Como calcular função exponencial com raiz quadrada

Chama-se  função exponencial  a função  f :

Se  a  >  1  a função é crescente      Se  0  <  a  <  1  a função é decescente

A curva exponencial não toca no eixo dos  "x".   Portanto,  a função não tem raiz.

Valor numérico: Para encontrar o valor número da função,  basta substituir o valor  de  "x"  pelo respectivo número.

Assim,  dada a função exponencial   f(x)  =  7x

f(2)  =  72

f(– 2)  =  7 –2

Toda vez que o expoente for negativo inverte-se a base e o expoente passa a ser positivo.

Uma aplicação da função exponencial O aluguel de um imóvel é de  R$ 5 000,00  e  por contrato, deve aumentar  10%  todo ano,  quanto custará em cinco anos? No  1º  ano: M(1)  =  5000  +  5000 ⋅ 0,1  =  5000 ⋅ (1  +  0,1) No  2º  ano:

M(2)  =  5000 ⋅ (1  +  0,1)  +  5000 ⋅ (1  +  0,1) ⋅ 0,1  =  5000 ⋅ (1  +  0,1) ⋅ (1  +  0,1)  =  5000 ⋅ (1  +  0,1)2

M(3)  =  5000 ⋅ (1  +  0,1)2  +  5000 ⋅ (1  +  0,1)2 ⋅ 0,1  =  5000 ⋅ (1  +  0,1)2 ⋅ (1  +  0,1)  =  5000 ⋅ (1  +  0,1)3

M(4)  =  5000 ⋅ (1  +  0,1)3  +  5000 ⋅ (1  +  0,1)3 ⋅ 0,1  =  5000 ⋅ (1  +  0,1)3 ⋅ (1  +  0,1)  =  5000 ⋅ (1  +  0,1)4

M(5)  =  5000 ⋅ (1  +  0,1)4  +  5000 ⋅ (1  +  0,1)4 ⋅ 0,1  =  5000 ⋅ (1  +  0,1)4 ⋅ (1  +  0,1)  =  5000 ⋅ (1  +  0,1)5

M(5)  =  5000  ⋅  (1  +  0,1)5

R& 5000,00  de capital inicial  (c),  10%  de taxa  ( i )  e  5  anos de tempo  (t).

M(t)  =  c  ⋅  ( 1  +  i )t  (fórmula do cálculo do montante em juros compostos).

Equação Exponencial

Uma equação onde a incógnita está no expoente é chamada de  equação exponencial.

Resolução: A principal maneira de se resolver uma equação exponencial é: deixar as bases iguais em ambos os membros da igualdade.

Na equação   2x  =  4   as bases não são iguais.

2x  =  4   (fatorando o  4  se tem que  4  =  22)

Substituindo o  4  pelo  22  tem-se:

S = { x  ∈  IR ;  x  =  2 }   ou   S  =  { 2 }

Observação Em algumas situações,  a princípio,  não é fácil observar que se pode igualar as bases.

4x + 1  =  9x + 1

Fatorando as bases se encontra:   4  =  22   e   9  =  33

Mas,  dividindo toda a equação,  por exemplo,  por   9x + 1   tem-se:

[

Como  1  =  a0     se  a  ≠  0   então:

[

S  =  { – 1 }

Inquação Exponencial

As inequações exponênciais seguem a regra das equações,  exceto,
quando a base é menor do que  1,  onde a desigualdade é invertida.

Resolução: ①  Dada a inequação:

42x + 3  >  8   (fatorando tanto o  4  quanto o  8)  tem-se:

x  >  –

S  =  { x  ∈  IR ;  x  >  –

②  Sendo a inequação:

[

x  +  2  ≤  4  (com a desigualdade invertida)

S  =  { x  ∈  IR ;  x  ≤  2 }

Exercícios Resolvidos

R01 — Faça um esboço do gráfico de   f(x)  =  2x.

Igualando o exponente a zero tem-se: x  =  0 Tomando três valores:  o zero,  um valor menor e um valor maior.

f(x)  =  2x

f(– 1)  =  2– 1

f(0)  =  20

f(1)  =  21

R02 — O produto das soluções da equação  ( 2x )x  –  1  =  4  é:
a)  – 3    b)  – 2    c)  – 1    d)  0    e)  1

Expoente com expoente,  multiplica-se:
( 2x )x  –  1  =  2x2 –  x

Fatorando o  4  tem-se  22

( 2x )x  –  1  =  4

x2  –  x  =  2

Δ  =  (– 1)2  –  4  ⋅  1  ⋅  (– 2)

x  =  

x′′  =  

Alternativa  "b".

R03 — Encontre a solução da equação  22 x  –  2  =  2x2 –  1

As bases já são iguais,  então:
2 x  –  2  =  x2  –  1  (passando os elementos do 1º para o 2º membro)
x2  –  1  –  2 x  +  2  =  0
x2  –  2 x  +  1  =  0 Resolvendo a equação:

Δ  =  (– 2)2  –  4  ⋅  1  ⋅  2

x  =  

x′  =  x′′  =  

S  =  { 1 }

R04 — Encontre a soma das soluções da equação exponencial:
2x  +  4  ⋅  2– x  =  5

Como   2– x  =  

Substituindo  2x por   y

Δ  =  (– 5)2  –  4  ⋅  1  ⋅  4

y  =  

y′  =  

y′′  =  

Como   2x  =  y   tem-se:

2x  =  1

Então,  a soma das soluções é  2  +  0  =  2.

R05 — Se  x  é um número real tal que   4x  –  4x  –  1  =  24.   Calcule  (2 x)x.

4x – 1  pode ser escrito na forma fatorada  4x  ⋅  4– 1  (onde   4– 1  =  

4x  –  4x  –  1  =  24

Fazendo   4x  =  y   tem-se:

y  =  

4x  =  32

x  =  

(2 x)x  =  (2  ⋅  

R06 — Encontre a soma dos dois maiores números inteiros que:
satisfazem a desigualdade:  

Como  

Portanto,  a soma  é  2  +  3  =  5.

R07 — Resolva o sistema  S  =  

Esse sistema pode ser resolvido pela adição das duas equações.
2x  +  2x  +  3y  −  3y  =  11  +  5

Como   2x  +  2x  =  2  ⋅  2x   e   3y  −  3y  =  0   tem-se:

2  ⋅  2x  =  16

23  +  3y  =  11

S  =  { ( 3,  1) }

R08 — Seja  a  é um número real tal que  0  <  a  <  1,
resolva a inequação   a2 x  +  1  >  (

Como  

(

a2 x  +  1  >  (

Como   a  <  1   tem-se:

x  <  

S  =  { x  ∈  IR ;  x  <  

R09 — Resolva a equação  32 x  –  1  –  3x  –  3x  –  1  +  1  =  0

Escrevendo  32 x  –  1  e  3x  –  1  de forma fatorada:

32 x  –  1  =  32 x  ⋅  3– 1  =  32 x  ⋅  

32 x  –  1  –  3x  –  3x  –  1  +  1  =  0

Como   32 x  =  (3x)2   então:

y2  –  3 y  –  y  +  3  =  0

Δ  =  42  −  4  ⋅  1  ⋅  3

y  =  

y′  =  

y′′  =  

Como  3x  =  y  tem-se:

3x  =  3

3x  =  1

S  =  { 0,  1 }

R10 — Determine o conjunto solução de:
32 x  +  1  –  9x  –  32 x  –  1  –  9x  –  1  ≥  126

Como   32 x  =  (32)x  =  9x   então: Escrevendo de forma fatorada:

32 x  +  1  =  (32)x  ⋅  31  =  9x  ⋅  3  =  3  ⋅  9x

32 x  +  1  –  9x  –  32 x  –  1  –  9x  –  1  ≥  126

y  ≥  

Como  y  =  9x  tem-se:

9x  ≥  81

S  =  { x  ∈  IR ;  x  ≥  2 }

R11 — Resolva a inequação:  4x  +  1  –  6  ⋅  2x  +  2  ≥  0

Como  4x  +  1  =  (22)x  ⋅  41  =  (2x)2  ⋅  4  =  4  ⋅  (2x)2  então:

4x  +  1  –  6  ⋅  2x  +  2  ≥  0

4 y2  –  6 y  +  2  ≥  0  (que é uma inequação do 2° grau)

Encontrando as raízes de   4 y2  –  6 y  +  2  =  0   tem-se:

y  =  

y'  =  

y''  =  

Como se deseja que  4 y2  –  6 y  +  2  seja  ≥  0  (positivo ou nulo)

Como  a  >  0  então é positivo fora das raízes e nulo nas raízes.

y  ≤  

Como  y  =  2x  então:

2x  ≥  1

S  =  { x  ∈  IR ;  x  ≤  – 1  ou  x  ≥  0 }

R12 — Resolva a equação  

Como 

S  =  { 3/7 }

Outra forma de resolver é elevando os dois membros ao quadrado. Assim, tem-se:

(

3/7  =  x

Exercícios Propostos

P01 — Faça um esboço gráfico de  f(x)  =  (

P02 — Considerando a função  f(x)  =  ax,  em que  0  <  a  <  1,  tem-se: a)  se  x  >  0  então  f(x)  >  1 b)  se  x  <  0  então  f(x)  <  1 c)  se  x  <  0  então  f(x)  <  – 1

d)  se  x  >  0  então  f(x)  <  1

P03 — A solução da equação   112x + 5  =  1  é:
a)  

P04 — Resolva as equações:
a)  (0,1)2x – 1  =  (0,01)4x + 3    b)  7x / (1 – x)  =  49

P05 — Determine a solução das equações:
a)  3x  =  (0,3333...)x + 1    b)  23x  ⋅  (5x)3  =  1000

P06 — Qual a solução da equação exponencial abaixo?
9x  ⋅  52x  =  225

P07 — Obtenha a solução da equação:  3  ⋅  3x  =  √3

P08 — Se   2x  +  3  =  24,   então   2– x   é:
a)  2/3    b)  3    c)  1/3    d)  8    e)  1/8

P09 — Obtenha a solução da equação:

P10 — (PUC-RS) A soma das raízes da equação é:
4x  –  

P11 — (IPA/IMEC) Se   2x  +  2– x  =  10   então   4x  +  4– x   vale:
a)  40    b)  50    c)  75    d)  98    e)  100

P12 — (PUC-RS) A soma das raízes da equação
9  ⋅  5x2 – 2x + 1  =  5625  é:
a)  – 4    b)  – 2    c)  – 1    d)  2    e)  4

P13 — Resolva a equação:  2x – 4  +  2x  =  34

P14 — Obtenha o conjunto solução da inequação:
(2 √2)x  >  (

P15 — O menor inteiro que satisfaz a inequação: 
(

P16 — Encontre a solução da inequação:  
2x  ⋅  4x  +  1  ⋅  8x  +  2  >  16x  +  3

P17 — Determine a solução da inequação: 
9  <  273x – 1  <  27

P18 — Obtenha o conjunto solução da inequação:
(3  +  √2 )x  >  – 2

P19 — A soma dos dois menores valores de  x  que:
satisfaz a desigualdade   (0,1)5x – 1  <  (0,1)2x + 5   é:
a)  3    b)  4    c)  5    d)  6    e)  7

P20 — A equação  2x – 1  ⋅  128x  =