Estudo completo da função exercícios resolvidos PDF

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Calculo I - Modulo II - Teoria e Exercícios Resolvidos

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Logaritmo Domínios Limites Casos Notáveis de Limites Derivadas/Diferenciável Regras de Derivação Pontos Diferencial Regras de Cauchy Continuidade Assimptotas Monotonia Representação de uma função em Série de Potencia Série Taylor e Mac-Laurin Integração Imediata

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1. 1. ESTUDO DE UMA FUNÇÃO Determinar o domínio; Estudar a continuidade; Determinar as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico da função com os eixos coordenados; Estudar a paridade ou simetrias do gráfico; Determinar a monotonia e os extremos; Estudar o sentido das concavidades e pontos de inflexão; Determinar as assímptotas; Fazer um esboço do gráfico; Indicar o contradomínio.
2. 2. ESTUDO DE UMA FUNÇÃO Resolver o exercício 10 da página 199. Exercício: Estude a seguinte função seguindo a sequência dos procedimentos referidos. 2 1 ( ) 2 1 x x f x x + + = + Determinar o domínio; 1 2 D   = −    ¡
3. 3. ESTUDO DE UMA FUNÇÃO Estudar a continuidade A função é racional logo é contínua no seu domínio. Determinar as coordenadas dos pontos de intersecção do gráfico da função com os eixos coordenados . eixo dos xx Equação Impossível. A função não tem zeros, não intersecta o eixo dos xx. 2 1 ( ) 0 0 2 1 x x f x x + + = ⇔ = + 2 1 0 2 1 0x x x⇔ + + = ∧ + ≠ 1 1 4 1 2 2 x x − ± − ⇔ = ∧ ≠ −
4. 4. ESTUDO DE UMA FUNÇÃO . eixo dos yy A intersecção é no ponto (0, 1). Estudar a paridade ou simetrias do gráfico A função nem é par nem é ímpar. Logo, não é simétrica em relação ao eixo dos dos yy nem à origem. 2 0 0 1 (0) 1 0 1 f + + = = + ( ) ( ) 2 2 1 1 ( ) 2 1 2 1 x x x x f x x x − − + − + − = = − + − +
5. 5. ESTUDO DE UMA FUNÇÃO Determinar a monotonia e os extremos ( ) '2 2 2 1 2 2 1 '( ) 2 1 2 1 x x x x f x x x  + + + − = = ÷ + +  ( ) 2 2 2 2 1 '( ) 0 0 2 1 x x f x x + − = ⇔ = + 1 3 1 3 2 2 x x − − − + ⇔ = ∨ =
6. 6. ESTUDO DE UMA FUNÇÃO Concavidades e pontos de inflexão A função não tem zeros. ( ) ( ) ' 2 2 3 2 2 1 6 ''( ) 2 1 2 1 x x f x x x  + − = = ÷  ÷+ +  ( ) 3 6 ''( ) 0 0 2 1 f x x = ⇔ = + 1 6 0 2 x⇔ = ∧ ≠ −
7. 7. ESTUDO DE UMA FUNÇÃO Concavidades e pontos de inflexão A função não tem zeros. ( ) ( ) ' 2 2 3 2 2 1 6 ''( ) 2 1 2 1 x x f x x x  + − = = ÷  ÷+ +  ( ) 3 6 ''( ) 0 0 2 1 f x x = ⇔ = + 1 6 0 2 x⇔ = ∧ ≠ −
8. 8. ESTUDO DE UMA FUNÇÃO Concavidades e pontos de inflexão A função não tem zeros. ( ) ( ) ' 2 2 3 2 2 1 6 ''( ) 2 1 2 1 x x f x x x  + − = = ÷  ÷+ +  ( ) 3 6 ''( ) 0 0 2 1 f x x = ⇔ = + 1 6 0 2 x⇔ = ∧ ≠ −
9. 9. ESTUDO DE UMA FUNÇÃO Assímptotas verticais é assímptota vertical bilateral. Não existem mais assímptotas verticais porque a função é contínua no seu domínio. 2 1 2 1 lim 2 1x x x x+ →− + + = +∞ + 2 1 2 1 lim 2 1x x x x− →− + + = −∞ + 1 2 x = −
10. 10. ESTUDO DE UMA FUNÇÃO Assímptotas não verticais é assímptota oblíqua do gráfico da função 2 2 2 1 12 1lim lim 2 2x x x x xxm x x→+∞ →+∞ + + += = = 2 1 1 1 lim 2 1 2 4x x x b x→+∞  + + = − = ÷ +  2 2 2 1 12 1lim lim 2 2x x x x xxm x x→−∞ →−∞ + + += = = 2 1 1 1 lim 2 1 2 4x x x b x→−∞  + + = − = ÷ +  1 1 2 4 y x= +
11. 11. ESTUDO DE UMA FUNÇÃO Gráfico e contradomínio 3 3 ' , , 2 2 D     = −∞ − ∪ +∞       

Fazer o estudo complete de uma função significa indicar;

1.O domínio função

2.O contra domínio função

3.Os zeros da função

4. A ordenada na origem

5.As coordenadas dos vértices

6.O eixo de simetria

7.A variação do sinal

8.Estudar a monotonia

9.Indicar a expressão analítica

1.Domino de uma função do segundo grão

O domínio de uma função do segundo grão é sempre x ∈ IR

2.O contra domínio função

O contra domínio de uma função são todos os valores de y , que a função assume. O contra domínio de uma função do segundo grão é:

*y ∈ [yv ,+∞[  se o valor de “a” positivo;

*y ∈ ] -∞, yv]  se o valor de “a” negativo.

3.OS Zeros da função

Os zeros da função são os valores de x na qual a função intercepta o eixo das abcissas, onde para uma função quadrática são; x=x1 e x=x2

4. A ordenada na origem

A ordenada na origem é o valor de y para x=0 ou seja é o valor de y onde a função intercepta o eixo das ordenadas. Para uma função quadrática a ordenada na origem corresponde ao valor do parâmetro “c” (y=c).

5.As coordenadas dos vértices

As coordenadas dos vértices são o xv e o yv. (xv,yv)

6.O eixo de simetria

O eixo de simetria é onde a função se divide em duas partes iguais para uma função do segundo grão é x=xv ( a função quadrática sempre se tive em duas partes iguais no xv)

7.A variação do sinal

Estudar a variação de sinal significa indicar onde a função é positiva e onde a função é negativa.

8.Estudar a monotonia

Fazer o estudo da monotonia de uma função é indicar o intervalo onde a função é crescente e onde a função é decrescente.

9.Indicar a expressão analítica

A principio expressão analítica é uma equação matemáticay=f(x) capaz de descrever o gráfico. a expressão analítica de uma função quadrática é f(x)=ax2+bx+c.

Expressão analítica de uma função quadrática

As formulas para encontrar a expressão a analítica de uma função do segundo grão são as seguintes:

y=a(x-x1)(x-x2) ou

y=a(x-xv)2+yv

*A primeira formula só podemos usar quando a função tiver o zeros da função (x1 e x2) e este estiverem explícitos no gráfico, note que nem toda função quadrática tem zeros.

*A segunda formula usamos quando os vértices estão explícitos no gráfico como todos gráficos das função quadráticas tem vértices essa forma não tem muita limitação na sua aplicação.

Como achar expressão analítica de uma função quadrática?

Para encontrar a expressão analítica de uma função quadrática basta usar uma das formulas y=a(x-x1)(x-x2) ou y=a(x-xv)2+yv

Passos para achar a expressão analítica de uma função do segundo grão usado os zeros da função

1.Conhecer a formula y=a(x-x1)(x-x2)

2. A partir do gráfico indicar x1 e x2e escolher um ponto no gráficos com valores de (x ,y)

3. Substituir os valores de y, x, x1 e x2 na equação e achar o valor de “a”

4. Depois de encontrar o valor de “a”, substituir na equação y=a(x-x1)(x-x2) , a, x1, x2 pelos respectivos valores e assim achamos a achamos a expressão analítica.

Passos para achar a expressão analítica de uma função do segundo grão usado os vértices ( xv e yv.)

1.Conhecer a formula y=a(x-xv)2+yv

2. A partir do gráfico indicar os vértices xv e yv e escolher um ponto no gráficos com valores de (x ,y)

3. Substituir os valores de y, x, xv e yv na equação y=a(x-xv)2+yve achar o valor de “a”

4. Depois de encontrar o valor de “a”, substituir na equação y=a(x-xv)2+yv , a, xv, yv pelos respectivos valores e assim achamos a achamos a expressão analítica.

Exercícios resolvidos para fazer o estudo completo de uma equação quadrática

1.Seja dado o gráfico a seguir de uma função quadrática

A partir do gráfico indique;

a) O domínio

b)A ordenada na origem

c)Os zeros da função

d)Faca o estudo do sinal

e)A monotonia

f)Qual é a expressão analítica do gráfico

Resolução

a) Df; x ∈ é IR ( o domínio de uma função do segundo grão é sempre IR)

b)A ordenada na origem é y=6

c)Os zeros da função são x=2 e x=3

d)Estudo do sinal

   Outra alternativa de fazer o estudo da variação de sinal é ;

] – ∞ ,2[U]3, +∞[ é positivo

]2, 3[é Negativo

e)Monotonia da função

f)Expressão analítica do gráfico

A partir do gráfico podemos notar que quanto x=0, y=6 e os zeros são x1=2 e x2=3

Para achar a expressão analítica vamos usar a fórmula”y=a(x-x1)(x-x2)” onde primeiramente iremos fazer a subistituição dos valores de x,y,x1 e x2 e obter o valor de “a”.

y=a(x-x1)(x-x2)

6=a(0-2)(0-3)

6=a(-2)(-3)

6=6ª

6a=6

a=6/6

a=1

Agora com o valor de “a” já calculado vamos achar a expressão analítica substituindo os valores de a, x1, x2 na equação y=a(x-x1)(x-x2).

y=a(x-x1)(x-x2)

y=1(x-2)(x-3)

y=(x-2)(x-3)

y=x2-3x-2x+6

y=x2-5x+6

Portanto a expressão analítica da função representado no gráfico é y=x2-5x+6

2.Faca o estudo completo da função indicado;

a) O domínio e o contra domínio

b)A ordenada na origem

c)Os zeros da função

d)A variação do sinal

e) Estude a monotonia

f)Qual é a expressão analítica do gráfico

Resolução

Df; x ∈ IR

D’f : y ∈ ]1; +∞[

b)A ordenada na origem é y=4

c)Os zeros da função

a função não tem zeros

d)A variação do sinal

A função é sempre positiva

e) Estudo da monotonia

f)Determinação da expressão analítica do gráfico

Como a função não tem zeros para achar a expressão analítica “só” podemos recorrer a forma “y=a(x-xv)2+yv“ para achar a expressão analítica.

Os vértices (observando no gráfico) são xv=1 e yv=1 e quando  x=0, y=4

Vamos substituir esses valores na formula da expressão analítica para achar o valor de “a”.

y=a(x-xv)2+yv

4=a(0-1)2+1

4=a(-1)2+1

4=a•1+1

a=4-1

a=3

Tendo o valor de “a” , e os vértices, iremos na formula y=a(x-xv)2+yv substituindo “a” pelo respectivo valor, xv, pelo respectivo valor yv pelos respectivo valor e assim temos a expressão analítica  

y=a(x-xv)2+yv

y=3(x-1)2+1

y=3(x2-2x+1)+1

y=3x2-6x+3+1

y=3x2-6x+4

Desta forma podemos dizer que a expressão analítica da função é y=3x2-6x+4

Exercícios sobre estudo de função (função quadrática) para praticar

Seja dados os gráficos;

Para cada um dos gráficos determine;

1.O domínio

2.O contra domínio

3.Os zeros

4. A ordenada na origem

5.As coordenadas dos vértices

6.O eixo de simetria

7.A variação do sinal

8. A monotonia

9.Determine a expressão analítica

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