Considere o quadrado ABCD, cujo lado mede 5 cm

Layra Santos

Há mais de um mês

Gessica Barbosa

Há mais de um mês

a) Para o quadrado ABCD, sistema de coordenadas cartesianas que considere mais adequado, seria o seguinte:

A (0,0)

B (0,5)

C (5,5)

D (5,0)

AB → x = 0

BC → y = 5

CD → x = 5

DA → y = 0

AC → y = x

BD → y = -x + 5

b) Considerando o triângulo EFG

E (0, 0)

F (5, (5√3)/2)

G (0,10)

M (5/2, 5)

EF → y = (x√3)/2

FG → y = - (x√3)/2 + 5√3

GE → y = 0

EM → y = 2x

Essa pergunta já foi respondida!

Pâmela Almeida

Há mais de um mês

Essa pergunta já foi respondida!

PiR2 :: Matemática :: Geometria Plana e Espacial

por Nic.cm Qui 30 Maio 2019, 00:06

Considere o quadrado ABCD, cujo lado mede 5cm, e M um ponto sobre o círculo circunscrito a este quadrado, não coincidente com os vértices A, B, C e D, conforme ilustra a figura a seguir. Qual o valor da soma (MA)² + (MB)² + (MC)² + (MD)²

(A) 10(B) 10√2 (C) 50 (D) 50√2

(E) 100

Última edição por Nic.cm em Dom 02 Jun 2019, 18:09, editado 1 vez(es)

Nic.cmJedi

Mensagens : 245
Data de inscrição : 06/04/2015
Idade : 23
Localização : Boa vista RR

por Rory Gilmore Qui 30 Maio 2019, 01:03

Sugestão: desenhe as diagonais do quadrado.

Rory GilmoreMonitor

Mensagens : 1777
Data de inscrição : 28/05/2019
Localização : Yale University - New Haven, Connecticut

por GBRezende Qui 30 Maio 2019, 09:58

Apenas por plana:Observe, inicialmente temos:

Inicialmente, é óbvio que a diagonal do quadrado de lado 5 é 5raiz(2), e o raio é a metade da diagonal, ou seja, 5raiz(2)/2. Chamarei Raio de R e substituiremos no fim.Por Lei dos Cossenos, temos MA² = 2R²-2R²cosa, MB² = 2R²-2R²cosb, MC² = 2R²-2R²cosc e MD² = 2R²-2R²cosd

Fazendo a soma e trabalhando a expressão, temos MA²+MB²+MC²+MD² = 2R²[4-(cosa+cosb+cosc+cosd)]

Precisamos achar cosa+cosb+cosc+cosd. Analisemos os angulos no circulo:

É visível que:

b + c = pi/2 (III)

a = b + pi/2 (I)
d = c + pi/2 (II)

Somando (I) e (II):

a+d = b+c + pi Usando (III):
a+d = 3pi/2Agora vamos achar o que queríamos, cosa+cosb+cosc+cosd usando (I) e (II):cos(b+pi/2)+cosb+cosc+cos(c+pi/2)Veja que cos(b+pi/2),cos(c+pi/2) = -senb, -senc-senb+cosb+cosc-senc Porém, por (III), sabemos que senb=cosc e senc=cosb, logo:-cosc+cosb+cosc-cosb = 0Portanto, MA²+MB²+MC²+MD² = 2R²(4-0) = 8R² = 8(5raiz(2)/2)² = 100

Generalização: Perceba que para qualquer M na circunferência não coincidente com os vértices, isso será verdade, apesar de eu ter usado um M específico para os cálculos. Qualquer M no primeiro quadrante seria idêntico. Já para um M no segundo quadrante, por exemplo, teríamos d+c=pi/2, b=c+pi/2 e a=d+pi/2. Se mudar para outro quadrante, as equações dos angulos mudam de nome, mas o resultado cosa+cosb+cosc+cosd sempre será 0.

Última edição por GBRezende em Qui 30 Maio 2019, 10:09, editado 1 vez(es)

GBRezendeJedi

Mensagens : 224
Data de inscrição : 18/10/2017
Idade : 24
Localização : Rio de Janeiro, RJ, Brasil

por GBRezende Qui 30 Maio 2019, 10:00

Poderias fazer por analítica também, achando as coordenadas de M em função de R e os angulos b e c, e sabendo, claro, que b+c=pi/2. Recomendo tentar fazer, pra praticar, e quem sabe postar aqui para os colegas forumeiros.

GBRezendeJedi

Mensagens : 224
Data de inscrição : 18/10/2017
Idade : 24
Localização : Rio de Janeiro, RJ, Brasil

por Nic.cm Qui 30 Maio 2019, 11:00

Obrigada pela resposta é sugestão, tentarei fazer aqui

GBRezende escreveu:Poderias fazer por analítica também, achando as coordenadas de M em função de R e os angulos b e c, e sabendo, claro, que b+c=pi/2. Recomendo tentar fazer, pra praticar, e quem sabe postar aqui para os colegas forumeiros.

Nic.cmJedi