5. qual é a expressão que representa o resul-tado da multiplicação (7-5 sqrt 3 )*(2-8 sqrt 3 )^ -

As expressões algébricas são formadas por três itens básicos: números conhecidos, números desconhecidos e operações matemáticas. As expressões numéricas e algébricas seguem a mesma ordem de resolução. Dessa maneira, operações dentro de parênteses têm prioridade sobre as outras, assim como multiplicações e divisões têm prioridade sobre adições e subtrações.

Os números desconhecidos são chamados de incógnitas e normalmente são representados por letras. Alguns livros e materiais também os denominam de variáveis. Os números que acompanham essas incógnitas são chamados de coeficientes.

Assim sendo, são exemplos de expressões algébricas:

1) 4x + 2y

2) 16z

3) 22xa + y – 164x2y2

Valor numérico das expressões algébricas

Quando a incógnita deixa de ser um número desconhecido, basta substituir seu valor na expressão algébrica e resolvê-la do mesmo modo que as expressões numéricas. Para tanto, é preciso saber que o coeficiente sempre multiplica a incógnita que acompanha. Como exemplo, vamos calcular o valor numérico da expressão algébrica a seguir, sabendo que x = 2 e y = 3.

4x2 + 5y

Substituindo os valores numéricos de x e y na expressão, teremos:

4·22 + 5·3

Observe que o coeficiente multiplica a incógnita, mas, para facilitar a escrita, o sinal de multiplicação é omitido nas expressões algébricas. Para finalizar a resolução, basta calcular a expressão numérica resultante:

4·22 + 5·3 = 4·4 + 5·3 = 16 + 15 = 31

Vale dizer que duas incógnitas que aparecem juntas também estão sendo multiplicadas. Se a expressão algébrica acima fosse:

2xy + xx + yy = 2xy + x2 + y2

Seu valor numérico seria:

2xy + x2 + y2 = 2·2·3 + 22 + 33 = 12 + 4 + 9 = 25

Monômios

Monômios são expressões algébricas formadas apenas por multiplicação de números conhecidos e incógnitas. São exemplos de monômios:

1) 2x

2) 3x2y4

3) x

4) xy

5) 16

Perceba que números conhecidos são considerados monômios, assim como apenas as incógnitas. Além disso, o conjunto de todas as incógnitas e seus expoentes é chamado de parte literal, e o número conhecido é chamado de coeficiente de um monômio.

Todas as operações matemáticas básicas em monômios podem ser realizadas com alguns ajustes nas regras e algoritmos.

Adição e subtração de monômios

Só podem ser realizadas quando os monômios possuem parte literal idêntica. Quando isso acontecer, some ou subtraia apenas os coeficientes, mantendo a parte literal dos monômios na resposta final. Por exemplo:

2xy2k7 + 22xy2k7 – 20xy2k7 = 4xy2k7

Para mais informações, detalhes e exemplos sobre soma e subtração de monômios, clique aqui.

Multiplicação e divisão de monômios

A multiplicação de monômios não necessita de que as partes literais sejam iguais. Para multiplicar dois monômios, multiplique primeiro os coeficientes e, depois, multiplique incógnita a incógnita usando propriedades de potência. Por exemplo:

4x3k2yz·15x2k4y = 60x3 + 2k2 + 4y1 + 1z = 60x5k6y2z

A divisão é feita da mesma maneira, entretanto, dividem-se os coeficientes e utiliza-se a propriedade da divisão de potências de mesma base para a parte literal.

Para mais exemplos e detalhes, consulte o texto sobre divisão de monômios clicando aqui.

Polinômios

Polinômios são expressões algébricas formadas pela adição algébrica de monômios. Assim, um polinômio nasce quando somamos ou subtraímos dois monômios distintos. Atenção: todo monômio também é polinômio.

Veja alguns exemplos de polinômios:

1) 2x + 2x2

2) 2x + 3xy + 3y

3) 2ab + 16 – 4ab3

Adição e subtração de polinômios

É feita colocando-se lado a lado todos os termos semelhantes (monômios que possuem parte literal igual) e somando-os. Quando os polinômios não possuem termos semelhantes, eles não podem ser somados ou subtraídos. Quando polinômios possuem um termo que não é semelhante a nenhum outro, esse termo não é somado nem subtraído, apenas repetido no resultado final. Por exemplo:

(12x2 + 21y2 – 7k) + (– 15x2 + 25y2) =

12x2 + 21y2 – 7k – 15x2 + 25y2 =

12x2 – 15x2 + 21y2 + 25y2 – 7k =

– 3x2 + 46y2 – 7k

Multiplicação de polinômios

A multiplicação de polinômios sempre é feita com base na propriedade distributiva da multiplicação sobre a adição (também conhecida como chuveirinho). Por meio dela, devemos multiplicar o primeiro termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo, depois o segundo termo do primeiro polinômio por todos os termos do segundo e assim sucessivamente até que todos os termos do primeiro polinômio tenham sido multiplicados.

Para isso, é claro, usamos as propriedades de potência quando necessário. Por exemplo:

(x2 + a2)(y2 + a2) = x2y2 + x2a2 + a2y2 + a4

Mais informações e exemplos sobre multiplicação, adição e subtração de polinômios podem ser encontrados clicando aqui.

Divisão de polinômios

É o procedimento mais difícil das expressões algébricas. Uma das técnicas mais usadas para dividir polinômios é muito parecida com a usada para divisão entre números reais: procuramos um monômio que, multiplicado pelo termo de grau mais alto do divisor, seja igual ao termo de grau mais alto do dividendo. Depois, basta subtrair do dividendo o resultado dessa multiplicação e “descer” o resto para continuar a divisão. Por exemplo:

(x2 + 18x + 81):(x + 9) =

x2 + 18x + 81 | x + 9
– x2 – 9x          x + 9  9x + 81  

– 9x – 81     

Para mais informações sobre divisão de polinômios e para obter mais exemplos clique aqui.

Por Luiz Paulo Moreira

Graduado em Matemática

Conhecemos como expressões numéricas um conjunto de operações fundamentais a serem calculadas. São operações fundamentais:

• adição
• subtração
• multiplicação
• divisão
• potenciação 
• radiciação

Expressões numéricas são bastante comuns no dia a dia, pois, em muitos problemas, há a necessidade de se calcular o valor de uma expressão numérica. Além das operações, uma expressão numérica pode conter símbolos que mostram a ordem de prioridade, são eles:

• parênteses ( )
• colchetes [ ]
• chaves { }

Leia também: Como identificar se um número é par ou ímpar? 

Ordem das operações

Na resolução de expressões numéricas, é bastante comum ter dúvida sobre qual operação devemos realizar primeiro, para isso, é necessário entender a ordem correta a ser seguida. Primeiramente sempre vamos começar por radiciação e potenciação. Caso apareçam essas duas operações ao mesmo tempo dentro de uma mesma expressão algébrica, calculamo-las na ordem em que aparecerem. 

Encontrando todas as potências e todos os radicais, as próximas operações em ordem de prioridade são a multiplicação e a divisão. Da mesma forma, operações com mesmo grau de prioridade são sempre calculadas na ordem em que aparecem, o que acontece com a multiplicação e a divisão.

Na ausência de multiplicação e divisão na expressão numérica, calculamos, então, a adição e a subtração dos termos. Caso exista as duas operações, calculamo-las na ordem em que aparecerem até encontrarmos um resultado final.

Exemplo:

5 + 2 · √9 – 4 : 2 – 1 + 3²

Primeiramente calcularemos a radiciação e a potenciação:

5 + 2 · √9 – 4 : 2 – 1 + 3²

5 + 2 · 3 – 4 : 2 – 1 + 9

Como não há mais nenhuma potenciação nem radiciação, calcularemos a multiplicação e a divisão:

5 + 2 · 3 – 4 : 2 – 1 + 9

5 + 6 – 2  – 1 + 9

Agora realizaremos as adições e subtrações na ordem em que elas parecem:

5 + 6 – 2 – 1 + 9

11 – 2 – 1 + 9

9  – 1 + 9

 8 + 9

17

Veja também: Critérios de divisibilidade – ferramentas utilizadas a fim de facilitar o cálculo de divisão

Uso dos símbolos nas expressões numéricas

Além das operações em si, é bastante comum também a utilização de símbolos para mostrar a ordem de prioridade em que devemos fazê-las. São eles os parênteses ( ), os colchetes [ ] e as chaves { }.

Nesse caso precisamos nos atentar, primeiro, à ordem de prioridade desses símbolos para, depois, atentar-nos à ordem de prioridade das operações que estão entre esses símbolos. Resolver expressões numéricas exige um cuidado, pois há uma prioridade na ordem das operações, começando pelos símbolos, resolvendo:

• primeiro, as operações que estão dentro do parêntese;
• depois, as operações que estão entre colchetes; 
• por fim, as operações que estão entre chaves.

Operações que estão sendo realizadas entre parênteses, por exemplo, respeitam sempre a ordem das operações, então, ao resolver uma expressão numérica, buscamos eliminar os parênteses, depois os colchetes, e por fim as chaves, nessa ordem.

Passo a passo para resolver expressões numéricas

Exemplo:

{[2 + (5 + 4) : 3 – √4 + 9] : 4}²

Para calcular a expressão quando ela possui símbolos, começamos sempre resolvendo as operações que estão dentro do parêntese.

{[2 + (5 + 4) : 3 – √4 + 9] : 4}²

{[2 + 9 : 3 – √4 + 9] : 4}²

Agora que não há nenhuma operação entre parênteses, vamos buscar eliminar os colchetes. Dentro deles, é importante respeitar a ordem de prioridade das operações, começando, então, nesse caso, pela radiciação.

{[2 + 9 : 3 – √4 + 9] : 4}²

{[2 + 9 : 3 – 2 + 9] : 4}²

Ainda com o objetivo de eliminar o colchete, realizaremos agora a divisão, já que ela possui prioridade em relação à adição e subtração.

{[2 + 9 : 3 – 2 + 9] : 4}²

{[2 + 3 – 2 + 9] : 4}²

Para eliminar o colchete, calcularemos as adições e a subtração, na ordem em que essas operações aparecem.

{[2 + 3 – 2 + 9] : 4}²

{[5 – 2 + 9] : 4}²

{[3 + 9] : 4}²

{12 : 4}²

Agora que eliminamos o parêntese, por fim, vamos eliminar as chaves, e, para isso, vamos calcular a divisão:

{12 : 4}²

3²

Por fim, só nos resta calcular a potência:

3²

9

Exercícios resolvidos

Questão 1 – Qual é o resultado da expressão: 20 ÷ {√4 · [-9 + 17 ÷ (-2 + 5)]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

A) 9 B) 10 C) 11 D) 12

E) 13

Resolução

Alternativa A

Primeiro vamos eliminar o parêntese:

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ (-2 + 5)]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ (-2 + 5)]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ 3]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

Agora eliminaremos os colchetes:

20 ÷ {√4 · [-9 + 12 ÷ 3]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [7 · (-3) – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 – 16 ÷ (-2) + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · [-9 + 4]} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-21 + 8 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-13 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-13 + 2]

20 ÷ {√4 · (-5)} – [-11]

20 ÷ {√4 · (-5)} + 11

Agora eliminaremos as chaves, respeitando a ordem de prioridade entre as operações:

20 ÷ {√4 ·(-5)} + 11

20 ÷ {2 · (-5)} + 11

20 ÷ {2 · (-5)} + 11

20 ÷ (-10) + 11

Eliminando todos os símbolos, realizaremos, primeiro, a divisão e, depois, a adição:

20 ÷ (-10) + 11

-2 + 11

9

Questão 2 – Analisando as expressões:

I. [8 : (8 × (-2) + 18)] – √16 II. [8 × (9 : 3 + 1)] + 2

III. {3² – [4 + (3 – 6 : 2)²]} – 5

As expressões que têm como resultado zero são:

A) I, II e III B) somente I e II C) somente I e III D) somente II e III

E) Nenhuma delas

Resolução

Alternativa C

Resolvendo cada uma delas, temos que:

I.

[8 : (8 × (-2) + 18)] – √16 [8 : (-16 + 18)] – √16 [8 : 2] – √16 4 – √16 4 – 4

0

II.

[8 × (9 : 3 + 1)] + 2 [8 × (3 + 1)] + 2 [8 × 4] + 2 32 + 2

34

III.

{3² – [4 + (3 – 6 : 2)²]} – 5 {3² – [4 + (3 – 3)²]} – 5 {3² – [4 + 0²]} – 5 {3² – [4 + 0]} – 5 {3² – 4} – 5 {9 – 4} – 5 5 – 5

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