Você já ouviu falar em números quadrados perfeitos? Os quadrados perfeitos são o resultado da multiplicação de qualquer número por ele mesmo. Por exemplo, o 9 é um quadrado perfeito, pois ele é o resultado de 3 x 3 ou, melhor ainda, porque ele é o resultado da potência 32 (lê-se três elevado a dois ou três ao quadrado). Show Nós temos uma forma mais usual de representar um número que é tido como quadrado perfeito. Para representá-lo, nós utilizamos a raiz quadrada. Por exemplo, se procuramos a “raiz quadrada de 4”, pretendemos descobrir qual é o número que, ao quadrado (o número multiplicado por si mesmo), resulta em 4. Facilmente podemos dizer que o número que procuramos é o 2, pois 22 = 4. Por essa razão, dizemos que a radiciação é a operação inversa à potenciação. Vejamos como representar uma raiz quadrada:
O radical (símbolo em vermelho) indica que se trata de uma radiciação, e o índice caracteriza a operação, isto é, o tipo de raiz que estamos trabalhando. Em geral, o radicando é o número sobre o qual somos questionados, e a raiz é o resultado. Nesse exemplo, estamos procurando a raiz quadrada de 4, isto é, queremos saber qual é o número que multiplicado por ele mesmo resulta em quatro. Facilmente podemos concluir que esse número é o 2, pois 22 = 4. Mas e se por acaso quisermos saber qual é o número que multiplicado por si mesmo 3 vezes resulta em 8? Precisamos então procurar o número que, ao cubo, resulta em 8, isto é: ? 3 = 8 ? x ? x ? = 8 Esse exemplo já exige um pouco mais de raciocínio. Mas podemos afirmar que o número que ocupa o lugar dos quadradinhos é o 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8. Veja que acabamos de trabalhar com uma raiz cúbica, pois o índice da raiz é três. Sua representação é: 3√8 = 2, pois 23 = 2 x 2 x 2 = 8 Mas haveria uma forma mais fácil de realizar a radiciação? Sim, há! Através da fatoração, conseguimos encontrar qualquer raiz exata, independentemente do índice. Vejamos alguns exemplos: 1. √64 Precisamos encontrar a raiz quadrada de 64. Atenção: sempre que não aparece um número no índice, trata-se de uma raiz quadrada, cujo índice é 2. Vamos fatorar o radicando 64, isto é, vamos dividi-lo sucessivas vezes pelo menor número primo possível até que cheguemos ao quociente 1: 64 | 2 Do lado direito, apareceram seis números 2. Ao multiplicá-lo (2x2x2x2x2x2), encontramos o número 64. Então, em vez de escrevermos o 64, podemos colocar essa multiplicação dentro da raiz: √64 √2x2x2x2x2x2 Como estamos trabalhando como uma raiz quadrada, nós agruparemos os números dentro da raiz de dois em dois, elevando-os ao quadrado: √22x22x22 Feito isso, aqueles números que possuem o expoente dois podem sair da raiz. Eles saem sem o seu expoente, mas continuam com o símbolo da multiplicação, portanto: √64 – 2x2x2 – 8 Portanto, a raiz quadrada de 64 é 8. 2. 3√729 Agora estamos trabalhando com uma raiz cúbica, ou uma raiz de índice três. Devemos procurar um número que, multiplicado por si mesmo três vezes, chega ao valor do radicando. Vamos novamente fatorar nosso radicando, dividindo-o sempre pelo menor número primo possível: 729 | 3 Como estamos lidando com uma raiz de índice 3, nós vamos agrupar os números iguais que apareceram à direita em trios, com expoente 3. Novamente aqueles números que possuem expoente que coincide com o índice do radicando poderão sair da raiz. Vejamos: 3√729 3√3x3x3x3x3x3 3√33x33 3√729 = 3x3 = 9 Portanto, a raiz cúbica de 729 é 9. 3) 4√3125 Nesse exemplo, temos uma raiz quarta. Logo, ao fatorarmos o radicando, deveremos agrupar os números da direita de quatro em quatro. Vejamos: 3125 | 5 À direita, apareceram cinco números cinco. Logo, podemos observar que, ao juntarmos grupos de 4, alguém ficará sozinho. Ainda assim, realizaremos esse processo: 4√3125 4√5x5x5x5x5 4√54x5 4√3125 = 54√5 Infelizmente, não conseguimos concluir essa radiciação, dizemos então que ela não é exata. A fatoração do radicando é um procedimento que nos permite efetuar a radiciação independentemente do índice do radical e até mesmo se a radiciação não possuir raiz exata, como ocorreu no último exemplo. Aproveite para conferir nossas videoaulas relacionadas ao assunto:
A área do retângulo corresponde ao produto (multiplicação) da medida da base pela altura da figura, sendo expressa pela fórmula: A = b x h Onde, A: área  Lembre-se que o retângulo é uma figura geométrica plana formada por quatro lados (quadrilátero). Dois lados do retângulo são menores e dois deles são maiores. Ele possui quatro ângulos internos de 90° chamados de ângulos retos. Assim, a soma dos ângulos internos dos retângulos totalizam 360°. Como calcular a área do retângulo?Para calcular a superfície ou área do retângulo basta multiplicar o valor da base com o da altura. Para exemplificar, vejamos abaixo um exemplo: Aplicando-se a fórmula para calcular a área, num retângulo de base 10 cm e altura de 5 cm, temos:
Portanto, o valor da área da figura é de 50 cm2. Perímetro do RetânguloNão confunda a área com o perímetro,que corresponde a soma de todos os lados. No exemplo acima, o perímetro do retângulo seria de 30 cm. Ou seja: 10 + 10 + 5 + 5 = 30. A fórmula para calcular o perímetro é: P = 2 x (b + h) Onde, P: perímetro Aplicando-se a fórmula para calcular o perímetro do retângulo, de base 10 cm e altura 5 cm, temos:
Sendo assim, em um retângulo cuja base mede 10 cm e a altura é de 5 cm, o perímetro é 30 cm. Veja também os artigos:
Diagonal do RetânguloA linha que une dois vértices não consecutivos de um retângulo é chamada de diagonal. Assim, se traçarmos uma diagonal em um retângulo, percebemos que surgem dois triângulos retângulos. Dessa forma, o cálculo da diagonal do retângulo é feito através do Teorema de Pitágoras, onde o valor do quadrado da hipotenusa é igual a soma dos quadrados de seus catetos. Logo, a fórmula para calcular a diagonal é expressa da seguinte maneira: d2 = b2 + h2 ou d = Onde, d: diagonal Aplicando-se a fórmula para calcular a diagonal, num retângulo de base 10 cm e altura de 5 cm, temos: Logo, em um retângulo cuja base mede 10 cm e a altura é de 5 cm, a diagonal da figura é . Você deve observar as unidades de medidas dadas pelo exercício, uma vez que a base e a altura devem apresentar as mesmas unidades. Por exemplo, se a unidade for dada em centímetros, a área será em centímetros quadrados (cm2), que corresponde a multiplicação entre as unidades de medida (cm x cm = cm2). Da mesma maneira, se ela for dada em metros, a área será metros quadrados (m2). Para ampliar sua pesquisa veja também: Geometria Plana Exercícios ResolvidosPara fixar melhor o conhecimento, confira abaixo dois exercícios resolvidos sobre a área do retângulo: Questão 1Calcule a área de um retângulo com base de 8 m e altura de 2 m.
Resposta correta: 16 m2. Nesse exercício, basta aplicar a fórmula da área: Para mais questões, veja também: Área de Figuras Planas - Exercícios. Calcule a área de um retângulo que apresenta uma base de 3 m e diagonal de m:
Resposta correta: A = 13 m2. Para resolver esse problema, primeiramente temos que encontrar o valor da altura do retângulo. Ela pode ser encontrada pela fórmula da diagonal: Depois de encontrado o valor da altura, utilizamos a fórmula da área:
Portanto, a área de um retângulo é 13 metros quadrado. Questão 3Observe o retângulo a seguir e escreva o polinômio que representa a área da figura. A seguir, calcule o valor da área quando x = 4.
Resposta correta: A = 2x2 - x - 3 e A(x = 4) = 25. Primeiramente, substituímos os dados da imagem na fórmula da área do retângulo.
Para encontrar o polinômio que representa a área devemos multiplicar termo a termo. Na multiplicação de letras iguais, repete-se a letra e soma-se os expoentes. Sendo assim, o polinômio que representa a área é 2x2 - x - 3. Agora, substituímos o valor de x por 4 e calculamos a área. Logo, quando temos x = 4, a área é 25 unidades. Confira a área de outras figuras: |
Como fazer calculo de area com raiz quadrada
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