Problemas de raciocínio lógico Diagramas de Venn Vamos apresentar alguns problemas envolvendo raciocínio lógico para os quais podemos utilizar diagramas de Venn para organizar os dados e visualizar melhor um caminho para resolvê-los. Para alguns problemas apresentaremos suas respectivas soluções e para outros forneceremos apenas suas respostas.Antes de iniciarmos, uma observação importante que pode ajudar na utilização de diagramas de Venn na resolução de problemas:
(2) Quando trabalhamos simultaneamente com três conjuntos [tex]A, \, B, \, C \, [/tex] de um universo [tex]U \, [/tex], para cada elemento de [tex]U \, [/tex] temos uma, e apenas uma, das seguintes situações: Vamos ilustrar as oito situações desse segundo caso na figura abaixo. (3) Essa observação pode ser estendida a quatro ou mais conjuntos de um conjunto universo; no entanto fica visualmente complicado trabalhar com mais de três conjuntos, além do universo. Por exemplo, não conseguimos construir um diagrama de Venn utilizando apenas círculos quando lidamos com quatro conjuntos. Observe na figura ao lado que, por exemplo, existe uma região para representar a interseção apenas dos conjuntos [tex]B[/tex] e [tex]A[/tex], existe uma região para representar a interseção apenas dos conjuntos [tex]B[/tex] e [tex]C[/tex], mas não existe uma região em que apenas os conjuntos [tex]B[/tex] e [tex]D[/tex] se intersectem. O que você acha de utilizar os diagramas abaixo para representar os conjuntos [tex]A[/tex], [tex]B[/tex], [tex]C[/tex] e [tex]D[/tex]? Conseguimos representar todas as possíveis maneiras que um elemento pode fazer parte desses conjuntos?
Para aprofundar essa discussão, visite esta página. Problemas Problema 1: Uma avaliação contendo duas questões foi aplicada a 200 alunos.
Quantos alunos erraram as duas questões?
Vamos montar um diagrama de Venn com os dados do problema.
Observamos, então, que [tex]50+50+40=140[/tex] alunos acertaram pelo menos uma das duas questões da avaliação. Como [tex]200[/tex] alunos fizeram a avaliação, então [tex]200-140=60[/tex] alunos erraram as duas questões.
Problema 2: (CRM ES 2016 – Quadrix) Numa pesquisa, verificou-se que, das pessoas consultadas, [tex]100[/tex] se informavam pelo site A; [tex]150[/tex] por meio do site B; [tex]20[/tex] buscavam se informar por meio dos dois sites, A e B; e [tex]110[/tex] não se informavam por nenhum desses dois sites. Desse modo, é correto afirmar que o número de pessoas consultadas nessa pesquisa foi de: [tex]\qquad(A) \, 380. \qquad(B) \, 360. \qquad(C) \, 340. \qquad(D) \, 270. \qquad(E) \, 230.[/tex]
Vamos utilizar mais uma vez um Diagrama de Venn. Observe na figura que:
Dessa forma, foram consultadas na pesquisa um total de [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$80 + 20 + 130 + 110 = 340$} \, [/tex] pessoas e, portanto, a alternativa correta é a [tex]C.[/tex]
Problema 3: Em uma escola foi realizada uma pesquisa sobre o gosto musical dos alunos.
Quantos foram os alunos entrevistados?
Parece que já temos todos os dados que precisamos para montar um bom diagrama de Venn e responder a pergunta formulada no problema.
Como os dados não registram pessoas que não gostem de algum dos três gêneros, o diagrama está pronto e concluímos que foram entrevistados [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$175+93+323+52+64=707$}[/tex] alunos.
Problema 4: (PUC/Campinas-SP) Numa comunidade constituída de [tex]1800[/tex] pessoas, há três programas de TV favoritos: esportes (E), novelas (N) e humorismo (H). A tabela a seguir indica quantas pessoas assistem a esses programas:
Por meio desses dados, verifica-se que o número de pessoas da comunidade que não assistem a qualquer dos três tipos de programas é: (1) O dado mais restritivo é o número de pessoas que assistem aos três programas; assim, é por aí que iniciaremos o preenchimento de um diagrama de Venn:
(2) Em seguida, o dado mais restritivo é sobre o número de pessoas que assistem a dois tipos de programas. São esses os dados que preencheremos agora.
(3) Agora vamos nos preocupar com os dados relativos aos telespectadores que assistem a apenas um dos três tipos de programa da pesquisa.
A alternativa correta é a [tex]A.[/tex]
Problema 5: O Departamento de Economia de uma determinada instituição de ensino resolveu fazer um estudo sobre as dificuldades dos seus alunos matriculados no primeiro semestre, visando o oferecimento de monitores para auxiliar na resolução de exercícios. Foi feita uma pesquisa com [tex]800[/tex] alunos e foram obtidos os seguintes dados:
Determinar a quantidade de alunos com dificuldades nas três disciplinas simultaneamente.
Não temos dados suficientes para preencher um diagrama de Venn e calcular a quantidade de alunos com dificuldades nas três disciplinas. Vamos então indicar essa quantidade por [tex]x[/tex] e tentar preencher um diagrama de Venn, em função dessa quantidade [tex]x[/tex]. Observe que:
Pronto, temos o nosso diagrama! Sendo assim, temos que [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$20$}[/tex] alunos apresentaram dificuldades nas três disciplinas.
Problema 6: Em um navio de cruzeiro viajam [tex] 1.200 [/tex] pessoas, das quais:
Quantas das pessoas que estão nesse navio bebem e fumam?
Solução 1:
Faremos um diagrama de Venn a partir desses novos dados. Para isso, vamos supor que [tex]x[/tex] seja o número de pessoas do navio que fumam e bebem; assim:
Portanto, no navio há [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$120$}[/tex] pessoas que bebem e fumam. Solução 2:
[tex] \textcolor{#800000}{(i)}[/tex] Com o auxílio da figura abaixo, perceba que:
Dessa forma, a diferença [tex]800-680=120[/tex] é o número de passageiros que fumam e não bebem. [tex] \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] Agora, com o auxílio da próxima figura, perceba que:
Dessa forma, a diferença [tex]960-680=280[/tex] é o número de passageiros que bebem e não fumam. Dessa forma, se denotarmos por [tex]m[/tex] o número de passageiros que fumam e bebem, teremos o próximo diagrama. Portanto, no navio existem [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$120$}[/tex] pessoas que bebem e fumam.
Problema 7: (ENEM 2013) Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.
Neste caso, sabemos que:
Utilizaremos um diagrama de Venn para visualizarmos melhor os dados do problema e calcularmos essas duas quantidades. Vamos lá! Dos [tex]1 \, 200[/tex] alunos da escola, [tex]300[/tex] não falam nenhuma língua; logo, [tex]1200-300 = 900[/tex] alunos falam pelo menos uma língua. Desses, [tex]600[/tex] falam inglês, [tex]500[/tex] falam espanhol e certa quantidade, que denotaremos por [tex]x \, [/tex], falam as duas línguas. Vamos montar o nosso diagrama de Venn a partir dessas duas informações. Nesse diagrama: ► [tex]I[/tex] indicará o conjunto dos alunos da escola que falam inglês;
Sendo assim, segue que: [tex] \qquad (600-x)+(500-x)+x+300=1200[/tex] [tex] \qquad 1400-x=1200[/tex] [tex] \qquad \boxed{x=200} \, .[/tex]
Com isso, finalizamos o nosso diagrama de Venn e podemos calcular a probabilidade solicitada no problema:
Alternativa correta: [tex](A).[/tex]
Problema 8: (Vunesp 2014) Três conjuntos, [tex]A, \, B[/tex] e [tex]C \, [/tex], têm um total de [tex]40[/tex] elementos. Sabe-se que [tex]7[/tex] elementos pertencem apenas ao conjunto [tex]A[/tex], [tex]10[/tex] elementos, apenas ao conjunto [tex]B[/tex], [tex]13[/tex] elementos, apenas ao conjunto [tex]C[/tex], e pelo menos um elemento pertence simultaneamente aos três conjuntos. Os demais elementos podem pertencer ou a dois desses conjuntos ou aos três conjuntos. Desse modo, a maior diferença possível da quantidade total de elementos de certo conjunto em relação à quantidade total de elementos de outro conjunto é:
Vamos utilizar um diagrama com três conjuntos e preenchê-lo de acordo com os dados do problema:
Note que faltam ser distribuídos entre as regiões assinaladas com o símbolo de interrogação (?) um total de [tex]40-(7+10+13+1)=9[/tex] elementos. A distribuição desses [tex]9[/tex] elementos deve ser feita de modo que "a diferença entre a quantidade total de elementos de um dos três conjuntos e quantidade total de elementos de outro dos três conjuntos" seja a maior possível. E para que isso aconteça devemos fazer a diferença entre os conjuntos que, após a distribuição, ficarem com a maior e a menor quantidade de elementos. Vamos então determinar a quantidade de elementos que cada um dos conjuntos [tex]A, \, B[/tex] e [tex]C[/tex] têm até o momento:
Antes da distribuição o conjunto [tex]A[/tex] tem o menor número de elementos e [tex]C \, [/tex], o maior; dessa forma, observamos que:
Problema 9: (UFBA – adaptado) Numa academia de ginástica que oferece várias opções de atividades físicas, foi feita uma pesquisa para saber o número de pessoas matriculadas em alongamento, hidroginástica e musculação, chegando-se ao resultado expresso na tabela a seguir: (01) A pesquisa envolveu [tex]500[/tex] pessoas. (02) [tex]61[/tex] pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento. (03) [tex]89[/tex] pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela. (04) O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica corresponde a [tex]28,4\%[/tex] do total de pessoas envolvidas na pesquisa.
Vamos analisar os dados fornecidos pelo problema e construir um diagrama de Venn para verificar a veracidade de cada uma das quatro afirmações.
A partir dessas informações, podemos montar o seguinte diagrama de Venn (01) A pesquisa envolveu [tex]500[/tex] pessoas. Somando todos os valores que aparecem no diagrama, temos: [tex] \qquad 142 + 20 + 5 + 36 + 23 + 61 + 98 + 115 = 500.[/tex]Assim, a afirmação é verdadeira, pois a pesquisa envolveu, de fato, [tex]500[/tex] pessoas. (02) [tex]61[/tex] pessoas estavam matriculadas apenas em alongamento. (03) [tex]89[/tex] pessoas estavam matriculadas em pelo menos duas das atividades indicadas na tabela. Os que foram matriculados em pelo menos duas das atividades são aqueles que aparecem nas intersecções: [tex] \qquad 36 + 23 + 20 + 5 = 84.[/tex] Com isso, são [tex] 84 [/tex] pessoas praticando, pelo menos, duas das atividades. Portanto, a afirmação é falsa. (04) O número de pessoas matriculadas apenas em hidroginástica corresponde a [tex]28,4\%[/tex] do total de pessoas envolvidas na pesquisa.
Assim, a porcentagem correspondente às pessoas matriculadas apenas em hidroginástica é [tex]28,4\%[/tex], o que mostra que a afirmação é verdadeira. Precisam de problemas para praticar? Aqui vão alguns! Equipe COM – OBMEP Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problemas-de-raciocinio-logico-diagrama-de-venn/ |