Um atleta percorre um canteiro circular com raio igual a 2 5 m qual a distância percorrida

o arco de medida a é a determinação principal ou a 1ª determinação não negativa desses arcos côngruos entre si. Notemos que a diferença entre as medidas de dois arcos côngruos entre si é igual ao produto de um número inteiro por 2p (ou é múltiplo de 360°), isto é, sempre equivale a um número inteiro de voltas completas. Exemplos 1º) Os arcos de medidas 27 5 π e − 13 5 π são côngruos entre si, pois: 27 5 13 5 27 5 13 5 π π π π− −       = + = 8p = 4.2p Arcos e ciclo trigonométrico 66 Coleção Estudo 2º) Os arcos de medidas 27 7 π e 6 7 π não são côngruos entre si, pois 27 7 6 7 π π− = 3p (não é um produto de um inteiro por 2p). 3º) Os arcos de medidas 1 110° e 390° são côngruos entre si, pois: 1 110° – 390° = 720° = 2.360° 4º) Os arcos de medidas –30° e 320° não são côngruos entre si, pois –30° – 320° = –350° (não é múltiplo de 360°). SiMETRiAS Consideremos o ponto P1 associado à medida 30°, no ciclo trigonométrico. AO y x P1 (30°) Pelo ponto P1, traçando três retas, uma delas perpendicular ao eixo das ordenadas, outra que passa pela origem do sistema, e a terceira perpendicular ao eixo das abscissas, obtemos os pontos P2, P3 e P4, respectivamente. A P1 (30°) P4P3 P2 O y x Os pontos P2, P3 e P4 são chamados de simétricos (ou correspondentes) do ponto P1 nos diversos quadrantes. E suas medidas x (0° ≤ x ≤ 360°) são: P2) 180° – 30° = 150° A P1 (30°)(180° – 30°) P2 30° 30° O y x Analogamente, temos: P3) 180° + 30° = 210° A P1 (30°) (180° + 30°) P3 30° 30° O y x P4) 360° – 30° = 330° A P1 (30°) P4 (360° – 30°) 30° 30°O y x Temos, então: A P1 (30°) P4 (360° – 30°)(180° + 30°) P3 (180° – 30°) P2 O y x Generalizando, temos: i) Sendo a uma medida em graus: A P1 (α) P4 (360° – α)(180° + α) P3 (180° – α) P2 O y x ii) Sendo a uma medida em radianos: A P1 (α) P4 (2π – α)(π + α) P3 (π – α) P2 O y x Frente E Módulo 02 M A TE M á Ti C A 67Editora Bernoulli ExERCíCioS DE FixAção 01. (Unimontes-MG–2007) Quando os ponteiros de um relógio marcam 1h50min, qual a medida do ângulo central formado por eles? A) 120° B) 115° C) 110° D) 95° 02. (FUVEST-SP) O perímetro de um setor circular de raio R e ângulo central medindo a radianos é igual ao perímetro de um quadrado de lado R. Então, a é igual a A) π 3 B) 2 C) 1 D) 2 3 π E) π 2 03. (UFSCar-SP) Se o ponteiro dos minutos de um relógio mede 12 centímetros, o número que mELHoR aproxima a distância em centímetros percorrida por sua extremidade em 20 minutos é (Considere p = 3,14) A) 37,7 cm. D) 12 cm. B) 25,1 cm. E) 3,14 cm. C) 20 cm. 04. (FUVEST-SP) Um arco de circunferência mede 300° e seu comprimento é 2 km. Qual o número inteiro mais próximo da medida do raio, em metros? A) 157 B) 284 C) 382 D) 628 E) 764 05. (PUC Minas) Um ângulo central de uma circunferência de raio 5 centímetros intercepta um arco de circunferência de 24 centímetros de comprimento. A medida desse ângulo, em graus, é A) 757 π D) 864 π B) 786 π E) 983 π C) 805 π ExERCíCioS PRoPoSToS 01. (FUVEST-SP) Considere um arco AB de 110° numa circunferência de raio 10 cm. Considere, a seguir, um arco A B' ' de 60° numa circunferência de raio 5 cm. Dividindo-se o comprimento do arco AB pelo do arco A B' ' (ambos medidos em cm), obtém-se A) 11 6 B) 2 C) 11 3 D) 22 3 E) 11 02. (UFRGS-RS) As rodas traseiras de um veículo têm 4,25 metros de circunferência cada uma. Enquanto as rodas dianteiras dão 15 voltas, as traseiras dão somente 12 voltas. A circunferência de cada roda dianteira mede A) 2,125 metros. C) 3,4 metros. B) 2,25 metros. D) 3,75 metros. 03. (PUC-SP) Na figura, têm-se 3 circunferências de centros A, B e C, tangentes duas a duas. As retas QC e PT são perpendiculares. Sendo 4 m o raio da circunferência maior, quantos metros devemos percorrer para ir de P a Q, seguindo as flechas? A) 2p BAT PC Q B) 3p C) 4p D) 6p E) 12p 04. (UFSJ-MG) Na figura a seguir, está representado um arco circular de espessura desprezível, em repouso, de 1 m de raio, sendo o diâmetro AB perpendicular ao diâmetro CD e A o ponto de contato do aro com a superfície lisa e reta. B A DC Considerando p = 3,14, é CoRRETo afirmar que, se o aro rolar, sem deslizar, ininterruptamente, para a direita, parando depois de 21,98 m, então a figura correspondente nesse momento é a que está na alternativa A) A B CD C) C D BA B) B A DC D) D C AB 05. (PUC Minas) Ao projetar prédios muito altos, os engenheiros devem ter em mente o movimento de oscilação, que é típico de estruturas de arranha-céus. Se o ponto mais alto de um edifício de 400 m descreve um arco de 0,5°, a medida do arco descrito por esse ponto, em metros, é A) p D) 10 9 π B) 3 4 π E) 11 10 π C) 4 3 π 06. (UFRGS-RS) Os ponteiros de um relógio marcam duas horas e vinte minutos. O mENoR ângulo entre os ponteiros é A) 45° B) 50° C) 55° D) 60° E) 65° Arcos e ciclo trigonométrico 68 Coleção Estudo 07. (PUC-SP) João e Maria costumavam namorar atravessando um caminho reto que passava pelo centro de um canteiro circular, cujo raio mede 5 m. Veja a figura 1. canteiro P C canteiro caminho do passeio Figura 1 Certo dia, após uma desavença que tiveram no ponto de partida P, partiram emburrados, e, ao mesmo tempo, para o ponto de chegada C. Maria caminhou pelo diâmetro do canteiro e João andou ao longo do caminho que margeava o canteiro (sobre o círculo), cuidando para estar sempre à “mesma altura” de Maria, isto é, de modo que a reta MJ, formada por Maria e João, ficasse sempre perpendicular ao diâmetro do canteiro. Veja a figura 2. P C J M Figura 2 Quando a medida do segmento PM, percorrido por Maria, for igual a 7,5 = 5 + 5 2 metros, o comprimento do arco de circunferência P¹J, percorrido por João, será igual a A) 10 3 π     m . D) 2 3 π     m . B) 2p m. E) π 3      m . C) 5 3 π     m . 08. (UFOP-MG) Um ciclista de uma prova de resistência deve percorrer 500 km em torno de uma pista circular de raio 200 m. O número aproximado de voltas que ele deve dar é A) 100 B) 200 C) 300 D) 400 E) 500 09. (UniBH-MG) Considerando p = 3,14, o número de voltas completas que uma roda de raio igual a 40 cm, incluindo o pneu, dará para que o automóvel se desloque 1 quilômetro será de A) 290 B) 398 C) 2 000 D) 3 980 10. (UFC-CE) Um relógio marca que faltam 15 minutos para as duas horas. Então, o mENoR dos dois ângulos formados pelos ponteiros das horas e dos minutos mede A) 142°30’ C) 157°30’ E) 127°30’ B) 150° D) 135° 11. (UFPA) Quantos radianos percorre o ponteiro dos minutos de um relógio em 50 minutos? A) 16 9 π B) 5 3 π C) 4 3 π D) 4 2 π E) 3 3 π 12. (UFMG) A medida, em graus, de um ângulo que mede 4,5 rad é A) 4 5, π C) 810 π E) 810p B) 4,5p D) 810 13. (PUC RS) Em uma circunferência de 5 cm de raio, marca-se um arco de 8 cm de comprimento. Em radianos, esse arco vale A) 5p B) 8p C) 8 D) 8 5 E) 8 5 π SEção ENEM 01. (Enem–2004) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado “Mineirinho”, conseguiu realizar a manobra denominada “900”, na modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação “900” refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a A) uma volta completa. D) duas voltas e meia. B) uma volta e meia. E) cinco voltas completas. C) duas voltas completas. 02. (Enem–2009) Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a circunferência.