O que é capitalização por juros compostos

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Taxas EquivalentesEditar
Taxa nominal e taxa realEditar
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O Juro Composto ou Capitalização Composta é um regime de capitalização especial, onde, ao final de cada período de capitalização, o juro do período é somado ao capital para formar o capital do próximo período. É a modalidade de capitalização mais difundida em financiamentos, empréstimos, títulos de capitalização.

Seja um capital $C {\displaystyle C\,\!}$ , aplicado a uma taxa $i {\displaystyle i\,\!}$ por $n {\displaystyle n\,\!}$ períodos.

Ao final do primeiro período, teremos como montante o valor $C {\displaystyle C\,\!}$ , acrescido o juro, que é calculado como $C × i {\displaystyle C\times i}$ :

M = C + C × i {\displaystyle M=C+C\times i\,\!}

Ou, de forma compacta

M = C ( 1 + i ) {\displaystyle M=C(1+i)\,\!}

No final do segundo período de capitalização, o valor do montante é o montante do período anterior, acrescentado dos juros:

M = C ( 1 + i ) + C ( 1 + i ) × i {\displaystyle M=C(1+i)+C(1+i)\times i\,\!}

Desta vez, o fator comum que podemos isolar é $C ( 1 + i ) {\displaystyle C(1+i)\,\!}$ :

M = C ( 1 + i ) ( 1 + i ) {\displaystyle M=C(1+i)(1+i)\,\!}

Ou, de forma compacta,

M = C ( 1 + i ) 2 {\displaystyle M=C(1+i)^{2}\,\!}

Para $n {\displaystyle n\,\!}$ períodos, a equação do Montante torna-se:

M = C ( 1 + i ) n {\displaystyle M=C(1+i)^{n}\,\!}

Compare=se esta equação com a equação do montante do juro simples:

M = C ( 1 + i n ) {\displaystyle M=C(1+in)\,\!}

A expressão $( 1 + i ) n {\displaystyle (1+i)^{n}\,\!}$ é chamada de fator de capitalização, e antes do advento de calculadoras com a capacidade de calcular $y x {\displaystyle y^{x}}$ , costumava ocupar páginas e mais páginas no final dos livros de Matemática Financeira.

Sabemos que, não importa qual a modalidade de capitalização adotada, a equação que relaciona montante, capital e juro é sempre a mesma:

M = C + J {\displaystyle M=C+J\,\!}

Isolando o juro:

J = M − C {\displaystyle J=M-C\,\!}

Substituindo o montante pela sua equação:

J = C ( 1 + i ) n − C {\displaystyle J=C(1+i)^{n}-C\,\!}

J = C ( ( 1 + i ) n − 1 ) {\displaystyle J=C((1+i)^{n}-1)\,\!}

Seria esta a equação a utilizar para calcular o Juro, porém como a parte mais difícil corresponde à computação de $( 1 + i ) n {\displaystyle (1+i)^{n}}$ , o usual é calcular o montante, e subtrair dele o capital para obter o juro.

Taxas EquivalentesEditar

Taxas equivalentes são aquelas que aplicadas ao mesmo capital C, durante o mesmo intervalo de tempo, produzem o mesmo juro.

Por exemplo: Uma taxa de 12% ao ano é equivalente a uma taxa de 0,95% ao mês. Já uma taxa mensal de 1% é equivalente a 12,68% ao ano.

Taxa nominal e taxa realEditar

Uma taxa que é dada em período de tempo diferente do qual é capitalizada é chamada de taxa nominal. O caso mais comum de aparecimento destas taxas é a expressão da taxa anual, mas cuja capitalização é mensal.

Neste caso para se chegar a taxa real de juros é preciso dividir a taxa nominal pelo número de períodos de capitalização que compreendem se igualam ao período expresso na taxa nominal e elevá-lo a estes n períodos.

Por exemplo: Uma taxa de 12% ao ano capitalizados mensalmente, corresponde a uma taxa de 1% ao mês que é equivalente a 12,68% ao ano. Se a mesma taxa nominal de 12% ao ano fosse capitalizada semestralmente teriamos uma taxa real de 6% ao semestre, o equivalente a 12,36% ao ano.

Ligações externasEditar

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No regime de capitalização composta, os juros produzidos num período serão acrescidos ao valor aplicado e no próximo período também produzirão juros, formando o chamado “juros sobre juros”. A capitalização composta caracteriza-se por uma função exponencial, em que o capital cresce de forma geométrica. O intervalo após o qual os juros serão acrescidos ao capital é denominado “período de capitalização”; logo, se a capitalização for mensal, significa que a cada mês os juros são incorporados ao capital para formar nova base de cálculo do período seguinte. É fundamental, portanto, que em regime de capitalização composta se utilize a chamada “taxa equivalente”, devendo sempre a taxa estar expressa para o período de capitalização, sendo que o “n” (número de períodos) represente sempre o número de períodos de capitalização

Em economia inflacionária ou em economia de juros elevados, é recomendada a aplicação de capitalização composta, pois a aplicação de capitalização simples poderá produzir distorções significativas principalmente em aplicações de médio e longo prazo, e em economia com altos índices de inflação produz distorções mesmo em aplicações de curto prazo. (KUHNEN, 2008).

2.1 Juros Compostos

O regime de juros compostos é o mais comum no sistema financeiro e, portanto, o mais útil para cálculos de problemas do dia-a-dia. Os juros gerados a cada período são incorporados ao principal para o cálculo dos juros do período seguinte. Matematicamente, o cálculo a juros compostos é conhecido por cálculo exponencial de juros. (BRANCO, 2002).

2.1.1 Fórmulas

Calculo do valor do juro em capitalização composta

Cálculo do valor futuro em capitalização composta

Cálculo do valor presente em capitalização composta

Cálculo da taxa de juros em capitalização composta

Cálculo do período de aplicação em capitalização composta

Glossário:

LN = Logaritmo Neperiano.

LOG = Logaritmo Decimal.

2.1.2 Exemplos

1) (TOSI, 2002). Quanto uma pessoa deve aplicar hoje, para ter acumulado um montante de R$ 100.000,00 daqui a 12 meses, a uma taxa de juros compostos de 2% ao mês?

Solução:

2) (TOSI, 2002). Qual o valor de resgate relativo à aplicação de um capital de R$ 500.000,00, por 18 meses, à taxa de juros compostos de 10% ao mês?

Solução:

3) (HAZZAN, 2007). Um capital de R$ 2.500,00 foi aplicado a juros compostos durante quatro meses, produzindo um montante de R$ 3.500,00. Qual a taxa mensal de juros?

Solução:

4) (HAZZAN, 2007). Durante quanto tempo um capital de R$ 1.000,00 deve ser aplicado a juros compostos à taxa de 10% a.a. para resultar em um montante de R$ 1.610,51?

Solução:

5) (KUHNEN, 2001). Determinar os juros produzidos por um capital de R$ 1.000,00, aplicado a juros compostos de 10% ao semestre, capitalizado semestralmente, durante 1 ano e seis meses.

Solução:

1.2 Convenção Linear e Convenção Exponencial

A convenção linear admite a formação de juros compostos para a parte inteira do prazo e de juros simples para a parte fracionária. Esta convenção é, em essência, uma mistura de regime composto e linear, adotando fórmulas de juros compostos na parte inteira do período e uma formação de juros simples na parte fracionária.

Já a convenção exponencial adota o mesmo regime de capitalização para todo o período. Ou seja, utiliza capitalização composta tanto para a parte inteira como para a fracionária.

Esta convenção é mais generalizadamente usada na prática, sendo considerada tecnicamente mais correta por empregar somente juros compostos e taxas equivalentes para os períodos não inteiros. (ASSAF NETO, 2001)

1.2.1 Fórmulas

Cálculo do montante pela convenção Linear

Cálculo do montante pela convenção Exponencial

1.2.2 Exemplo

1) (HAZZAN, 2007) Um capital de R$ 1.000,00 foi aplicado a juros compostos, durante três meses e meio, a taxa de 8% a.m.

a) Qual o montante pela convenção exponencial?

b) Qual o montante pela convenção linear?

Solução:

1.3 Taxas Equivalentes

Duas taxas são consideradas equivalentes, a juros compostos, se aplicadas sobre um mesmo capital, por um período equivalente de tempo, gerando montantes iguais. (SHINODA, 1998)

No sistema de capitalização composta, ao contrario do que acontece no sistema de capitalização simples, duas taxas equivalentes não são necessariamente proporcionais entre si.

Daí a necessidade de obtermos uma relação que nos permita calcular a taxa equivalente, num certo período de tempo, a uma dada taxa de juro composto. (PARENTE, 1996).

1.3.1 Fórmula.

1.3.2 Exemplos

1) (TOSI, 2002) Qual a taxa anual equivalente a 5% ao mês?

Solução:

2) (TOSI, 2002) Qual a taxa mensal equivalente a 200% ao ano?

Solução:

1.4 Taxa Nominal ou Aparente e Taxa Efetiva

Existem algumas situações em que a taxa utilizada na operação não coincide com o período de capitalização. Por exemplo, aplica-se R$ 1.000,00 a juros compostos por três meses à taxa de 70% ao ano, capitalizados mensalmente. Note que, apesar da taxa ser expressa em termos anuais, a capitalização se dá em termos mensais. Isto implica estarmos utilizando uma taxa nominal anual quando, efetivamente, a remuneração do capital se dá em termos mensais. Para tanto, faz-se necessária a distinção entre taxa nominal e taxa efetiva.

Taxa nominal: é aquela cuja unidade do período a que se refere não coincide com a unidade do período de capitalização.

Taxa Efetiva: é aquela que efetivamente grava uma operação financeira.

Dada uma taxa de juros nominal procede-se, para o cálculo da respectiva taxa de juros efetiva, por convenção, de maneira igual a do sistema de capitalização simples, isto é, calcula-se a taxa proporcional à dada, relativa à unidade de tempo mencionada para a capitalização, e, posteriormente, apura-se exponencialmente a taxa efetiva à nominal. (TEIXEIRA, 1998).

1.4.1 Fórmula

Cálculo da taxa Efetiva

1.4.2 Exemplo

1) (PARENTE, 1996) Qual a taxa efetiva relativa à taxa nominal de 24% a.a., capitalizada mensalmente?

Solução:

2) Uma taxa nominal de 24% a.a. é capitalizada trimestralmente. Calcule a taxa efetiva anual.

Solução:

1.5 Descontos Compostos

Desconto composto é aquele em que a taxa de desconto incide sobre o montante ou valor futuro, deduzido dos descontos acumulados até o período imediatamente anterior. É obtido em função de cálculo exponenciais e praticamente não é utilizado em nenhum país do mundo. Raramente se toma conhecimento de um caso em que esse critério tenha sido aplicado. Tem importância meramente teórica.

No caso de desconto simples, a taxa de desconto incide somente sobre o valor futuro dos títulos, tantas vezes quantos forem os períodos unitários.

Já no caso do desconto composto, para n períodos unitários, a taxa de desconto incide, no primeiro período, sobre o valor futuro do título; no segundo período, sobre o valor futuro do título menos o valor do desconto correspondente ao primeiro período; no terceiro período, sobre o valor futuro do título menos os valores dos descontos referentes ao primeiro e ao segundo período, e assim sucessivamente até o enésimo período. (VIEIRA SOBRINHO, 2000).

1.5.1 Desconto Composto Comercial (bancário) ou por fora

O desconto composto “por fora” caracteriza-se pela incidência sucessiva da taxa de desconto sobre o valor nominal do título, o qual é deduzido, em cada período, dos descontos obtidos em períodos anteriores. (ASSAF NETO, 2001)

1.5.2 Desconto Composto Racional ou por dentro

O desconto composto “por dentro” (ou racional) é aquele estabelecido segundo as conhecidas relações do regime de juros compostos.

Assim sendo, o desconto composto racional é a diferença entre o valor nominal e o valor atual de um título, quitado antes do vencimento. (ASSAF NETO, 2001)

1.5.3 Fórmulas

Cálculo do desconto composto racional ou por dentro

Cálculo do desconto composto comercial (bancário) ou por fora

Cálculo do valor atual de um título a desconto por dentro

Cálculo de valor atual de um título a desconto por fora

Cálculo de valor nominal de um título a desconto por fora

Cálculo de valor nominal de um título a desconto por dentro

1.5.4 Exemplos

1) (KUHNEN, 2001) Calcular o valor atual de um título de R$ 20.000,00 descontado um ano antes do vencimento à taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre, capitalizável trimestralmente.

Solução:

2) (KUHNEN, 2001) Qual é o valor nominal de um título que foi resgatado 1 ano antes de seu vencimento por R$ 16.290,13, à taxa de desconto bancário composto de 5% ao trimestre?

Solução:

3) (PARENTE, 1996) Obter o desconto comercial composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% a.m.

Solução:

4) (PARENTE, 1996) Encontrar o desconto racional composto, concedido no resgate de um título de R$ 50.000,00, 2 meses antes de seu vencimento, à taxa de 3% a.m.

Solução:

5) (KUHNEN, 2001) Qual é o valor do título que, descontado 3 meses antes de seu vencimento, a uma taxa de 10% a.m., determinou um valor de resgate de R$ 12.400,00?

Solução:

6) (PARENTE, 1996) Qual o valor atual de um título de R$ 100.000,00, resgatado racionalmente à taxa composta de 4%a.m., 3 meses antes de seu vencimento?

Solução:

1.6 Equivalência de Capitais a Juros Compostos

Já trabalhamos com os conceitos envolvendo equivalência de capitais, no sistema de capitalização simples. Estudaremos agora esses mesmos conceitos, mas sob outro enfoque: o do sistema de capitalização composta. É claro que os conceitos e a maneira de encararmos os problemas serão os mesmos. Mudaremos apenas o regime de capitalização e o fato de que a escolha da data focal no sistema composto é irrelevante. (PARENTE, 1996)

1.6.1 Fórmulas

Para vencimentos anteriores a data focal

Para vencimentos posteriores a data focal

1.6.2 Exemplo

1) (PARENTE, 1996) Uma pessoa deseja substituir um título de valor nominal de R$ 85.000,00, com vencimento daqui a 2 meses, por outro título, com vencimento para 5 meses. Qual o valor nominal do novo título, sabendo-se que o banco em questão adota, nesse tipo de operação, a taxa composta de 9% a.m. e o critério do desconto racional?

Solução:

2) (PARENTE, 1996) Uma pessoa deve, em um banco, dois títulos: R$ 100.000,00 para pagamento imediato e R$ 70.000,00 para pagamento em 6 meses. Por lhe ser conveniente, o devedor propõe ao banco a substituição da dívida por um pagamento de R$ 150.000,00 em 3 meses e o saldo restante em 9 meses. Qual o valor do saldo restante se o banco realiza essa operação a 10% a.m., sob o critério de desconto racional composto?

Solução:

REFERÊNCIAS

KUHNEN, OSMAR LEONARDO. Finanças Empresariais. 2. Ed. São Paulo: Atlas, 2008.

BRANCO, ANÍSIO COSTA CASTELO. Matemática Financeira aplicada. São Paulo: Pioneira Thompson, 2002.

VIEIRA SOBRINHO, JOSÉ DUTRA. Matemática Financeira. 7. Ed. São Paulo: Atlas, 2000.

ASSAF NETO, ALEXANDRE. Matemática Financeira e suas Aplicações. 6. Ed. São Paulo: Atlas, 2001.

PARENTE, EDUARDO AFONSO DE MEDEIROS, Matemática Comercial e Financeira. Ed reform. São Paulo: FTD, 1996.

SHINODA, CARLOS. Matemática Financeira para usuários do Excel. São Paulo: Atlas, 1998.

TEIXEIRA, JAMES. Matemática financeira. São Paulo: Makron Books, 1998.

KUHNEN, OSMAR LEONARDO. Matemática Financeira aplicada e Análise de Investimentos. 3. Ed. São Paulo: Atlas, 2001.

HAZZAN, SAMUEL. Matemática Financeira. 6. ed. São Paulo: Saraiva, 2007.

TOSI, ARMANDO JOSÉ. Matemática Financeira com utilização do Excel 2000: aplicável também às versões 5.0, 7.0 e 97. 2. Ed. São Paulo: Atlas, 2002.