Como fazer adição de raiz quadrada

Quando falamos de raízes na matemática, sempre devemos nos lembrar que o índice da raiz muda, pois ela pode ser do tipo quadrada, cúbica e de muitos outros tipos. Para que possamos realizar operações com radicais na adição e na subtração, é necessário que o radical seja o mesmo. Sendo assim, torna-se fundamental conhecer a estrutura e a nomenclatura das partes de uma raiz.

a = índice

b = radicando

c = expoente

d = raiz

Para realizar operações com radicais na adição e na subtração devemos, primeiramente, verificar se os radicais são semelhantes. Para que o radical de duas ou mais raízes sejam semelhantes é preciso que o índice e o radicando sejam idênticos, a única parte que pode ser diferente é o coeficiente que acompanha o radical.

Observe o exemplo abaixo e compreenda melhor:

Das alternativas abaixo, identifique as que possuem radicais semelhantes e quais não são semelhantes. Lembre-se que para que os radicais sejam semelhantes, eles devem ter índice e radicando iguais, a única parte que pode ser diferente é o coeficiente, ou seja, o número que acompanha o radical.

Resposta:

Os radicais semelhantes estão nas alternativas a e d, pois em ambas o índice e o radicando são exatamente iguais.

Já na alternativa b os índices são diferentes, na alternativa c os radicandos são diferentes. Logo, nessas duas alternativas os radicais não são semelhantes.

Agora que já sabemos a estrutura e a nomenclatura das raízes e já conhecemos o que são radicais semelhantes, podemos aprender como realizar operações com raízes na soma e na subtração.

A regra prática para realizar adição e subtração de radicais é a mesma, a única diferença será o operador, ou seja, a operação poderá ser de adição ou de subtração. Para somar e diminuir radicais semelhantes basta conservar o radical semelhante e realizar a adição ou subtração dos coeficientes. No exemplo abaixo você entenderá melhor como realizar essas contas.

Resolva as operações de adição e subtração com radicais:

Resposta

Relacionado as operações com radicais na adição e subtração temos ainda as expressões numéricas e algébricas com radicais. Para resolver expressões numéricas desse tipo, basta utilizar a regra ensinada anteriormente. Já nas expressões algébricas com radicais, devemos somar e subtrair somente os radicais semelhantes de mesma parte literal.

Lembre-se que uma expressão algébrica é um polinômio e que o polinômio é formado por monômios e cada monômio possui o coeficiente (número/algarismo) e a parte literal (letras). Vamos fazer dois exemplos, sendo um de expressão numérica com radicais e o outro de expressão algébrica com radicais.

Resolva a seguinte expressão numérica com radicais:

Resposta

Resolva a expressão algébrica abaixo:

Resposta

Continue a praticar as operações com radicais envolvendo subtração e adição. Tenha certeza de que com dedicação aprendemos muito mais.

Bons estudos!

Ao trabalhar com radicais, podemos aplicar todas as propriedades básicas da álgebra: tanto a multiplicação e a divisão quanto a adição e a subtração. Veremos agora como determinar a soma e a diferença de raízes.

O primeiro e mais importante detalhe que deve ser observado é que só podemos realizar a adição e a subtração de radicais que apresentam índices e radicandos iguais. Dizemos que esses são radicais semelhantes. Observe alguns exemplos de radicais semelhantes com os quais podemos operar a adição e a subtração:

Para efetuar a adição e a subtração de radicais, podemos utilizar uma conhecida técnica de fatoração: o fator comum. Nesse caso, teremos em comum o radical, que colocaremos em evidência para que possamos então somar ou subtrair seus coeficientes (números que acompanham os radicais). Vejamos alguns exemplos:

a) 

Como dito acima, operaremos apenas os coeficientes: – 2 + 1 – 3 = – 4.

b) 

Subtrairemos os coeficientes 3 e – ½ para determinar a diferença dos radicais:

c) 

Operaremos os coeficientes fracionários:

d) 

Como já vimos, só podemos somar ou subtrair radicais de mesmo radicando e mesmo índice. Por essa razão, vamos organizar a expressão, colocando em evidência cada radical semelhante:

e) 

Reorganizaremos também a expressão, agrupando radicais semelhantes e operando seus respectivos coeficientes:

Você pode realizar todas as operações matemáticas já conhecidas com raízes quadradas, inclusive soma, subtração, divisão e multiplicação. No entanto, uma vez que o radical sobre o número representa uma operação matemática já presente, as regras para somar raízes quadradas são um pouco diferentes daquelas a serem usadas com números inteiros. Para somar raízes quadradas, você deve antes entender como simplificá-las.

1. 1

   Fatore cada radicando em números primos.[1] X Fonte de pesquisa Ir à fonte Uma forma simples de fatorar um número é criar uma árvore de fatores. Leia o artigo "Como Fazer uma Árvore de Fatores" para aprender mais.

   • O radicando é o número que fica sob o radical.
   • Um número primo é aquele que pode apenas ser dividido por
     
     e por si mesmo,[2] X Fonte de pesquisa Ir à fonte como
     
     ,
     
     ,
     
     ,
     
     ,
     
     etc.
   • Você não precisa fatorar os coeficientes — o coeficiente é o número que fica à frente do radical.
   • Digamos, por exemplo, que você queira somar
     
     . Para isso, é necessário fatorar
     
     como
     
     . Você também precisa fatorar
     
     como
     
     .
   • Se o radicando já é um número primo, ele não precisa ser fatorado. Por exemplo, uma vez que e são primos,
     
     e
     
     não requerem fatoração.

2. 2

   Reescreva a expressão. Mantenha todos os fatores sob o radical.

   • Por exemplo, depois de fatorar os radicandos, a expressão exemplificada ficaria expressa como
     
     .

3. 3

   Circule pares de fatores semelhantes sob cada radical. Como você deseje encontrar uma raiz quadrada, é possível simplificar a expressão unindo fatores relacionados.

   • Por exemplo,
     
     tem um par de números , então circule ambos. Da mesma forma,
     
     apresenta um par de números , que também podem ser circulados.

4. 4

   Fatore os coeficientes identificando os fatores emparelhados sob cada radical. A raiz quadrada de qualquer par de fatores será igual ao fator, uma vez que

   
   e
   
   . Coloque o número à frente do radical. Se a expressão já possui coeficiente, multiplique os dois valores.[3] X Fonte de pesquisa Ir à fonte
   • Por exemplo:
     • 
       
       Desse modo,
       
       pode ser simplificado em
       
       .
     • 
       
       Assim, observa-se que
       
       pode ser simplificado em
       
       .

5. 5

   Reescreva o problema usando termos simplificados. Isso deixará o processo de soma muito mais fácil.

   • Por exemplo:
     • pode ser simplificado em
       
       
       .

1. 1

   Coloque um número um à frente de qualquer raiz quadrada sem coeficiente. O , por ser sempre subentendido, é raramente expresso de forma explícita. No entanto, em somas, escrevê-lo pode ajudar a acompanhar os coeficientes.

   • O coeficiente é o número à frente do radical.
   • Por exemplo, escreva como
     
     .

2. 2

   Veja se há raízes quadradas com o mesmo radicando. Você só poderá somar raízes quadradas que possuem radicandos iguais.

   • O radicando é o número que fica sob o radical.
   • Por exemplo, é possível somar os primeiros três termos na expressão porque todos eles têm o mesmo radicando ().

3. 3

   Some os coeficientes. Faça-o somente com os termos que possuem o mesmo radicando, mas não some os radicandos.

4. 4

   Acrescente quaisquer radicandos incompatíveis presentes na expressão. Como eles não podem ser simplificados, não é possível somá-los a outros termos. O resultado será a sua resposta final e simplificada.

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