São vários os momentos em matemática, bem como em outras áreas do conhecimento, que a evolução do problema em resolução acaba desembocando em equações de 2º grau ou em funções polinomiais de 2º grau (funções quadráticas). Por este motivo, o conhecimento dos processos de resolução desse tipo de equação é importante e, além disso, necessário. Show
Muitos povos contribuíram para a descoberta e aperfeiçoamento da resolução de equações de grau 2, a exemplo dos árabes, hindus e babilônios. Para se ter uma ideia da idade histórica desses problemas, há aproximadamente 2000 a.C. os babilônios já conheciam e resolviam equações de 2º grau, em parte dos casos com a ajuda de figuras geométricas. Este trabalho trata, prioritariamente, do discriminante encontrado na fórmula resolutiva, conhecida também por fórmula de Bhaskara, suas particularidades e operacionalidades. O discriminante (Δ)A fórmula resolutiva para equações completas e incompletas do 2º grau é O discriminante, representado pela letra grega Δ (lê-se “delta”) corresponde ao radicando da fórmula resolutiva e tem o valor do coeficiente b elevado à segunda potência, menos o produto de quatro pelos coeficientes a e c. Coeficientes são números reais que acompanham as incógnitas, no caso de a e b, ou é independe das incógnitas, no caso de c. A representação geral de uma equação de 2º grau é: ax2 + bx + c = 0, com a ≠ 0. Particularidades de ΔAlgumas peculiaridades do discriminante merecem atenção. Veja cada uma delas: 1. Δ = 0. Quando o discriminante é igual à zero a equação de 2º grau apresenta duas raízes reais iguais. Ex.: Resolva a equação x2 – 6x + 9 = 0. Separando os coeficientes a = 1, b = – 6 e c = 9. Calculando o valor do discriminante Δ = b2 – 4ac Δ = (– 6)2 – 4.1.9 Δ = 36 – 36 Δ = 0 x2 – 6x + 9 = 0  2. Δ > 0. Quando o valor do discriminante é maior que zero, a equação apresenta duas raízes reais diferentes. Ex.: Resolva a equação x2 + 3x – 4 = 0. Separando os coeficientes a = 1, b = 3 e c = – 4. Calculando o valor do discriminante Δ = b2 – 4ac Δ = (3)2 – 4.1.(– 4) Δ = 9 – 16 Δ = 25 x2 + 3x – 4 = 0 3. Δ < 0. Quando o discriminante é menor que zero, não existem raízes reais (em R). Ex.: Determine o conjunto solução da equação quadrática x2 + 5x + 7 = 0. Separando os coeficientes a = 1, b = 5 e c = 7. Calculando o valor do discriminante Δ = b2 – 4ac Δ = 52 – 4.1.(7) Δ = 25 – 28 Δ = – 3 x2 + 5x + 7 = 0 Portanto, o conjunto solução desta equação é: “Nem todos os caminhos que levam ao sucesso são fáceis.” (Robison Sá) Referência bibliográfica: Texto originalmente publicado em https://www.infoescola.com/matematica/discriminante/ A “Fórmula de Bhaskara” é considerada uma das mais importantes da matemática. Ela é usada para resolver as equações de segundo grau, ou seja, determinar os valores reais da incógnita que tornam verdadeira a igualdade. Para isso, são usados os valores dos coeficientes a, b e c. A Fórmula de Bhaskara é expressa da seguinte maneira: Onde, x: é uma variável chamada de
incógnita Discriminante da EquaçãoA expressão dentro da raiz quadrada na fórmula de Bhaskara é chamada discriminante da equação e é representada pela letra grega delta (Δ), ou seja: Normalmente essa expressão é calculada separadamente, pois conforme o valor encontrado, podemos saber antecipadamente o número de raízes da equação e se pertencem ao conjunto dos números reais. Note que a, b e c são as constantes da equação e o valor de Delta (Δ) pode ocorrer de três maneiras: Se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas. Se o valor de Δ for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará uma raiz real. Se o valor de Δ for menor que zero (Δ<0), a equação não possui raízes reais. Assim, substituindo a expressão do discriminante por delta, a fórmula de Bhaskara ficará: Exemplo Solução O primeiro passo para resolver uma equação usando a fórmula de Bhaskara é identificar os coeficientes da equação. Desta forma, os coeficientes na equação são: a = + 1, b = - 5 e c = + 6. Para saber o número de raízes, precisamos calcular o valor do delta, assim temos: Como delta é maior que zero , então a equação terá duas raízes reais e distintas. Vamos agora aplicar a fórmula de Bhaskara para encontrar o valor das raízes. Lembre-se que uma raiz quadrada tem duas respostas, uma positiva e uma negativa, por isso, repetimos o cálculo com a fórmula de Bhaskara, utilizando o valor positivo e negativo. Assim, as duas raízes da equação são 2 e 3. Equações de Segundo GrauAs equações do segundo grau são chamadas "equações quadráticas”, dado que determinam os valores de uma equação polinomial de grau dois. São as equações onde o maior expoente é 2. Elas são representadas pela expressão: Nesse caso, a, b e c são números reais e a ≠ 0, por exemplo: 2x2 + 3x + 5 = 0 Onde, a = 2 Observe que se o coeficiente a for igual a zero, o que temos é uma equação do primeiro grau: bx + c = 0 Leia mais em Função Quadrática. ExemplosPara compreender melhor os coeficientes (a, b, c) da equação de segundo grau, confira abaixo alguns exemplos: x2 - 1 = 0 ⇒ a = 1; b = 0; c = - 1 - x2 + 2x = 0 ⇒ a = - 1; b = 2; c = 0 - 4x2 = 0 ⇒ a = - 4; b = 0; c = 0 2x2 + 3x + 5 = 0 ⇒ a = 2; b = 3; c = 5 3x2 - 4x + 1 = 0 ⇒ a = 3; b = - 4; c = 1 Classificações das Equações de Segundo GrauAs equações do 2º grau podem ser de dois tipos:
A fórmula de Bhaskara é mais utilizada nas equações de segundo grau completas. Nas incompletas também pode ser usada, entretanto, existem métodos mais simples para resolvê-las. Função do segundo grau e fórmula de BhaskaraAs funções do segundo grau são determinadas por polinômios do segundo grau. Esta função tem o domínio real (eixo x) e sua imagem está determinada no intervalo que vai do vértice ao infinito, [vértice, infinito). O gráfico da função do segundo grau é uma parábola e pode ter concavidade para cima (se o coeficiente a, que multiplica o termo x² é positivo, ou para baixo quando a é negativo. Os pontos de intersecção entre a curva da função e o eixo x são as raízes determinadas pela fórmula de Bhaskara. Exemplo Resolução: Para conhecer os pontos onde a curva corta o eixo x, temos que determinar as raízes da equação do segundo grau. Para isso, igualamos a função à 0. Determinando as raízes Os coeficientes são: a = -1 Discriminante: Utilizando a fórmula de Bhaskara e considerando os valores positivos e negativos da raiz quadrada: As raízes da equação são -2 e 3, dessa forma, a curva cortará o eixo x nestes pontos. Plotando o gráfico da função temos: CuriosidadeA fórmula de Bhaskara recebe esse nome uma vez que faz homenagem ao matemático e astrônomo indiano Bhaskara Akaria ou Bhakara II (1114-1185). Ele é considerado um dos mais importantes matemáticos do século XII. Exercício de Fórmula de Bhaskara(PUC- Campinas) Se v e w são as raízes da equação x2 + ax + b = 0, em que a e b são coeficientes reais, então v2 + w2 é igual a: a) a2 - 2b Ver Resposta Determinando o discriminante: Determinando as raízes: Calculando v² + w² : Alternativa a: a2 - 2b Pratique mais exercícios sobre fórmula de Bhaskara. Professor de Matemática licenciado e pós-graduado em Ensino da Matemática e Física (Fundamental II e Médio), com formação em Magistério (Fundamental I). Engenheiro Mecânico pela UERJ, produtor e revisor de conteúdos educacionais. Quantas raízes a equação vai ter Se o valor do delta for maior que 0?Se o valor de Δ for maior que zero (Δ > 0), a equação terá duas raízes reais e distintas. Se o valor de Δ for igual a zero (Δ = 0), a equação apresentará uma raiz real.
Qual o número de raízes quando delta é maior que zero?3 – Se o discriminante é maior que zero, é o caso em que a equação do segundo grau possui duas raízes reais e distintas. Em outras palavras: Se Δ > 0, então a equação possui duas raízes reais.
Quantas raízes zeros tem uma função quadrática com delta maior que zero?Δ > 0 → a função possui duas raízes reais distintas; Δ = 0 → a função possui uma única raiz real; Δ < 0 → a função não possui raiz real.
Quando o valor de delta é menor que zero a equação possui quantas raízes?Se o discriminante delta de uma equação do 2 grau é menor que zero, ela tem uma única raiz real distinta. Se o discriminante delta de uma equação do 2 grau é maior que zero, ela tem duas raízes reais distintas.
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Quantas raízes da equação vai ter Se o valor do delta for maior que zero?
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