Qual é a distância real entre duas cidades que no mapa estão a 15 cm de distância?

Assinale, a seguir, a alternativa que melhor apresenta o conceito de escala cartográfica:

a) é a relação não proporcional entre o mapa e as suas variações gráficas.

b) é a medida da área dos mapas e cartogramas em geral.

c) indica a proporção entre uma área da superfície e a sua representação em um mapa.

d) aponta a relação de equivalência entre as áreas de um mapa e suas projeções cartográficas.

e) representa o conjunto de orientações cardeais de um mapa, cartograma ou planta.

Em um mapa de uma pequena cidade, destaca-se a presença de uma rodovia, cuja extensão é de 15 quilômetros. No mapa em questão, sua medida está em 10 centímetros, o que nos permite concluir que a sua escala cartográfica é de:

a) 1:15'000

b) 1:150'000

c) 1:1'500

d) 1:15

e) 1:100'000

O mapa acima apresenta o detalhamento do arquipélago do Havaí. Podemos afirmar que:

I) Trata-se de um mapa de escala grande se compararmos com um mapa de todo o Oceano Pacífico.

II) Temos, nesse mapa, um exemplo de escala gráfica.

III) O nível de detalhamento seria maior se aumentássemos a escala cartográfica.

Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s):

a) I

b) I e II

c) II e III

d) I e III

e) I, II e III

(ENEM)

Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2 000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm.

Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de

a) 1 : 250.

b) 1 : 2 500.

c) 1 : 25 000.

d) 1 : 250 000.

e) 1 : 25 000 000.

Uma escala cartográfica é a medição que indica a proporção equivalente entre uma área real e a sua representação cartográfica. É o quanto uma determinada localidade da superfície foi “reduzida” para caber em um mapa.

Alternativa correta: letra C

A escala (E), como sabemos, é a relação entre uma distância do mapa (d) e o seu valor na superfície real (D).

d = 10 cm

D = 15 km → 1 500 000 cm

Assim, temos que:

E = d
      D

E = 10 : 1500000

Simplificamos o valor da divisão por 10 para obter o valor da escala:

E = 1: 150'000

A escala cartográfica do mapa em questão, portanto, é de um para cento e cinquenta mil.

I) Verdadeiro – Um mapa que abrange todo o Oceano Pacífico seria de escala menor, pois envolveria uma área maior.

II) Verdadeiro – A escala do mapa é do tipo gráfica, com representação linear de seus valores.

III) Verdadeiro – Quanto mais aumentamos a escala do mapa, menor é a área representada e maior é o nível de detalhamento do mapa.

Alternativa correta: letra E

Primeiramente, é necessário converter os 2.000 km em centímetros. Para isso, multiplicamos o seu valor por 100.000

Assim, a distância real entre as duas cidades é de 200.000.000 centímetros.

E = d
      D

E = 8 : 200.000.000

Podemos simplificar por 8:

E = 1: 25.000.000

Alternativa correta: letra E

A distância entre dois pontos é o primeiro conceito aprendido e um dos mais importantes dentro da geometria analítica, considerando que outros conceitos dessa área derivam da ideia de distância entre dois pontos.

Table of Contents Show

• O que é distância entre dois pontos?
• Distância entre dois pontos no plano cartesiano
• Fórmula da distância entre dois pontos
• Como calcular a distância entre dois pontos?
• Exercícios resolvidos
• Questão 1 (Unicamp)
• Questão 2 (Mackenzie)
• Questão 3 (UFPB)
• Questão 5 (PUC-RS)
• Questão 7 (UERJ)
• Questão 8 (PUC-RS)
• Questão 10 (UERJ)

Leia também: Condição de alinhamento de três pontos

O que é distância entre dois pontos?

A distância entre dois pontos depende do lugar geométrico em que esses pontos estão localizados. Por exemplo, se dois pontos estão em uma reta, a distância é dada pelo módulo da diferença entre eles, veja:

Imagine a seguinte situação, em uma viagem, quando estamos passando por uma rodovia, temos algumas placas que marcam o quilômetro ou posição em que estamos naquele instante. Em um instante inicial passamos pela placa km 12, em seguida passamos pela placa km 68.

Para sabermos quanto andamos, é preciso considerar as duas placas: a do km 12 e a do km 68. Desse modo calculamos o módulo da diferença entre esses dois pontos para obtermos a distância percorrida, assim:

|12 - 68|=

|68 - 12| =

56 km

Distância entre dois pontos no plano cartesiano

Para determinar a distância entre dois pontos no plano cartesiano, é necessário realizar a análise tanto no sentido do eixo das abscissas (x) quanto no do eixo das ordenadas (y). Confira:

Note que na distância entre o ponto A e B existe uma variação tanto no eixo x quanto no eixo y, logo, a distância entre os pontos deve ser dada em função dessas variações.

Veja também que a distância entre os pontos é a hipotenusa do triângulo formado. Além disso, aplicando o teorema de Pitágoras e isolando o lado dab, temos:

Leia também: Generalidades sobre as equações da reta

Fórmula da distância entre dois pontos

A distância entre os pontos A(xa, ya) e B(xb, yb) é definida pelo comprimento do segmento representado por dab e tem medida dada por:

Como calcular a distância entre dois pontos?

Para determinar a distância entre dois pontos no plano, basta substituir corretamente os valores das coordenadas dos pontos na fórmula. Veja a seguir:

Calcular a distância entre os pontos P (-3, -11) e Q (2, 1).

Perceba que na fórmula devemos subtrair os valores das abscissas de cada ponto e, em seguida, elevar ao quadrado, e o mesmo deve acontecer com os valores das ordenadas. Assim:

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Sabendo que a distância entre os pontos A e B é de (raiz de 29) e que o ponto A (1, y_a) pertencente ao eixo O_x e B (-1, 5), determine y_a.

Solução:

Substituindo na fórmula de distância entre dois pontos, temos:

Como o ponto A pertence ao eixo X, então de fato y = 0.

Questão 2 – (UFRGS) A distância entre os pontos A (-2, y) e B (6, 7) é 10. O valor de y é:

a) -1

b) 0

c) 1 ou 13

d) -1 ou 10

e) 2 ou 12

Solução

Substituindo os dados do enunciado, temos:

Resolvendo a equação do segundo grau, segue que:

Resposta: Alternativa C 

Por Robson Luiz
Professor de Matemática

As questões que envolvem escalas gráficas e escalas cartográficas são muito frequentes nos concursos e vestibulares por todo o país.

Segue uma série de exercícios de escalas cartográficas encontradas em vestibulares por todo o Brasil com respostas comentadas.

Questão 1 (Unicamp)

Escala, em cartografia, é a relação matemática entre as dimensões reais do objeto e a sua representação no mapa. Assim, em um mapa de escala 1:50.000, uma cidade que tem 4,5 Km de extensão entre seus extremos será representada com

a) 9 cm. b) 90 cm. c) 225 mm.

d) 11 mm.

Questão 2 (Mackenzie)

Considerando que a distância real entre Yokohama e Fukushima, duas importantes localidades, onde serão realizadas competições dos Jogos Olímpicos de Verão 2020 é de 270 quilômetros, em um mapa, na escala de 1:1.500.000, essa distância seria de a) 1,8 cm b) 40,5 cm c) 1,8 m d) 18 cm

e) 4,05 m

Questão 3 (UFPB)

Escala gráfica, segundo Vesentini e Vlach (1996, p. 50), "é aquela que expressa diretamente os valores da realidade mapeada num gráfico situado na parte inferior de um mapa". Nesse sentido, considerando que a escala de um mapa está representada como 1:25000 e que duas cidades, A e B, nesse mapa, estão distantes, entre si, 5 cm, a distância real entre essas cidades é de:

a) 25.000 m b) 1 .250 m c) 12.500 m d) 500 m

e) 250 m

A escala cartográfica define a proporcionalidade entre a superfície do terreno e sua representação no mapa, podendo ser apresentada de modo gráfico ou numérico.

A escala numérica correspondente à escala gráfica apresentada é: a) 1:184 500 000. b) 1:615 000. c) 1:1 845 000. d) 1:123 000 000.

e) 1:61 500 000.

Questão 5 (PUC-RS)

INSTRUÇÃO: Imagine que você tem diante de si dois mapas que representam a área urbana do Município de Porto Alegre, de acordo com as escalas seguintes: • Mapa 1 – escala 1:50.000 • Mapa 2 – escala 1:1.000.000

Com base nesses dados, é correto afirmar que:

a) Em ambos os mapas ocorre uma representação rica em detalhes, o que facilita a leitura dos elementos urbanos que constituem a cidade. b) A escala do mapa 1 é mais recomendada para planisférios que fazem parte de atlas escolares. c) Um mapa na escala 1:500 possibilita a representação da área urbana de Porto Alegre com mais detalhes que os mapas 1 e 2. d) O mapa 2, por ser maior que o mapa 1, é mais favorável à representação de detalhes que este último.

e)A riqueza de detalhes que um mapa pode representar não depende da escala, e sim da qualidade da legenda.

Considerando a sequência das imagens acima, de A a D, pode-se dizer que

a) a escala das imagens diminui, pois mais detalhes podem ser vistos na sequência. b) os detalhes das imagens diminuem na sequência de A a D, e aumenta a área representada. c) a escala aumenta na sequência das imagens, uma vez que há, na imagem D, uma área maior. d) o detalhamento da imagem A é maior, portanto sua escala é menor que a das imagens posteriores.

e) a escala pouco muda, pois há a mesma área representada de A a D.

Questão 7 (UERJ)

No mapa, o trajeto total da tocha olímpica em território brasileiro mede cerca de 72 cm, considerando os trechos por via aérea e por terra. A distância real, em quilômetros, percorrida pela tocha em seu trajeto completo, é de aproximadamente: a) 3 600 b) 7 000 c) 36 000

d) 70 000

Questão 8 (PUC-RS)

Se tomássemos como base o desenho de um prédio em que x mede 12 metros e y mede 24 metros, e fizéssemos um mapa da sua fachada reduzindo-a em 60 vezes, qual seria a escala numérica desta representação? a) 1:60 b) 1:120 c) 1:10 d) 1:60.000

e) 1:100

Um mapa é a representação reduzida e simplificada de uma localidade. Essa redução, que é feita com o uso de uma escala, mantém a proporção do espaço representado em relação ao espaço real.

Certo mapa tem escala 1 : 58 000 000.

Considere que, nesse mapa, o segmento de reta que liga o navio à marca do tesouro meça 7,6 cm. A medida real, em quilômetro, desse segmento de reta é a) 4 408. b) 7 632. c) 44 080. d) 76 316.

e) 440 800.

Questão 10 (UERJ)

Naquele Império, a arte da cartografia alcançou tal perfeição que o mapa de uma única província ocupava uma cidade inteira, e o mapa do Império uma província inteira. Com o tempo, estes mapas desmedidos não bastaram e os colégios de cartógrafos levantaram um mapa do Império que tinha o tamanho do Império e coincidia com ele ponto por ponto. Menos dedicadas ao estudo da cartografia, as gerações seguintes decidiram que esse dilatado mapa era inútil e não sem impiedade entregaram-no as inclemências do sol e dos invernos. Nos desertos do oeste perduram despedaçadas ruínas do mapa habitadas por animais e por mendigos.
BORGES, J. L. Sobre o rigor na ciência. Em: História universal da infâmia. Lisboa: Assírio e Alvim, 1982.

No conto de Jorge Luís Borges, apresenta-se uma reflexão sobre as funções da linguagem cartográfica para o conhecimento geográfico.
A compreensão do conto leva à conclusão de que um mapa do tamanho exato do Império se tornava desnecessário pelo seguinte motivo:

a) extensão da grandeza do território político. b) imprecisão da localização das regiões administrativas. c) precariedade de instrumentos de orientação tridimensional.

d) equivalência da proporcionalidade da representação espacial.

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