O diagrama de Venn, também conhecido como diagrama de Venn-Euler, é uma maneira de representar graficamente um conjunto, para isso utilizamos uma linha fechada que não possui auto-intersecção e representamos os elementos do conjunto no interior dessa linha. A ideia do diagrama é facilitar o entendimento nas operações básicas de conjuntos, como: relação inclusão e pertinência, união e intersecção, diferença e conjunto complementar. Show Leia também: Operações entre números inteiros: conheça as propriedades Representações do diagrama de VennComo apresentado, o diagrama de Venn consiste em uma linha fechada (que não se entrelaça) na qual “colocamos” os elementos do conjunto em questão, logo, podemos representar um ou vários conjuntos de maneira simultânea. Veja os exemplos: • Conjunto únicoPodemos representá-lo utilizando uma única linha fechada, por exemplo, vamos representar o conjunto A = {1, 3, 5, 7, 9}: • Entre dois conjuntosDevemos fazer dois gráficos como o da representação do conjunto único. Entretanto, das operações com conjuntos sabemos que: dado dois conjuntos, eles podem ter intersecção ou não. Caso os dois conjuntos não possuam intersecção, eles recebem o nome de conjuntos disjuntos. Exemplo 1Represente, utilizando o diagrama de Venn, os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} e B = {d, e f, g, h, i}. Observe que a intersecção é a parte do diagrama que pertence aos dois conjuntos, assim como na definição. A ∩ B = {d, e, f} Exemplo 2Represente os conjuntos C = {a, b, c, d}e D = {e, f, g, h}. Observe que a intersecção desses conjuntos é vazia, pois não possui nenhum elemento que pertença simultaneamente a ambos, ou seja: C ∩ D = { } • Entre três conjuntosA ideia por trás da representação utilizando o diagrama de Venn para três conjuntos é semelhante à da representação entre dois conjuntos. Nesse sentido, os conjuntos podem ser disjuntos um a um, isto é, não possuem nenhuma intersecção; ou podem ser disjuntos dois a dois, ou seja, somente dois deles possuem intersecção; ou todos possuem intersecção. ExemploRepresentação, utilizando o diagrama de Venn, dos conjuntos A = {a, b, c, d}, B = {d, e, f, g} e C = {d, e, c, h}. Veja também: Notações importantes sobre conjunto Relação de pertinênciaA relação de pertinência permite-nos dizer se um elemento pertence ou não a determinado conjunto. Para isso, utilizamos os símbolos: Considere o conjunto A = {a, b, c, d}. Analisando-o, percebemos que g, por exemplo, não pertence a ele, assim, no diagrama de Venn, temos: Relação de inclusãoA relação de inclusão permite-nos dizer se um conjunto está contido ou não em outro conjunto. Quando um conjunto está contido em outro, dizemos que se trata de um subconjunto. Para isso utilizamos os símbolos: Um exemplo disso é a relação entre conjunto dos números naturais e conjunto dos números inteiros. Sabemos que o conjunto dos números naturais é subconjunto do conjunto dos números inteiros, isto é, o conjunto dos naturais está contido no conjunto dos inteiros. Operações entre conjuntosAs operações básicas entre dois ou mais conjuntos são: união, intersecção e diferença entre dois conjuntos. • UniãoA união entre dois conjuntos é formada pela junção dos elementos contidos em cada conjunto, em outras palavras: considera-se todos os elementos dos dois conjuntos. Veja: Considere os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7}. A união entre eles é dada por: A U B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} No diagrama de Venn, sombreamos a parte da união, isto é, ambos os conjuntos, confira: • IntersecçãoA intersecção é um novo conjunto numérico formado por elementos que pertencem, de maneira simultânea, a outros conjuntos. De modo geral, a intersecção entre conjuntos no diagrama de Venn é dada pela parte comum aos gráficos envolvidos. Veja: Considerando novamente os conjuntos A = {1, 2, 3, 4} e B = {3, 4, 5, 6, 7}, temos que os elementos que pertencem ao conjunto A e ao conjunto B, simultaneamente, são: A ∩ B = {3, 4} • Diferença entre dois conjuntos Considere dois conjuntos C e D, a diferença entre eles (C – D) será um novo conjunto formado por elementos que pertencem a C e não pertencem a D. De modo geral, podemos representar essa diferença, utilizando o diagrama de Venn, da seguinte maneira: Exercícios resolvidos Questão 1 – (Ufal) Na figura a seguir, têm-se representados os conjuntos A, B e C não disjuntos. A região colorida representa o conjunto: a) C – (A ∩ B) b) (A ∩ B) – C c) (A U B) – C d) A U B U C e) A ∩ B ∩ C SoluçãoAlternativa b. Lembrando das operações com conjuntos, sabemos que a intersecção entre dois conjuntos, no diagrama de Venn, é dada pela parte comum a eles. Considerando os conjuntos A, B e C e colorindo o conjunto intersecção A ∩ B, temos: Título: Solução questão1 – parte 1 Observe que, se tirarmos os elementos do conjunto C, obtemos a parte colorida pedida pelo exercício, ou seja, devemos destacar a intersecção inicialmente e depois retirar os elementos de C. (A ∩ B) – C Questão 2 – (Uerj) Crianças de uma escola participaram de uma campanha de vacinação contra a paralisia infantil e o sarampo. Após a campanha, verificou-se que 80% das crianças receberam a vacina contra paralisia, 90% receberam a vacina contra o sarampo, e 5% não receberam nem uma nem outra. Determine o percentual de crianças dessa escola que receberam as duas vacinas. SoluçãoComo é desconhecido o percentual das crianças que tomaram as duas vacinas, vamos inicialmente chamá-lo de x. Lembre-se de que não devemos operar com o símbolo %, e sim escrevermos os percentuais do exercício em sua forma decimal ou fracionária. 80 % → 0,8 90% → 0,9 5% → 0,05 100% → 1 Para descobrirmos o total de crianças que tomaram somente a vacina contra paralisia, subtraímos a porcentagem verificada (80%) da porcentagem das que tomaram as duas (x), e o mesmo deve ser feito para as crianças que tomaram somente a vacina contra o sarampo. Assim: Juntando todas as crianças, o percentual será de 100%, logo: 0,9 – x + x + 0,8 – x + 0,05 = 1 1,75 – x = 1 – x = 1 – 1,75 (–1) · – x = – 0,75 · (–1) x = 0,75 x = 75% Portanto, 75% das crianças da escola tomaram as duas vacinas. Por L.do Robson Luiz Professor de Matemática
Considere o diagrama onde A, B. C e U são conjuntos. A região hachurada pode ser representada por: a) (A ∩ B) U (A ∩ C) - (B ∩ C) b) (A ∩ B) U (A ∩ C) - (B U C) c) (A U B) U (A ∩ C) U (B ∩ C) d) (A U B) - (A U C) ∩ (B ∩ C)
A área hachurada pode ser descrita pela alternativa A).
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Estude pelo Celular ou Computador, Supletivo 100% online, Reconhecido pelo MEC etc... Ver maisPiR2 :: Matemática :: Álgebra Considere os conjuntos A, B, C e U no diagrama abaixo. A região hachurada corresponde ao conjunto a) [A-(B\cap C)]\cup [(B\cap C)-A] b) C_{[(A\cup B\cup C)]}^{[(A\cup B)-C]} c) C_{A\cup (B\cap C)}^{[(A\cap B)\cup (A\cap C))])} d) (A\cup B_)-[(A\cap B)\cup (A\cap C)] Resposta:CComo chega na resposta sem ser por tentativa?____________________________________________ El Álgebra no es más que Geometría y la Geometría no es más que Álgebra abstracta Emanuel DiasMonitor Mensagens : 1679 Data de inscrição : 15/12/2018 Idade : 20 Localização : Heliodora-MG, Brazil Só consigo imaginar a resolução pondo uma letra minúscula em cada espaço e montando as equações por alternativa mesmo. Raquel ValadãoMestre Jedi Mensagens : 523 Data de inscrição : 04/04/2017 Localização : Bahia
Tem uma galera que consegue, só da figura, ir escrevendo onde x pertence e onde não pertence e chegar na resposta. Mas também só consigo testando alternativa por alternativa. ____________________________________________ El Álgebra no es más que Geometría y la Geometría no es más que Álgebra abstracta Emanuel DiasMonitor Mensagens : 1679 Data de inscrição : 15/12/2018 Idade : 20 Localização : Heliodora-MG, Brazil Esse tipo de questão se resolve olhando mesmo. Porque usando conjuntos temosn(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)O que queremos é n(A)+ n(B ∩ C)n(A U B U C) = n(A) + n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)n(A) = n(A U B U C) - (+ n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)n(A) + n(B ∩ C) = n(A U B U C) - (+ n(B) + n(C) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) - n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)) + n(B ∩ C)n(A) + n(B ∩ C) = n(A U B U C) - n(B) - n(C) + n(A ∩ B) + n(A ∩ C) + n(B ∩ C) - n(A ∩ B ∩ C) + n(B ∩ C)Vamos simplificar olhando o gráfico e estabelecendo equivalênciasn(A) + n(B ∩ C) = n(A U B U C) - n(B) - n(C) + n(A ∩ B) + n(A ∩ C) + 2n(B ∩ C) - n(A ∩ B ∩ C) n(A U B U C) - n(B) - n(C) = n(A) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)n(A) + n(B ∩ C) = n(A) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) + n(A ∩ B) + n(A ∩ C) + 2n(B ∩ C) - n(A ∩ B ∩ C) n(A ∩ B) + n(A ∩ C) + n(B ∩ C) = n(A ∩ B ∩ C) + n(B ∩ C)n(A) + n(B ∩ C) = n(A) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C) + n(B ∩ C) Veja que equivale ao complementar do enunciadon(AU(B ∩ C)) = n(A) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) + n(B∩C)n((A∩B)U(A∩C)) = n(A∩B) + n(A∩C) - n(A∩B∩C) n(A) - n(A ∩ B) - n(A ∩ C) + n(B∩C) - n(A∩B) - n(A∩C) + n(A∩B∩C)
Mensagens : 577 Data de inscrição : 31/08/2019 Idade : 24 Localização : RJ
Realmente, observando é bem mais prático, mas gosto de fazer de vários jeitos para aprender de diversas maneiras. Obrigado! ____________________________________________ El Álgebra no es más que Geometría y la Geometría no es más que Álgebra abstracta Emanuel DiasMonitor Mensagens : 1679 Data de inscrição : 15/12/2018 Idade : 20 Localização : Heliodora-MG, Brazil O melhor caminho pra esse tipo de questão é só usando algebra de conjuntos mesmo?
Mensagens : 106 Data de inscrição : 23/07/2018 Idade : 23 Localização : Porto Alegre, RS, BR
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