Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados com os algarismos 0 3 4 6 8 é 9?

Grátis

12 pág.

• Denunciar

Pré-visualização | Página 1 de 6

Prof. Marcelo Cóser 
 Anglo Oficinas 
 
1 
ANÁLISE COMBINATÓRIA 
 
Considere os dois problemas abaixo: 
 
Em uma corrida envolvendo quatro corredores, 
quantas são as possibilidades de pódio? 
 
 
Para cada possível 1º 
lugar, existem três 
possíveis 2ºs lugares e, 
para cada um desses 
segundos, duas opções 
para 3º colocado. Como 
mostra o diagrama, são 24 
pódios distintos. 
 
Em um grupo de quatro alunos, conseguimos formar 
quantos trios diferentes? 
 
 
Para a resolução desse problema, a 
estratégia anterior não funciona, pois as 
escolhas não possuem hierarquia entre si: 
ser o primeiro, o segundo ou terceiro do trio 
é indiferente. Observe que no problema anterior a 
primeira escolha é diferenciada das demais, assim 
como cada escolha é diferenciada das demais. Em 
tempo: a resposta do problema, como mostram as 
possibilidades listadas acima, é 4. 
 
A análise combinatória distingue dois tipos de 
agrupamentos: seqüências e conjuntos. 
 
Seqüências 
 
São agrupamentos que se diferenciam pelos 
elementos componentes ou pela ordem desses 
elementos. Por exemplo, (A, B) ≠ (B, A) pela ordem 
em que aparecem e (A, B) ≠ (A, C) pelos elementos 
escolhidos. Observe que ordem implica hierarquia 
entre escolhas: a ordem somente é importante quando 
cada escolha tiver uma função diferente no 
problema. 
 
Conjuntos 
 
São agrupamentos que se diferenciam somente pelos 
elementos componentes. No mesmo exemplo anterior, 
{A, B} = {B, A} e {A, B} ≠ {A, C}. A ordem aqui não é 
importante. Ou seja, não existe hierarquia e, com 
isso, cada escolha desempenha o mesmo papel no 
problema. 
 
PRÍNCIPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM 
 
O raciocínio utilizado para a resolução do primeiro 
problema é muito importante para resolver qualquer 
problema de Análise Combinatória. 
 
Considere um problema onde n decisões 
independentes devem ser tomadas. Para cada uma 
dessas decisões existem 
1 2 3 1, , , ..., ,n nd d d d d
 opções 
de escolha. Tendo em mente a ramificação das 
escolhas (ou árvore de possibilidades) apresentada 
anteriormente, sabe-se que a 1ª escolha possui 
1d
 
possibilidades, que se ramificam em 
2d
 opções para a 
2ª, que por sua vez se ramificam em 
3d
 para a 3ª, e 
assim sucessivamente, até se ramificar em 
nd
 
possibilidades para a n-ésima e última escolha. 
 
Assim, n decisões independentes com 
1 2, , ..., nd d d
 
opções de escolha cada geram um total de 
1 2 3 n-1 nd d d d d    
 seqüências. Observe que 
esse é o número de seqüências e não de conjuntos, 
pois as decisões são independentes. Ou seja, há 
hierarquia entre elas. 
 
EXERCÍCIOS DE AULA 
 
01) Uma bandeira assimétrica é formada por quatro 
listras, que devem devem ser coloridas usando-se 
apenas as cores amarelo, branco e cinza, não 
devendo listras adjacentes ter a mesma cor. De 
quantos modos pode ser colorida a bandeira? 
 
Se iniciarmos colorindo a primeira lista, a única 
restrição diz que a listra seguinte deve ser de cor 
diferente. Assim, 
3 2 2 2 24   
 modos. 
 
 
02) Quantos números naturais de quatro algarismos 
distintos existem? 
 
Nosso sistema decimal possui 10 algarismos: 0, 1, 2, 
3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. O único que não pode iniciar um 
número é o algarismo “0”. Assim, existem 
9 9 8 7 4536   
 números, já que os algarismos 
devem ser distintos. 
 
 
 
 
 
 
 Prof. Marcelo Cóser 
 Anglo Oficinas 
 
2 
Pequenas dificuldades adiadas costumam 
transformar-se em grandes dificuldades. Se alguma 
decisão é mais complicada que as demais, ela deve 
ser tomada em primeiro lugar 
. 
03) Quantos números naturais de 4 algarismos, que 
sejam menores que 5000 e divisíveis por 5, podem ser 
formados usando-se apenas os algarismos 2, 3, 4 e 5? 
 
São duas as restrições: o primeiro algarismo não pode 
ser “5” e o último algarismo, por outro lado, deve ser 
igual a “5”. Com isso, existem 
3 4 4 1 48   
 números 
que atendem essas condições. 
 
 
 
04) Quantos são os números naturais pares que se 
escrevem com 3 algarismos distintos? 
 
A exigência de algarismos distintos proíbe a repetição. 
Ainda, para formar números pares exige-se que o 
último algarismo seja par: 0, 2, 4, 6 ou 8. A dificuldade 
desse exercício está no fato de “0” não poder ser 
utilizado como primeiro algarismo. Assim, se ele for 
escolhido como último, são 9 os possíveis algarismos 
para o primeiro; no entanto, se não for, existirão 
somente 8 possíveis primeiros algarismos. Separando 
em casos: 
9 8 1 72  
 números onde “0” é o último 
algarismo e 
8 8 4 256  
 números onde “0” não é o 
último algarismo. Assim, 72 + 256 = 328 números. 
 
Outra resolução: existem 
9 9 8 648  
 números com 
três algarismos distintos. Para que sejam ímpares, o 
último algarismo deve ser ímpar: 1, 3, 5, 7 ou 9. 
Assim, 
8 8 5 320  
 números são ímpares. Com isso, 
648 - 320 = 328 são números pares. 
 
 
05) Em quantos números de quatro algarismos o 
algarismo “5” aparece pelo menos uma vez? 
 
A mesma abordagem da segunda resolução do 
exercício anterior pode ser utilizada: descontando o 
que não interessa do total. No exercício 2, calculamos 
em 9.000 o total de números com quatro algarismos. 
Se o “5” não for utilizado, serão 
8 9 9 9 5832   
. 
Logo, serão 9000 - 5832 = 3168 números onde o 
algarismo “5” aparece pelo menos uma vez. 
06) A respeito das letras da palavra “TESOURA”: 
 
a) Quantos anagramas apresentam as letras S, O e U 
juntas e nessa ordem? 
 
O enunciado exige que os anagramas formados 
contem com a junção “SOU”. Assim, as três letras S, 
O, U serão contados como somente uma opção de 
agrupamento: afinal, deverão estar juntas e nessa 
mesma sequência. 
 
Com isso, as opções para escolha são as letras T, E, 
R, A e o agrupamento SOU. Ou seja, 5 opções. Assim, 
existirão 
5 4 3 2 1 120    
 anagramas. 
 
 
b) Quantos anagramas apresentam as letras S, O e U 
juntas? 
 
O enunciado faz quase a mesma exigência que o 
anterior, mas retira uma: o agrupamento “SOU” pode 
aparecer como “USO” ou “SUO”, por exemplo. A 
exigência da ordem não existe mais. 
 
No entanto, a resolução para qualquer ordem segue a 
mesma: existirão 120 anagramas com “USO” e 120 
anagramas com “SUO”. Desse modo, é preciso 
calcular de quantas maneiras é possível reordenar o 
agrupamento original “SOU”: 
3 2 1 6  
 maneiras, 
sendo que cada uma gerará 120 anagramas 
diferentes. Ou seja, serão 
6 120 720 
 anagramas 
distintos. 
 
 
 
c) Quantos anagramas começam por vogal ou 
terminam por consoante? 
 
Das sete letras, três são consoantes e quatro são 
vogais. Assim, 
4 6 5 4 3 2 1 2880      
 começam por 
vogal e 
6 5 4 3 2 1 3 2160      
 terminam por 
consoante. No entanto, os anagramas que começam 
por vogal e terminam por consoante estão sendo 
contados em ambos os casos. Esses casos duplos 
totalizam 
4 5 4 3 2 1 3 1440      
 anagramas. Assim, 
existem 2880 + 2160 - 1440 = 3600 anagramas nas 
condições exigidas. 
 
 
 
 
 
 Prof. Marcelo Cóser 
 Anglo Oficinas 
 
3 
Notação Fatorial 
 
n! = n·(n - 1)·(n - 2)·(n - 3)· 
...
 ·3·2·1, com n natural. 
 
Além da definição algébrica para fatorial, deve ser 
compreendida também a definição combinatória: 
 
n! é o número de seqüências com n elementos 
distintos que formamos a partir de n elementos. 
 
Por exemplo, 
1 1 1
2 2
3
4 3 2 1
4!

Quais os números naturais de quatro algarismos distintos podem ser representados com os algarismos 0 4 5 7 é 9?

Quantos números de 4 algarismos distintos podemos formar com os algarismos 0 3 4 5 7 8 é 9?

Quantos números naturais de quatro algarismos distintos podem ser formados usando os algarismos 2 3 4 5 6 7 8 9?

Quantos números naturais de 4 algarismos formados com os algarismos do sistema decimal de numeração possuem pelo menos dois algarismos iguais?