O que é decomposição Matemática

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• Como decompor um número
• Exercícios de decomposição em fatores primos
• Exercício 1
• Exercício 2

Todo número natural, maior que 1, pode ser decomposto em um produto de dois ou mais fatores.

Decomposição do número 24 em um produto:
24 = 4 x 6
24 = 2 x 2 x 6
24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3

No produto 2 x 2 x 2 x 3, todos os fatores são primos.

Chamamos de fatoração de 24 a decomposição de 24 em um produto de fatores primos. Então a fatoração de 24 é 23 x 3.

De um modo geral, chamamos de fatoração de um número natural, maior
que 1, a sua decomposição em um produto de fatores primos.

Existe um dispositivo prático para fatorar um número. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar esse dispositivo:

1º) Dividimos o número pelo seu menor divisor primo;

2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor divisor primo desse quociente e assim sucessivamente até obter o quociente 1.

A figura mostra a fatoração do número 630.

Então 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7.
630 = 2 x 32 x 5 x 7.

A fatoração está diretamente relacionada com a multiplicação, haja vista que os fatores são os termos que multiplicamos para gerar o produto. Veja:

   2 → fator              26 → fator
x 3 → fator             x 7 → fator
   6 → Produto       182 → Produto

Os fatores primos da decomposição são obtidos por meio de divisões sucessivas. Recorde-se de que, para um número ser primo, ele deve ser divisível somente por 1 e ele mesmo, logo, os números 2, 3, 5, 7 e 11 são primos. O número primo é considerado um fator quando ele for o divisor no algoritmo da divisão. A estrutura do algoritmo da divisão é a seguinte:

Dividendo | Divisor
Resto         Quociente

Realizando a divisão de 4 por 2, temos a seguinte situação:

Utilizando as divisões sucessivas, obtemos a fatoração completa, que representa a decomposição de um número em fatores primos. Veja um exemplo de divisões sucessivas do número 112 e, em seguida, a fatoração completa.

Exemplo: Decomponha o número 112 em fatores primos:

112| 2
   0 56 | 2
       0  28 | 2
            0  14 | 2
                 0  7 | 7
                     0  1

Toda vez que for realizar a decomposição de um número em fatores primos, lembre-se de que o divisor sempre será um número primo e a ordem de sucessão desses divisores, que são fatores, é crescente. Mudamos o número primo do divisor somente quando não é mais possível utilizá-lo na divisão. No exemplo acima, houve a mudança do divisor de número 2 para sete, uma vez que o dividendo passou a ser o sete e o único divisor para 7 é o próprio 7.

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Ainda sobre o exemplo acima, a fatoração completa de 121 é:

112 = 2 . 2 . 2 . 2 . 7 = 24 . 7

Além da estrutura do algoritmo da divisão, existe outra que pode ser utilizada para fatorar um número. Veja os três exemplos a seguir:

Exemplo: Encontre a forma fatorada completa dos números 234, 180 e 1620:

234|2 117|3  39|3  13|13

   1|

A forma fatorada completa do número 234 é: 2 . 3 . 3 . 13 = 2 . 32 . 13

Observe que todos os fatores são números primos e que a sucessão dos fatores acontece de forma crescente.

180|2   90|2   45|3   15|3     5|5

    1|

A forma fatorada completa do número 180 é: 2 . 2 . 3 . 3 . 5 = 22 . 32 . 5

Todos os termos que compõem a fatoração são números primos.

1620|2   810|2   405|3   135|3     45|3     15|3       5|5

      1|

A forma fatorada completa do número 1620 é: 2 . 2 . 3 . 3 . 3 . 3 . 5 = 22 . 34 . 5

Todos os números que compõem a fatoração são primos.

Por Naysa Oliveira

Graduada em Matemática

Rafael Asth

Professor de Matemática e Física

Decompor um número em fatores primos ou, fatorá-lo, é escrever este número como uma multiplicação de números primos. Os fatores são termos da multiplicação que, neste caso, são números primos.

Vale lembrar que os números primos são aqueles divisíveis apenas pelo 1 e pelo próprio número, além de serem infinitos. Como exemplos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 47 ...

Como o produto entre números primos formam os números compostos, decompor um número composto é determinar quais são estes fatores.

Como decompor um número

Um método simples para decompor um número em fatores primos é escrevê-lo à esquerda de uma linha vertical. À direita escreve-se seu menor divisor primo. Após realizar a divisão, o resto fica abaixo do número original e o processo continua até o resto ser 1.

Exemplo
Decompor o número 210 em fatores primos.

A forma fatorada de 210 ou, sua decomposição em fatores primos é: .

Veja também:

Exercícios de decomposição em fatores primos

Exercício 1

Decomponha 3 125 em fatores primos.

Esconder RespostaVer Resposta

A forma fatorada de 3 125 é 5 . 5 . 5 . 5 . 5 ou, .

Exercício 2

Escreva 180 na forma fatorada, em fatores primos.

Esconder RespostaVer Resposta

A forma fatorada em fatores primos de 180 é 2 x 2 x 3 x 3 x 5 ou, .

Professor Licenciado em Matemática e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais.