Toda reta não-vertical (reta que possui inclinação diferente de 90º) possui uma equação que representa todos os seus pontos. Essa equação é demonstrada através de um ponto pertencente a essa reta mais o seu coeficiente angular (m). Show
Considere uma reta s não vertical que passa pelo ponto B (x0, y0) de coeficiente igual a m.
O outro ponto A(x,y), pertencente ao plano cartesiano, irá pertencer a reta s se o cálculo do coeficiente angular (m) da reta s for igual: m = ∆y = y – y0∆x x – x0 Podemos representar essa igualdade da seguinte forma: m = y – y0x – x0 y – y0 = m (x – x0) Essa equação formada é chamada de equação fundamental da reta. Dessa forma podemos concluir que a equação fundamental da reta é obtida por um ponto pertencente a essa reta mais o seu coeficiente angular, ficando sempre em função de outro ponto. Exemplo 1: Determine a equação fundamental da reta que passa pelo P(1/4,-3,2) de coeficiente angular m = -1/2. Os dados oferecidos no enunciado são: Substituindo-os na equação fundamental da reta temos: y – y0 = m (x – x0) y – (-3/2) = -1/2 (x – 1/4) = -4x + 14 4 4x + 8y + 11 = 0 Exemplo 2: Represente por meio de uma equação a reta que passa por esses dois pontos A(1,8) e B(4,2). Foi dito na explicação acima que a equação fundamental de uma reta é determinada por um ponto pertencente à reta e o seu coeficiente angular. O ponto foi dado no enunciado, falta calcular o seu coeficiente angular. m = yB - yAxB – xA m = 2 – 8= - 6 = - 2 Escolha um dos dois pontos e monte a equação fundamental da reta que passa pelos pontos A e B. Ponto A (1,8) e m = -2 y – y0 = m (x – x0) A equação da reta pode ser determinada representando-a no plano cartesiano (x,y). Conhecendo as coordenadas de dois pontos distintos pertencentes a reta podemos determinar sua equação. Também é possível definir uma equação da reta a partir de sua inclinação e das coordenadas de um ponto que lhe pertença. Equação geral da retaDois pontos definem uma reta. Desta forma, podemos encontrar a equação geral da reta fazendo o alinhamento de dois pontos com um ponto (x,y) genérico da reta. Sejam os pontos A(xa,ya) e B(xb,yb), não coincidentes e pertencentes ao plano cartesiano. Três pontos estão alinhados quando o determinante da matriz associada a esses pontos é igual a zero. Assim devemos calcular o determinante da seguinte matriz: Desenvolvendo o determinante encontramos a seguinte equação: (ya - yb) x + (xb - xa) y + xayb - xbya = 0 Vamos chamar: a = (ya - yb) A equação geral da reta é definida como: ax + by + c = 0 Onde a, b e c são constantes e a e b não podem ser simultaneamente nulos. Exemplo Encontre uma equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1, 8) e B(-5, -1). Primeiro devemos escrever a condição de alinhamento de três pontos, definindo o matriz associada aos pontos dados e a um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta. Desenvolvendo o determinante, encontramos: (8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0 A equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1,8) e B(-5,-1) é: 9x - 4y + 41 = 0 Para saber mais, leia também:
Equação reduzida da retaCoeficiente angularPodemos encontrar uma equação da reta r conhecendo a sua inclinação (direção), ou seja o valor do ângulo θ que a reta apresenta em relação ao eixo x. Para isso associamos um número m, que é chamado de coeficiente angular da reta, tal que: m = tg θ O coeficiente angular m também pode ser encontrado conhecendo-se dois pontos pertencentes a reta. Como m = tg θ, então: Exemplo Determine o coeficiente angular da reta r, que passa pelos pontos A(1,4) e B(2,3). Sendo, x1 = 1 e y1 = 4 Conhecendo o coeficiente angular da reta m e um ponto P0(x0,y0) pertencente a ela, podemos definir sua equação. Para isso vamos substituir na fórmula do coeficiente angular o ponto conhecido P0 e um ponto P(x,y) genérico, também pertencente a reta: Exemplo Determine uma equação da reta que passa pelo ponto A(2,4) e tem coeficiente angular 3. Para encontrar a equação da reta basta substituir os valores dados: y - 4 = 3 (x - 2) Coeficiente linearO coeficiente linear n da reta r é definido como o ponto em que a reta intercepta o eixo y, ou seja o ponto de coordenadas P(0,n). Utilizando esse ponto, temos: y - n = m (x - 0) y = mx + n (Equação reduzida da reta). Exemplo Sabendo que a equação da reta r é dada por y = x + 5, identifique seu coeficiente angular, sua inclinação e o ponto em que a reta intercepta o eixo y. Como temos a equação reduzida da reta, então: m = 1 Leia também Cálculo do coeficiente angular Equação segmentária da retaPodemos calcular o coeficiente angular usando o ponto A(a,0) que a reta intercepta o eixo x e o ponto B(0,b) que intercepta o eixo y: Considerando n = b e substituindo na forma reduzida, temos: Dividindo todos os membros por ab, encontramos a equação segmentária da reta: Exemplo Escreva na forma segmentária, a equação da reta que passa pelo ponto A(5,0) e tem coeficiente angular 2. Primeiro vamos encontrar o ponto B(0,b), substituindo na expressão do coeficiente angular: Substituindo os valores na equação, temos a equação segmentária da reta: Leia também sobre:
Exercícios Resolvidos1) Dada a reta que tem a equação 2x + 4y = 9 , determine seu coeficiente angular. Ver Resposta 4y = - 2x + 9 2) Escreva a equação da reta 3x + 9y - 36 = 0 na forma reduzida. Ver Resposta y = -1/3 x + 4 3) ENEM - 2016 Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas. Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que
o Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá Ver Resposta Primeiro devemos encontrar o valor inicial do coeficiente angular da reta B. Alternativa c: aumentar 2 unidades Veja também: Exercícios sobre Geometria Analítica Bacharel em Meteorologia pela Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) em 1992, Licenciada em Matemática pela Universidade Federal Fluminense (UFF) em 2006 e Pós-Graduada em Ensino de Física pela Universidade Cruzeiro do Sul em 2011. Como achar a equação da reta com o coeficiente angular?Veja o passo a passo para encontrar a equação da reta.. 1º passo: encontramos o valor do coeficiente angular m.. 2º passo: substituir na equação y = mx + n o valor encontrado para m e o valor de x e y pelo valor de um dos dois pontos.. 3º passo: resolver a equação para calcular o valor de n.. Qual a equação reduzida da reta que tem coeficiente angular m?A equação reduzida da reta é a y = mx + n, em que m e n são números reais. O m é conhecido como coeficiente angular, e, ao analisá-lo, é possível saber mais sobre a inclinação da reta.
Qual o coeficiente angular de uma reta?O coeficiente angular de uma reta é o mesmo que a tangente do ângulo de inclinação.
Como saber o coeficiente angular?O coeficiente angular de uma reta é uma medida de inclinação. Matematicamente, o coeficiente angular é calculado como "elevação sobre distância" (variação em y dividida pela variação em x).
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