A interseção entre uma reta e um plano é o conjunto de pontos que pertencem à reta e ao plano simultaneamente. Você deverá entender nesta aula os casos de interseção entre uma reta e um plano e como determinar esta interseção.
Considere uma reta $r$ e um plano $\pi$ no espaço euclidiano tridimensional. Dizemos que a interseção da reta com o plano é não vazia se existe pelo menos um ponto $I$ que pertence à reta e ao plano simultaneamente. Observe na figura que o ponto $I$ pertence á reta e ao plano. O ponto $A$ pertence ao plano mas não pertence à reta e, portanto, não está na interseção. O ponto $B$ pertence está na reta mas não está no plano e logo não está na interseção. A interseção entre uma reta e um plano, quando não for vazia, pode acontecer de duas maneiras. A primeira é quando a interseção tem apenas um ponto, como mostra a figura anterior, e a outra é quando a reta está contida no plano e, então, a interseção será a própria reta. Calculando a interseção entre reta e planoComo interseção entre uma reta e um plano é o conjunto de pontos que pertencem à reta e ao plano simultaneamente, então perceba que as coordenadas dos pontos de interseção devem ser solução da equação do plano e da reta simultaneamente. Vamos ver um exemplo.
Exemplo: Considere o plano de equação $$2x+3y-5z=8$$ e a reta $r$ dada por $$r(t)=(2+t,3t,1-2t).$$ Como o ponto de interseção $I$ pertence à reta então suas coordenadas devem ser $$I=(2+t_0,3t_0,1-2t_0), \quad (1)$$ para algum valor $t_0\in\mathbb R.$ Por outro lado, como o ponto $I$ também pertence ao plano, então podemos substituir suas coordenadas na equação do plano. Desta forma, temos $$2(2+t_0)+3(3t_0)-5(1-2t_0)=8. \quad (2)$$ Resolvendo a expressão (2) obtemos o valor $t_0=\frac{3}{7}.$ o valor de $t_0$ que encontramos é exatamente o valor do parâmetro quando a reta passa pelo plano. Agora para encontrar o ponto $I$ basta substituir o valor de $t_0$ em suas coordenadas dadas em (1). Obtemos $$I=\left(\frac{17}{7},\frac{9}{7},\frac{1}{7}\right).$$ neste caso a interseção é apenas o ponto $I$. Viu como é simples a ideia? Sempre que precisar encontrar a interseção entre reta e plano a estratégia é a mesma do exemplo anterior.
Exemplo: Vamos encontrar a interseção entre a reta $r$ dada por $$r(t)=(1-5t,3+4t,5-4t)$$ e o plano $\pi$ de equação $$-44x-29y+26z=-1.$$ Vamos utilizar a mesma ideia do exemplo anterior. Como o ponto de interseção $I$ pertence à reta então suas coordenadas devem ser da $$I=(1-5t_0,3+4t_0,5-4t_0)$$. Substituindo as coordenadas do ponto $I$ na equação do plano, temos que $$-44(1-5t_0)-29(3+4t_0)+26(5-4t_0)=-1.$$ Simplificando a equação obtemos $$-44+220t_0-87-116t_0+130-104t_0=-1. \quad (3)$$ Observe que na igualdade (3) $t_0$ á anulado e resulta em $$-1=-1.$$ Com isso concluímos que que todos os pontos da reta pertencem ao plano, então a reta esta contida no plano.
Agora é importante que você pratique bastante como determinar a interseção entre reta e plano. Na próxima aula você aprenderá como aplicar essas ideias para calcular distância entre ponto e reta e distância entre ponto e plano.
1. Calcule a interseção da reta $\beta(t)=(2-t,t,1+t)$ com o plano $3x+y=3.$ 2. Calcule a interseção da reta $\beta(t)=(2-t,t,1+t)$ com o plano $3x+y+z=0.$ 3. Determine a interseção da reta $\alpha(t)=(-t,t,t)$ com o plano $-2x+y-z=10.$ 4. Encontre a interseção da reta $\gamma(t)=(-2t,1,t-3)$ com plano que é perpendicular ao vetor $w=(2,1,-1)$ e passa pelo ponto $A=(1,8,-5).$ 5. Encontre a interseção da reta $\varphi(t)=(-2t,1,t-3)$ com plano que passa pelos ponto $A=(1,3,5),$ $B=(-4,7,1)$ e $C=(2,-3,0).$ 6. Dado o plano de equação $3x+2y+z=6$ e o ponto $Q=(3,-1,5).$ Calcule a interseção da reta, perpendicular ao plano, que passa pelo ponto $Q$ com o plano. A cota do ponto de intersecção da reta r com o plano pi corresponde a: r: x = t; y = 4 + 2t; z = -2 + t pi: 4x +2y - 3z +2 = 0 Resposta: -26/5
Ricardo Proba Há mais de um mês Substituindo x = t, y = 4 + 2t e z = -2 + t na equação 4x + 2y - 3z + 2 = 0, o valor de t é: -> 4x + 2y - 3z + 2 = 0 -> 4t + 2(4 + 2t) - 3(-2 + t) + 2 = 0 -> 4t + 8 + 4t + 6 - 3t + 2 = 0 -> 5t + 16 = 0 -> 5t = -16 -> t = -16/5 Portanto, a cota é: -> z = - 2 + t -> z = - 2 - 16/5 -> z = - 10/5 - 16/5 -> z = - 26/5 Se gostou, dá um joinha! a) O primeiro passo é encontrarmos um ponto genérico de : Agora vamos substituir esse ponto na equação do plano para encontrarmos : Substituindo no ponto : b) O primeiro passo é encontrarmos um ponto genérico de : Agora vamos substituir esse ponto na equação do plano para encontrarmos : Opa, o sumiu da nossa equação, mas mesmo assim chegamos em uma igualdade verdadeira não é? Isso quer dizer que a reta e o plano se cruzam para todo , ou seja, a reta está contida no plano :D c) O primeiro passo é encontrarmos um ponto genérico de : Agora vamos substituir esse ponto na equação do plano para encontrarmos : Substituindo no ponto : d) O primeiro passo é encontrarmos um ponto genérico de : Agora vamos substituir esse ponto na equação do plano para encontrarmos : Opa, o sumiu da nossa equação de novo, e dessa vez chegamos em uma desigualdade !! Isso quer dizer que não existe nenhum tal que a reta e o plano se cruzem, ou seja, eles não vão se encontrar nunca!! e) Vamos igualar os e da reta e do plano: Resolvendo esse sistema, encontramos Substituindo na equação de : Então o ponto em que a reta e o plano se cruzam é . a) b) A reta está contida no plano. c) d) A reta nunca cruza o plano. e) Vamos substituir as equações da reta na equação do plano para encontrar o valor de . Considerando Agora podemos determinar o ponto de interseção substituindo o valor de , nas equações da reta. |
O ponto de intersecção da reta r com o plano pi onde
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