A Matemática organiza os modelos numéricos em conjuntos, no intuito de facilitar alguns procedimentos operatórios. As relações de pertinência são utilizadas na composição dos conjuntos. Observe-os, juntamente com seus elementos: Show Naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ...} Inteiros Racionais Irracionais I = {√8; –√6; 2,36521452 ...} Ao analisarmos os conjuntos numéricos, observamos que alguns elementos são pertencentes a outro conjunto, por exemplo: o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos inteiros e o conjunto dos números inteiros está contido nos números racionais. A união entre os números naturais, inteiros e racionais formam o conjunto Q, que ao ser unido aos números irracionais, determina o conjunto dos números reais. Entre os conjuntos, podemos afirmar as seguintes condições: N C Z C Q C R → N está contido em Z, que está contido em Q e que está contido em R I C R → I está contido em R Q U I = R → Q união com I, corresponde a R Q ∩ I = Ø → Q intersecção com I, corresponde a vazioI = R – Q → I corresponde a R, subtraído de Q Observe mais algumas importantes relações entre os conjuntos: N ∩ Z = inteiros positivos Z – N = inteiros negativos (N ∩ Q) U Z = Z (Q U I) ∩ N = N R ∩ N = N N U Z = Z Os conjuntos numéricos podem ser representados de diversas maneiras, e uma das mais importantes para a matemática é a representação por intervalos. Ela é capaz de mostrar em que ponto um conjunto começa e termina, ou seja, seu menor e maior elemento. Essa representação também pode indicar os números que não pertencem a esse conjunto, caso eles existam. Toda essa representação dos conjuntos numéricos é feita por símbolos. Geralmente, a representação por intervalos é usada para demonstrar subconjuntos dos números reais, entretanto, ela também é igualmente útil quando envolve qualquer outro conjunto numérico. Por exemplo: O subconjunto S dos números reais maiores que 5 e menores ou iguais a 10 é representado da seguinte maneira: S = {x ε N/5 < x ≤ 10} Sua representação por intervalos pode assumir ainda uma das duas formas a seguir: S = (5,10] ou S = ]5,10] As regras para usar essa representação são: Regras da representação por intervalos 1 – Os símbolos ( ) indicam que os extremos daquele conjunto não estão incluídos nele; 2 – Os símbolos [ ] indicam que os extremos daquele conjunto estão incluídos nele; 3 – Os símbolos ][, virados para fora, indicam que os extremos daquele conjunto não estão incluídos nele. Os símbolos que aparecem nas regras acima podem ser combinados de acordo com a necessidade e o gosto daquele que representa o conjunto. 1º Exemplo: O conjunto dos números reais entre – 7 e 4,2, inclusive os extremos. S = [– 7; 4,2] 2º Exemplo: O conjunto dos números reais maiores que – 10 e menores que 60. S = (– 10, 60) 3º Exemplo: – O conjunto dos números reais maiores ou iguais a – 2,45 e menores ou iguais a 3/8. S = [– 2,45; 3/8] 4º Exemplo: – O conjunto dos números reais menores ou iguais a 7 e maiores que – 1/2. S = ] – 1/2; 7] Representação geométrica É possível representar esses intervalos (subconjuntos) por meio da geometria. Para isso, basta se lembrar das retas numéricas: elas são o resultado de uma relação de cada ponto de uma reta com um número real. Assim, existe uma ordem entre os números, na qual, ao percorrer a reta para uma direção, os números reais sempre serão maiores e, na direção oposta, os números reais sempre serão menores. Para usar essa representação, as regras são as seguintes: 1 – Identificar os extremos do subconjunto na reta; 2 – Marcá-los com bola aberta se pertencem ao conjunto ou com bola fechada se não pertencem; 3 – Sinalizar o interior desse intervalo pintando a parte da reta correspondente a ele. Da mesma forma, podemos combinar bola aberta e fechada quando um dos extremos pertence ao conjunto e o outro não. Também existe a possibilidade do subconjunto ser definido de modo que alguns números no seu interior não pertençam a ele. Nesse caso, é só encontrar o ponto que representa esse número na reta numérica e sinalizá-lo com bola aberta. Caso o subconjunto possua um ponto além de suas extremidades, basta marcar esse ponto com bola fechada. Para melhor compreensão dessas regras e de suas variações, observe os exemplos a seguir. 1º Exemplo: Intervalo [0, 5] Perceba que os números 0 e 5 pertencem ao intervalo, por isso foram marcados com uma bola fechada. 2º Exemplo: Intervalo [–5, – 2[ ou [–5, –2). Observe que números que não pertencem ao intervalo são representados com uma bola aberta. 3º Exemplo: Nesse exemplo, observe que é possível excluir pontos dentro do intervalo e adicionar pontos fora dele.
Conjuntos numéricos, na matemática, são os conjuntos que representam a classe dos números e são representados por 5 (cinco) grandes conjuntos:
Podemos dizer também que o conjunto dos números naturais N é subconjunto de Z, sendo Z subconjunto de Q, que é subconjunto de R, logo N é subconjunto de Z, de Q, e de R. Essa analogia é válida para Z que é subconjunto de Q, sendo Q subconjunto de R, logo Z é subconjunto de R. Apenas o conjunto dos números irracionais I é subconjunto de R. Um conjunto é subconjunto de outro quando seus elementos são também elementos deste outro conjunto, ou seja, quando todos os elementos de um pertence ao outro. Por exemplo, os elementos de N também são elementos de Z, de Q e de R. Tudo isso pode ser melhor visualizado na imagem abaixo, onde temos as relações de inclusão entre os conjuntos numéricos. Pela imagem podemos ver a relação de inclusão dos conjuntos. Assim, podemos representar dessa forma: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, analogamente, também vale o seguinte, R ⊃ Q ⊃ Z ⊃ N; e I ⊂ R ou R ⊃ I. Símbolos: ⊂ (está contido), e ⊃ (contém) Conjunto dos números naturais (N)O conjunto dos números naturais é representado pela letra N, contendo os números positivos incluindo o 0 (zero).
É um conjunto infinito, não dá para representar todos os números, assim as reticências (…) indica que é um conjunto infinito. Também pode ser representado da seguinte forma: Temos alguns conjuntos derivados do conjunto dos números naturais, são eles:
Todos esses conjuntos estão contidos no conjunto dos números naturais, portanto, são subconjuntos dele. Conjunto dos números inteiros (Z)O conjunto dos números inteiros é representado pela letra Z, contendo todos os números naturais e os números negativos, que são os números opostos aos positivos. Z = {…, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5,…} Também é um conjunto infinito nas duas extremidades.
Conjuntos dos números racionais (Q)O conjunto dos números racionais é representado pela letra Q, contendo os números inteiros, forma decimal exata, os números na forma periódica ou na forma de fração. É um conjunto infinito também. Números decimais na forma exata: Ex. {2,2; 5,432; 23,00009} Números decimais na forma periódica: Ex. {3,2222…; 12,11111…; 40,12121212…}
Conjuntos dos números irracionais (I)O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I, contendo todos os números decimais não exatos e não periódicos. Exemplos: 4,21315… ou 5,122030… É um conjunto infinito. Conjuntos dos números reais (R)O conjunto dos números reais é representado pela letra R, contendo todos os conjuntos anteriormente citados. Assim, R é a união dos conjuntos N, Z, Q e I.
Intervalos numéricosUma maneira de representar conjuntos numéricos na matemática é através dos intervalos numéricos. É importante lembrar que só é possível representar intervalos numéricos para os conjuntos e subconjuntos do conjunto dos números reais. Veja a seguir os tipos de intervalos: ]a,b[ = {x ∈ R│a < x < b} [a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b} Intervalo aberto à direita e fechado à esquerda[a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x < b} Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita]a,b] = {x ∈ R│a < x ≤ b} ExercíciosAcesse os exercícios no link a seguir:
Bons estudos!
|