Como é chamado um polígono de 5 lados

Pentágono é uma figura geométrica formada por cinco ângulos e lados. Também é o nome da sede do Departamento de Defesa dos Estados Unidos, símbolo das Forças Armadas dos EUA.

Nos estudos da geometria, os pentágonos (polígonos de cinco lados), podem ser divididos em regulares e irregulares. No caso de um pentágono regular, todos os lados e ângulos são de igual tamanho, sendo cada ângulo interno com a medida de 180º.

Por outro lado, os pentágonos irregulares são aqueles com lados diferentes ou lados diferentes. Lembrando que, com exceção do triângulo, todos os polígonos podem ser equiláteros e não equiângulos, e vice-versa.

Ver também: significado de Pentagrama e Polígono.

A classificação dos polígonos é utilizada para nomeá-los. Por exemplo, quando o polígono possui exatamente três ângulos, ele é chamado de triângulo; quando ele possui quatro ângulos, ele é chamado de quadrilátero. Acima de quatro lados, os polígonos são nomeados como pentágonos, hexágonos e assim sucessivamente.

É possível classificar os polígonos também de acordo com a medida de seus lados e também de seus ângulos. Com relação aos lados, um polígono pode ser regular, quando possui lados e ângulos congruentes, ou irregular. Quanto aos ângulos, ele pode ser classificado como convexo, quando todos os seus ângulos são menores que 180º, ou côncavo (não convexo), quando possui pelo menos um ângulo maior que 180º.

Leia também: Classificação dos triângulos – critérios e nomenclatura

Classificação dos polígonos

Um polígono pode ser classificado de acordo com as suas características. Uma delas é o número de lados ou de ângulos. Além dessa classificação, um polígono pode ser tido como regular ou irregular, de acordo com a medida dos seus ângulos e a congruência ou não de seus lados. Uma terceira classificação dos polígonos leva em consideração o tamanho de seus ângulos internos. Quando um deles é um ângulo maior que 180º, esse polígono é conhecido como não convexo ou côncavo.

Para reconhecer e nomear um polígono, levamos em consideração a quantidade de lados ou a quantidade de ângulos que ele possui, que são, inclusive, iguais. Os polígonos com menor número de lados são o triângulo (três ângulos) e o quadrilátero (quatro lados). A partir de um polígono de cinco lados, existe um padrão na construção dos nomes desses polígonos: apresentamos as quantidades com o prefixo grego correspondente ao número de lados mais o sufixo -gono.

A utilização das quantidades em grego é bastante comum na matemática e na química. Os prefixos mais comuns são:

Penta → cinco

Hexa → seis

Hepta → sete

Octa → oito

Enea → nove

Deca → dez

Hendeca ou undeca → onze

Dodeca → doze

Icosa→ vinte

Sendo assim, ao juntarmos a quantidade de lados em grego com a terminação -gono (que significa ângulo), vamos encontrar:

Pentágono → polígono de 5 lados

Hexágono → polígono de 6 lados

Heptágono → polígono de 7 lados

Octágono → polígono de 8 lados

Eneágono → polígono de 9 lados

Decágono → polígono de 10 lados

Undecágono ou hendecágono → polígono de 11 lados

Dodecágono → polígono de 12 lados

Icoságono → polígono de 20 lados

Muitas vezes o universo bidimensional é confundido com o tridimensional, que não utiliza a terminação gono (que faz menção ao ângulo), mas sim a terminação -edro (que faz menção às faces), o que ocorre com os sólidos geométricos, como icosaedro, dodecaedro, entre outros, que são tridimensionais e conhecidos como poliedros.

Veja também: Diferenças entre figuras planas e espaciais

Um polígono pode ser classificado como regular quando ele possui todas os ângulos e lados congruentes. Ser congruente significa possuir a mesma medida. O triângulo equilátero e o quadrado são exemplos. Quando pelo menos um dos lados é diferente, o polígono é irregular.

O termo equilátero é usado em referência a lados iguais. Aplica-se o mesmo raciocínio para os ângulos, surgindo o termo equiângulo.

Existem várias formas de explicar o que seria um polígono convexo e um polígono não convexo. De forma geométrica, podemos afirmar que um polígono é convexo quando, ao escolhermos dois pontos A e B quaisquer, o segmento de reta que une esses dois pontos está contido no polígono. Caso contrário, ou seja, se existir pelo menos dois pontos contidos no polígono cujo segmento de reta que os liga não está contido no polígono, ele é conhecido como não convexo ou côncavo.

Uma forma bastante fácil de identificar é analisando os ângulos internos do polígono. Quando ele possui um ângulo maior que 180º, ele será, consequentemente, um polígono não convexo.

Acesse também: Paralelogramos – polígonos que possuem lados opostos paralelos

Exercícios resolvidos

Questão 1 - Analisando o polígono a seguir, podemos classificá-lo como:

A) hexágono, convexo e regular. B) hexágono, não convexo e irregular. C) pentágono, convexo e regular. D) pentágono, côncavo e irregular.

E) quadrilátero, convexo e regular.

Resolução

Alternativa D. Analisando a figura, podemos afirmar que ele possui cinco lados, logo é um pentágono. Ele possui um ângulo AÊD maior que 180º, o que faz com que ele seja também côncavo, ou seja, não convexo. Por fim, os ângulos não são todos iguais, o que o torna irregular, então ele é um pentágono côncavo e irregular.

Questão 2 - Sobre as classificações de polígono, julgue as afirmativas a seguir:

I – Todo triângulo é convexo.

II – Definimos como polígono regular aquele que possui todos os ângulos congruentes.

III – Todo polígono convexo é regular.

Podemos afirmar que:

A) somente I é verdadeira. B) somente II é verdadeira. C) somente III é verdadeira. D) somente I e II são verdadeiras.

E) somente II e II são verdadeiras.

Resolução

Alternativa A.

→ 1º passo: julgar as afirmativas.

I – Todo triângulo é convexo.

Verdadeira, pois os ângulos internos do triângulo são sempre menores que 180º, já que a soma dos três ângulos é igual a 180º.

II – Definimos como polígono regular aquele que possui todos os ângulos congruentes.

Falsa, pois não só os ângulos mas também os lados precisam ser congruentes. O retângulo é um exemplo de polígono não regular que possui ângulos congruentes.

III – Todo polígono convexo é regular.

Falsa. Para ser convexo, basta ter ângulos menores que 180º, o que não quer dizer que ele precisa ter lados e ângulos congruentes.

→ 2º passo: analisar as alternativas.

Somente a I é verdadeira.

Por Raul Rodrigues de Oliveira
Professor de Matemática

Polígonos são figuras geométricas planas e fechadas formadas por segmentos de reta. Os polígonos dividem-se em dois grupos, os convexos e os não convexos. Quando um polígono possui todos os seus lados iguais e, consequentemente, todos os ângulos internos iguais, trata-se de um polígono regular. Os polígonos regulares podem ser nomeados de acordo com a quantidade de seus lados.

Veja também: Construção de polígonos circunscritos

Elementos de um polígono

Polígono é a figura plana e fechada formada pela união de um número finito de segmentos de retas. Assim, considere um polígono qualquer:

Os pontos A, B, C, D, E, F, G e H são os vértices do polígono e são formados pelo encontros dos segmentos AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH e HA, chamados lados do polígono.

Os segmentos AF, AE, AD e BG são as diagonais do polígono. (Perceba que esses são alguns exemplos de diagonais, no polígono anterior temos mais dessas.) Diagonais são segmentos de retas que “ligam” os vértices do polígono.

Nomenclatura de um polígono

Podemos nomear os polígonos de acordo com seu número de lados. Veja na tabela a seguir o nome dos principais polígonos.

Note que não é necessário decorar a tabela e sim entendê-la. Com exceção do triângulo e do quadrilátero, a formação da palavra é:

Número de lados + gono

Por exemplo, quando temos o polígono de cinco lados, automaticamente nos lembramos do prefixo penta mais o sufixo gono: pentágono.

Exemplo

Determine o nome do polígono a seguir:

Classificação dos polígonos

Os polígonos são classificados pela medida de seus ângulos e lados. Um polígono é dito equilátero quando possui lados congruentes, ou seja, todos lados iguais; e será dito equiângulo quando possuir ângulos congruentes, isto é, todos ângulos iguais.

Caso um polígono seja equilátero e equiângulo, então ele será um polígono regular.

Em todo polígono regular, o centro tem a mesma distância dos lados, ou seja, é equidistante dos lados. O centro do polígono é também o centro da circunferência inscrita no polígono, ou seja, a circunferência que está “dentro” da circunferência.

Leia mais: Semelhança de polígonos: veja quais são as condições

Soma dos ângulos internos de um polígono

Seja ai um ângulo interno de um polígono regular de n lados, representaremos a soma desses ângulos internos por Si.

Assim, a soma dos ângulos internos é dada por:

Si = (n - 2) · 180°

Para calcular o valor de cada ângulo interno, basta pegar o valor da soma dos ângulos internos e dividir pelo número de lados, ou seja:

ai = Si
       n

Exemplo 1

Determine a soma dos ângulos internos e, em seguida, a medida de cada ângulo interno de um icoságono.

Sabemos que um icoságono possui vinte lados, logo, n = 20. Substituindo nas relações, temos:

Si = (n - 2) · 180°

Si = (20 - 2) · 180°

Si = 18 · 180°

Si = 3240°

Agora, para determinar o valor de cada ângulo interno, basta dividir o valor encontrado pelo número de lados:

ai = 3240°
    20

ai = 162°

Exemplo 2

A soma dos ângulos internos de um polígono regular é 720°, determine o polígono.

Substituindo a informação do enunciado na fórmula, temos:

720° = (n - 2) · 180°

720° = 180n – 360°

180n = 720° + 360°

180n = 1080°

n = 1080°
      180°

n = 6 lados

Assim, o polígono procurado é o hexágono.

Soma dos ângulos externos de um polígono

A soma dos ângulos externos de um polígono é sempre igual a 360°.

Se = 360°

ae = Se
         n

ae = 360°
      n

Diagonais dos polígonos

Considere um polígono de n lados. Para determinar o número de diagonais (d), utilizamos a seguinte relação:

d = n · (n - 3)
     2

Exemplo

Determine o número de diagonais de um pentágono e represente-as graficamente.

Sabemos que um pentágono possui cinco lados, assim, n = 5. Substituindo na expressão, temos que:

d = 5 · (5 - 3)
      2

d = 5 · 2
      2

d = 5

Área e perímetro dos polígonos

O perímetro de polígonos é definido pela soma de todos os lados. A área de um polígono é calculada a partir da divisão do polígono em figuras cujo cálculo da área é mais fácil, como o triângulo e o quadrado.

AΔ = base · altura
        2

Aquadrado = base · altura

Exemplo

Determine uma expressão matemática que represente a área de um hexágono regular.

Solução:

Inicialmente, considere um hexágono regular e todos os segmentos de retas que liguem o centro do polígono a cada vértice. Assim:

Perceba que, devido ao fato do hexágono ser regular, ao dividi-lo, encontramos seis triângulos equiláteros, logo, a área do hexágono é seis vezes a área do triângulo equilátero, ou seja:

Ahexágono = 6 · AΔ

Ahexágono = 6 · l2 · √3
                         4

Ahexágono = 3 · l2 · √3
                         2

Ahexágono = 3 · l2·√3
                          2

Leia também: Área do triângulo equilátero

Exercícios resolvidos

Questão 1 – (Enem) Uma piscina tem o formato de um polígono regular cuja medida do ângulo interno é três vezes e meia a medida do ângulo externo. Qual é a soma dos ângulos internos do polígono cuja forma é igual à dessa piscina?

a) 1800°

b) 1620°

c) 1440°

d) 1260°

e) 1080°

Solução

Como não sabemos a quantidade de lados do polígono, vamos imaginar só um dos vértices desse polígono.

Da imagem podemos ver que:

ai + ae = 180° (I)

Do enunciado temos que:

ai = 3,5 · ae (II)
 

Substituindo a equação (II) na equação (I), teremos que:

3,5 · ae + ae = 180°

4,5 · ae = 180°

ae = 180°
       4,5

ae = 40°

No entanto sabemos que um ângulo interno é a divisão de 360° pelo número de lados do polígono. Assim:

ae = 360°
      n

40° = 360°
        n

40n = 360°

n = 360°
      40°

n = 9

Logo, a soma dos ângulos internos da piscina é:

Si = (n - 2) · 180°

Si = (9 - 2) · 180°

Si = 7 · 180°

Si = 1260° 

Por Robson Luiz
Professor de Matemática