A raiz quadrada aproximada é utilizada quando precisamos calcular a raiz quadrada de um número que não possui raiz exata. Quando isso ocorre, é necessário utilizar uma aproximação, porque a raiz quadrada nesse caso forma uma dízima não periódica. Para descobrir uma aproximação da raiz quadrada, primeiramente encontramos entre quais números naturais a raiz quadrada se situa. Posteriormente, podemos analisar o valor da casa decimal, encontrando o valor que mais se aproxima da raiz quadrada desejada. Show Leia também: Raiz cúbica — o caso de radiciação em que o 3 é o índice do radical Videoaula sobre raiz quadrada aproximadaRaiz quadrada aproximada x Raiz quadrada exataExistem dois casos possíveis para a raiz quadrada de um número natural: o resultado pode ser uma raiz quadrada exata ou não. Os números que possuem raiz quadrada exata são conhecidos como quadrados perfeitos. Veja alguns deles a seguir:
Quando o número natural não é um quadrado perfeito, a raiz quadrada desse número é uma dízima não periódica, como a raiz de 3 a seguir: \(\sqrt3=1.73205080756887729362772\ldots\) Quando a raiz quadrada não é um número exato, é possível encontrar uma aproximação para o valor da raiz. Quando a raiz quadrada não é exata, podemos calcular a raiz quadrada aproximada. Para isso, é necessário, inicialmente, encontrar entre quais quadrados perfeitos esse número se situa. Posteriormente, encontramos o intervalo em que a raiz quadrada desse número está. Por fim, determinamos a casa decimal por tentativa. Calcularemos o valor da \(\sqrt{20}\), por aproximação. Resolução: De início, encontraremos entre quais quadrados perfeitos o número 20 está: 16 < 20 < 25 Posteriormente, encontraremos entre quais valores está a raiz quadrada de 20: \(\sqrt{16}<\sqrt{20}<\sqrt{25}\) \(4<\sqrt{20}<5\) Sabemos que \(\sqrt{20} \) está entre 4 e 5, logo a parte inteira é 4, que é o menor dentre os valores. Encontraremos a primeira casa decimal calculando o quadrado dos valores que estão entre 4,1 e 4,9 e descobrindo entre quais desses números a \(\sqrt{20}\) está. Para isso, calcularemos o quadrado de cada um deles até encontrar um número maior que 20: 4,1² = 16,81 4,2² = 17,64 4,3² = 18,49 4,4² = 19,36 4,5² = 20,25 Note que \(\sqrt{20}\) está entre 4,4 e 4,5. Caso o objetivo seja encontrar uma aproximação com uma casa decimal, dizemos que: \(\sqrt{20}=4,4\) por falta \(\sqrt{20}=4,5 \) por excesso. Podemos também encontrar a próxima casa decimal, agora que encontramos um novo intervalo para \(\sqrt{20}\): \(4,4<\sqrt{20}<4,5\) Testando os valores com duas casas decimais, temos que: 4,41² = 19,4481 4,42² = 19,5364 4,43² = 19,6249 4,44² = 19,7136 4,45² = 19,8025 4,46² = 19,8916 4,47² = 19,9809 4,48² = 20,0704 Agora, reduzimos mais ainda o intervalo, pois sabemos que a \(\sqrt{20}\) está entre 4,47 e 4,48. \(\sqrt{20}\) = 4,47 por falta. \(\sqrt{20}\) = 4,48 por excesso. Podemos repetir esse procedimento para quantas casas decimais quisermos. Calcule \(\sqrt3\). Resolução: 1 < 3 < 4 Temos que: \(\sqrt1<\sqrt3<\sqrt4\) \(1<\sqrt3<2\) Sabemos que \(\sqrt3\) é um número entre 1,1 e 1,9: 1,1² = 1,21 1,2² = 1,44 1,3² = 1,69 1,4² = 1,96 1,5² = 2,25 Portanto, \(\sqrt3\) está entre 1,4 e 1,5. \(\sqrt3\) = 1,4 por falta. \(\sqrt3\) = 1,5 por excesso. Calculando a segunda casa decimal: 1,41² = 1,9881 \(\sqrt3\) = 1,41 por falta. \(\sqrt3\) = 1,42 por excesso. Saiba também: O que é uma função raiz? Exercícios resolvidos sobre raiz quadrada aproximadaQuestão 1 Calculando o valor aproximado de \(\sqrt{60}\) com duas casas decimais por falta, encontramos: A) 7,71 B) 7,72 C) 7,73 D) 7,74 E) 7,75 Resolução: Alternativa D O número 60 está entre os quadrados perfeitos 49 e 64: \(49<60<64\) \(\sqrt{49}<\sqrt{60}<\sqrt{64}\) \(7<\sqrt{60}<8\) Testando os números entre 7,1 e 7,9: 7,1² = 50,41 7,2² = 51,84 7,3² = 53,29 7,4² = 54,76 7,5² = 56,25 7,6² = 57,76 7,7² = 59,29 7,8² = 60,84 Então, temos que \(7,7<\sqrt{60}<7,8:\): 7,71² = 59,4441 7,72² = 59,5984 7,73² = 59,7529 7,74² = 59,9076 7,75² = 60,0625 A aproximação por falta é, portanto, 7,74. Questão 2 O número 3,87 é a aproximação por falta de: A) \(\sqrt{14}\) B) \(\sqrt{15}\) C) \(\sqrt{15}\) D) \(\sqrt{17}\) Resolução: Alternativa B Calculando o quadrado de 3,87: 3,87² = 14,9769 O número decimal 3,87 é a melhor aproximação por falta para \(\sqrt{15}\). Bacharel em Matemática (FMU-SP, 2018)
Números decimais quando dentro de uma raiz quadrada possuem algumas peculiaridades ao calcular o seu valor, mas as propriedades sobre radiciação continuam valendo. Seja a igualdade dizemos que b é a raiz quadrada de a, ou seja: O símbolo é conhecido por radical, a é o radicando e n é o índice. Propriedades de radiciação1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Como estamos lidando apenas com raízes quadradas de números decimais neste texto, consideremos a partir de agora que o índice sempre será 2. Calculando o valor de raízesExemplo 1) Vamos calcular o valor de . O método mais simples para calcularmos essa raiz é aquele em que transformamos o número decimal em uma fração: Então, se seguirmos a propriedade (6), temos: Exemplo 2) Calcule . Transformando em fração: . Então: . Exemplo 3) Agora, vamos calcular um número decimal com dízima periódica numa raiz quadrada: ou Ao calcularmos a fração geratriz de obtemos: Então: Exemplo 4) Um exemplo interessante agora. Vamos calcular: ou Ao calcularmos a fração geratriz de obtemos: Então: Esta é uma das formas de provar que 0,999... = 1. Referências Bibliográficas DEMANDA, Franklin D; WAITS, Bert K.; FOLEY, Gregory D.; KENNEDY, Daniel. Pré Calculo. São Paulo: Pearson, 2013. MORGADO, A. C.; WAGNER, E.; JORGE, M. Álgebra I. São Paulo: Livraria Francisco Alves Editora S.A., 1974. |