todos os oito ângulos quando há duas retas paralelas cortadas por uma transversal.
Leia também: Seno e cosseno de ângulos suplementares
Exercícios resolvidos
Questão 1 - (IFG) Supondo que a'//a e b'//b, marque a alternativa correta.
a) x = 31° e y = 31°
b) x = 56° e y = 6°
c) x = 6° e y = 32°
d) x = 28° e y = 34°
e) x = 34° e y = 28°
Resolução:
Analisando a figura, temos dois ângulos agudos e dois ângulos obtusos.
Como o enunciado nos informa que são retas paralelas cortadas por uma transversal, os ângulos agudos e os obtusos são congruentes, então temos que:
Seja 2x + y = 118º a equação I e x+y = 62 º a equação II, vamos resolvê-las pelo método da adição, multiplicando a equação II por ( -1).
Conhecendo o valor de x, vamos substitui-lo na equação II.
x+y = 62º
56º + y =62º
y=62º – 56º
y = 6º
Alternativa B.
Questão 2 - Dois ângulos são suplementares. Sabendo que um é o dobro do outro, qual é o valor do menor ângulo?
a) 120º
b) 90º
c) 180º
d) 60º
e) 30º
Resolução:
Se esses ângulos são suplementares, a soma é igual a 180º. Assim, seja x o menor, então o maior é 2x.
Alternativa D.
Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática