A soma dos cinco primeiros termos onde a1 = 2 e razão igual a 5 será:

Uma progressão aritmética (PA) é uma sequência numérica que segue a lógica a seguir: um elemento é igual ao anterior somado com uma constante real. Assim, é uma propriedade das progressões aritméticas que a diferença entre dois termos consecutivos quaisquer tenha sempre o mesmo resultado. Esse resultado é chamado de razão. A soma dos termos de uma PA pode ser calculada de maneira fácil por meio de uma fórmula, que será discutida a seguir.

O primeiro a somar termos

Gauss, matemático alemão, foi o primeiro a somar os termos de uma PA sem precisar somar todos os termos um por um. Quando criança, sua turma na escola sofreu um castigo do professor: eles deveriam somar todos os números de 1 a 100. Gauss foi o primeiro a terminar, em tempo recorde, e o único a acertar o resultado: 5050.

A explicação para isso está no fato de Gauss ter percebido que a soma do primeiro número com o último tinha 101 como resultado e que o mesmo acontecia para o segundo e penúltimo, terceiro e antepenúltimo e assim por diante. Não passou muito tempo para ele calcular que, ao final, teria 50 resultados iguais a 101 e que a soma exigida pelo professor era igual ao produto 50 por 100.

O pensamento de Gauss norteia a ideia central usada para demonstrar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma PA.

Fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma PA

Dada a PA (a1, a2, a3, …, an – 2, an – 1, an), que possui n termos, observe que o primeiro termo é a1, o segundo é a2, …, o penúltimo é an – 1 e o último é an.

Representando a soma desses termos por Sn, teremos a seguinte expressão:

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an

Em vez de somar os termos do mesmo modo que Gauss, reescreveremos a soma como outra soma de termos de PA logo abaixo dessa, de modo que o último termo fique abaixo do primeiro, o penúltimo fique abaixo do segundo e assim por diante.

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an

Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1

Observe que, se somarmos as duas expressões, teremos o dobro da mesma soma que Gauss fez.

Sn = a1 + a2 + a3 + … + an – 2 + an – 1 + an

+ Sn = an + an – 1 + an – 2 + … + a3 + a2 + a1

2Sn = (a1 + an) + (a2 + an – 1) + (a3 + an – 2) + … + (an – 2 + a3) + (an – 1 + a2) + (an + a1)

Mantendo o mesmo pensamento de Gauss, os resultados dessas somas entre parênteses serão iguais aos do primeiro termo somado ao último. Podemos substituir, portanto, todos os termos por (a1 + an). Observe:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)

Para finalizar, observe que a soma que obtivemos aqui é diferente da soma que Gauss obteve, pois possui exatamente os n termos que a PA possui. A de Gauss possuía apenas metade, pois ele somou os termos de uma mesma PA. A soma que desenvolvemos, contudo, possui todos, pois nós duplicamos cada termo antes de somá-los. Desse modo, podemos trocar toda a soma acima pela multiplicação por n, que é o número inicial de termos. Assim, resolvendo a equação, teremos a fórmula pretendida:

2Sn = (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an) + ... + (a1 + an) + (a1 + an) + (a1 + an)

2Sn = n(a1 + an)

Sn = n(a1 + an)
       2

*n é o número de termos; a1 e an são o primeiro e o último termo, respectivamente.

Exemplo

Dada a PA (2, 4, 6, 8, 10, …), calcule a soma dos seus 100 primeiros termos.

Para calcular essa soma, é necessário conhecer o último termo dessa PA. Para tanto, usaremos a fórmula do termo geral de uma PA.

an = a1 + (n – 1)r

a100 = 2 + (100 – 1)2

a100 = 2 + (99)2

a100 = 2 + 198

a100 = 200

Agora, usando a fórmula para soma dos n primeiros termos de uma PA, teremos:

S100 = 100(2 + 200)
         2

S100 = 100(202)
          2

S100 = 20200
          2

S100 = 10100

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Considere uma P.A. qualquer de razão r.

(a1, a2, a3, a4, a5, ...)

A soma dos n primeiros termos dessa P.A. será dada por:

Onde,

a1 → é o primeiro termo da P.A.

Exemplo 1. Calcule a soma dos 20 primeiros termos da P.A. abaixo:

Solução: Note que para a utilização da fórmula da soma dos termos é necessário conhecer o valor de a1 e a20. Temos que

a1 = 5;   r = 8 – 5 = 3;   n = 20;  

Precisamos determinar qual é o 20º termo dessa P.A., ou a20. Para isso, iremos utilizar a fórmula do termo geral.

Agora, podemos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.A.

Exemplo 2. Calcule a soma dos 50 primeiros números naturais ímpares.

Solução: (1, 3, 5, 7, ...) é a sequência dos números ímpares. É fácil ver que a1 = 1 e r = 2. Precisamos determinar o 50º termo dessa sequência (a50). Para isso, iremos utilizar a fórmula do termo geral.

a50 = 1 + (50 - 1)?2 = 1 + 49?2 = 99

Agora podemos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos da P.A.

Exemplo 3. O primeiro termo de uma P.A. vale 0,7 e a soma de seus vinte primeiros termos é igual a 71. Determine o vigésimo termo dessa P.A. Solução: Temos que

a1 = 0,7   S20 = 71     a20 = ?

Para solução desse problema devemos utilizar a fórmula da soma dos n primeiros termos de uma P.A.

Aproveite para conferir nossas videoaulas sobre o assunto:

Um assunto fundamental na matemática é a progressão geométrica, portanto responda os exercícios para entender e praticar.

1) Determine o 5º (quinto) termo de uma PG onde o primeiro termo é 3 e a razão é 7.

Ver resposta

Aplicando a fórmula, temos:

Portanto, o quinto termo da PG é igual a 7203.

2) Calcule o 10º (décimo) termo da PG: 1, 3, 9, 27, 81, …

Ver resposta

Vamos aplicar a fórmula, assim:

O décimo termo da PG dos exercícios é igual a 19683.

3) Encontre a soma dos cinco primeiros termos onde a1 = 2 e razão igual a 5.

Ver resposta

Calculamos a soma utilizando a fórmula para calcular os n primeiros termos de um PG.

Portanto, a soma dos cinco primeiros termos é igual a 1562.

4) Determine o primeiro termo de uma PG decrescente onde a9 = 12 e a6 = 96.

Ver resposta

Precisamos encontrar a razão desta PG para resolver a questão. Então, se considerarmos o 9º termo como o último termo da PG e o 6º como o primeiro, temos:

Agora que temos a razão podemos calcular o primeiro termo da PG. Assim:

Portanto, o primeiro termo da PG é 3072.

Estes exercícios elaborados com progressão geométrica servem para treinar o aprendizado estudado, portanto pratique e tenha facilidade em resolver questões envolvendo PG.