Análise de variância (ANOVA) e testes de médias são métodos comuns em artigos científicos. Você com certeza já viu aquelas letrinhas indicando a diferença entre tratamentos em algum estudo publicado. Por mais que este método esteja entrando em desuso - há uma tendência em abandonar esse tipo de abordagem estatística - penso que ainda o veremos por muitos anos no meio científico. Como contexto, temos um teste de 5 progênies de eucalipto e queremos avaliar se volume por hectare (nossa variável resposta), difere entre os tratamentos. Pois bem, para percebermos a dimensão dos dados e qual a variabilidade de cada tratamento, vamos criar um boxplot (Figura 1). Caso você queira saber um pouco mais sobre este tipo de gráfico, veja o post sobre ele. if (!require("pacman")) install.packages("pacman") pacman::p_load(readr, dplyr, tibble, ggplot2, car, agricolae) dados <- read_csv2( "https://github.com/italocegatta/italocegatta.github.io_source/raw/master/content/dados/base_progenie.csv" ) dados ## # A tibble: 30 x 3 ## repeticao progenie volume ## <dbl> <chr> <dbl> ## 1 1 A 212 ## 2 2 A 206 ## 3 3 A 224 ## 4 4 A 289 ## 5 5 A 324 ## 6 6 A 219 ## 7 1 B 108 ## 8 2 B 194 ## 9 3 B 163 ## 10 4 B 111 ## # ... with 20 more rows ggplot(dados, aes(progenie, volume)) + geom_boxplot(fill = "grey60", alpha = 0.8) + theme_bw(16)
Figura 1: Variabilidade do volume por hectare de cada tratamento. A ANOVA é um método bastante consolidado no meio acadêmico. Basicamente, este método informa se existe um tratamento discrepante dentre os demais. Entretanto, ele exige que algumas premissas sejam atendidas, como: distribuição normal dos resíduos e homogeneidade de variância. Primeiro, vamos utilizar o teste de Levene para verificar se há homogeneidade de variância, ou homocedasticidade. Como o p-valor é maior que 5% não temos evidência significativa para rejeitar a hipótese nula de homogeneidade, ou seja, nossos dados tem homogeneidade de variância. leveneTest(volume ~ factor(progenie), data=dados) ## Levene's Test for Homogeneity of Variance (center = median) ## Df F value Pr(>F) ## group 4 2.4677 0.07086 . ## 25 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1O segundo pressuposto é a normalidade dos resíduos. Utilizaremos o teste de Shapiro-Wilk cuja hipótese nula é a de que os dados seguem uma distribuição normal. Como o p-valor é superior ao limite de 5%, podemos aceitar a hipótese nula e considerar nossos dados normais. Uma vez que os pressupostos foram atendidos, seguiremos para a ANOVA. Note que, caso os testes de Levene e Shapiro-Wilk resultassem em um p-valor significante, ou seja, menor que 5%, teríamos que utilizar outro método estatístico para analisar nossos dados. Nesse caso, uma alternativa é utilizar testes não-paramétricos, uma vez que eles não exigem os pressupostos que acabamos de testar. Nossa ANOVA resultou em um p-valor menor que 5%, portanto, temos evidências de que ao menos um tratamento se diferencia dos demais. Isso já é uma resposta, mas pouco acrescenta à nossa pesquisa pois queremos saber quem é este tratamento discrepante. Ou melhor, queremos poder comparar os tratamentos entre si e verificar quais são estatisticamente iguais ou diferentes. summary(anova) ## Df Sum Sq Mean Sq F value Pr(>F) ## progenie 4 86726 21681 8.89 0.000131 *** ## Residuals 25 60974 2439 ## --- ## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1Para esta abordagem existem alguns testes de médias e cada um tem uma particularidade, mas de longe o mais utilizado é o de Tukey. A interpretação do teste de Tukey é simples. Após determinarmos a diferença mínima significativa (ou Honest Significant Difference - HSD), podemos julgar se as médias são iguais ou não. Em termos práticos, esse valor nos dá uma margem de igualdade, pois se a diferença entre dois tratamentos for maior do que isso, os médias são diferentes. A análise começa sempre pela maior média, no nosso caso a progênie A (245, 66). Com uma continha rápida, a média do tratamento A menos a diferença mínima significativa 245,66 - 83,73 = 161,93, aceitaremos que um tratamento é igual ao A se a média dele for maior que 161,93. O tratamento subsequente (o segundo do ranking) é a progênie D e como sua média é maior que 161,93 podemos dizer que ela é estatisticamente igual a progênie A. As próximas comparações seguem a mesma lógica. Quando registramos que duas médias são iguais, nós as rotulamos com a mesma letra para facilitar a identificação. Veja no fim do output as letras evidenciando a igualdade entre os tratamentos. tukey <- HSD.test(anova, "progenie") tukey ## $statistics ## MSerror Df Mean CV MSD ## 2438.953 25 165.7667 29.79233 83.73866 ## ## $parameters ## test name.t ntr StudentizedRange alpha ## Tukey progenie 5 4.153363 0.05 ## ## $means ## volume std r Min Max Q25 Q50 Q75 ## A 245.6667 48.78798 6 206 324 213.75 221.5 272.75 ## B 159.6667 49.47996 6 108 236 119.75 154.5 186.25 ## C 80.5000 15.60449 6 63 100 70.00 76.5 93.50 ## D 190.1667 75.37484 6 100 267 121.75 207.0 251.75 ## E 152.8333 37.96534 6 106 210 133.75 141.5 175.50 ## ## $comparison ## NULL ## ## $groups ## volume groups ## A 245.6667 a ## D 190.1667 ab ## B 159.6667 bc ## E 152.8333 bc ## C 80.5000 c ## ## attr(,"class") ## [1] "group"Para deixar mais visual ainda, podemos construir um gráfico de barras com a média de cada tratamento e adicionar a sua letra correspondente ao teste de Tukey (Figura 2). tukey$groups %>% rownames_to_column(var = "trt") %>% mutate(trt = reorder(trt, -volume, mean)) %>% ggplot(aes(trt, volume)) + geom_col(alpha = 0.8, color = "black") + geom_text(aes(label = groups), vjust = 1.8, size = 9, color = "white") + labs(x = "Progênies", y = "Médias") + theme_bw(16)
Figura 2: Médias dos tratamentos. As letras indicam médias estatisticamente iguais pelo teste de Tukey a 5% de significância. Caso tenha alguma dúvida ou sugestão sobre o post, fique à vontade para fazer um comentário ou me contatar por E-mail. sessioninfo::session_info(c("readr", "dplyr", "tibble", "ggplot2", "car", "agricolae")) ## - Session info ---------------------------------------------------------- ## setting value ## version R version 3.5.3 (2019-03-11) ## os Windows 10 x64 ## system x86_64, mingw32 ## ui RTerm ## language (EN) ## collate Portuguese_Brazil.1252 ## ctype Portuguese_Brazil.1252 ## tz America/Sao_Paulo ## date 2019-08-25 ## ## - Packages -------------------------------------------------------------- ## package * version date lib source ## abind 1.4-5 2016-07-21 [1] CRAN (R 3.5.0) ## agricolae * 1.3-1 2019-04-04 [1] CRAN (R 3.5.3) ## AlgDesign 1.1-7.3 2014-10-15 [1] CRAN (R 3.5.2) ## assertthat 0.2.1 2019-03-21 [1] CRAN (R 3.5.3) ## backports 1.1.4 2019-04-10 [1] CRAN (R 3.5.3) ## BH 1.69.0-1 2019-01-07 [1] CRAN (R 3.5.2) ## boot 1.3-20 2017-08-06 [2] CRAN (R 3.5.3) ## car * 3.0-3 2019-05-27 [1] CRAN (R 3.5.3) ## carData * 3.0-2 2018-09-30 [1] CRAN (R 3.5.2) ## cellranger 1.1.0 2016-07-27 [1] CRAN (R 3.5.1) ## class 7.3-15 2019-01-01 [2] CRAN (R 3.5.3) ## classInt 0.4-1 2019-08-06 [1] CRAN (R 3.5.3) ## cli 1.1.0 2019-03-19 [1] CRAN (R 3.5.3) ## clipr 0.7.0 2019-07-23 [1] CRAN (R 3.5.3) ## cluster 2.0.7-1 2018-04-13 [2] CRAN (R 3.5.3) ## coda 0.19-3 2019-07-05 [1] CRAN (R 3.5.3) ## colorspace 1.4-1 2019-03-18 [1] CRAN (R 3.5.3) ## combinat 0.0-8 2012-10-29 [1] CRAN (R 3.5.2) ## crayon 1.3.4 2017-09-16 [1] CRAN (R 3.5.1) ## curl 4.0 2019-07-22 [1] CRAN (R 3.5.3) ## data.table 1.12.2 2019-04-07 [1] CRAN (R 3.5.3) ## DBI 1.0.0 2018-05-02 [1] CRAN (R 3.5.1) ## deldir 0.1-23 2019-07-31 [1] CRAN (R 3.5.3) ## digest 0.6.20 2019-07-04 [1] CRAN (R 3.5.3) ## dplyr * 0.8.3 2019-07-04 [1] CRAN (R 3.5.3) ## e1071 1.7-2 2019-06-05 [1] CRAN (R 3.5.3) ## ellipsis 0.2.0.1 2019-07-02 [1] CRAN (R 3.5.3) ## expm 0.999-4 2019-03-21 [1] CRAN (R 3.5.3) ## fansi 0.4.0 2018-10-05 [1] CRAN (R 3.5.1) ## forcats 0.4.0 2019-02-17 [1] CRAN (R 3.5.2) ## foreign 0.8-71 2018-07-20 [2] CRAN (R 3.5.3) ## gdata 2.18.0 2017-06-06 [1] CRAN (R 3.5.2) ## ggplot2 * 3.2.1 2019-08-10 [1] CRAN (R 3.5.3) ## glue 1.3.1 2019-03-12 [1] CRAN (R 3.5.3) ## gmodels 2.18.1 2018-06-25 [1] CRAN (R 3.5.2) ## gtable 0.3.0 2019-03-25 [1] CRAN (R 3.5.3) ## gtools 3.8.1 2018-06-26 [1] CRAN (R 3.5.2) ## haven 2.1.1 2019-07-04 [1] CRAN (R 3.5.3) ## highr 0.8 2019-03-20 [1] CRAN (R 3.5.3) ## hms 0.5.0 2019-07-09 [1] CRAN (R 3.5.3) ## htmltools 0.3.6 2017-04-28 [1] CRAN (R 3.5.1) ## httpuv 1.5.1 2019-04-05 [1] CRAN (R 3.5.3) ## jsonlite 1.6 2018-12-07 [1] CRAN (R 3.5.2) ## KernSmooth 2.23-15 2015-06-29 [2] CRAN (R 3.5.3) ## klaR 0.6-14 2018-03-19 [1] CRAN (R 3.5.2) ## labeling 0.3 2014-08-23 [1] CRAN (R 3.5.0) ## labelled 2.2.1 2019-05-26 [1] CRAN (R 3.5.3) ## later 0.8.0 2019-02-11 [1] CRAN (R 3.5.2) ## lattice 0.20-38 2018-11-04 [2] CRAN (R 3.5.3) ## lazyeval 0.2.2 2019-03-15 [1] CRAN (R 3.5.3) ## LearnBayes 2.15.1 2018-03-18 [1] CRAN (R 3.5.2) ## lme4 1.1-21 2019-03-05 [1] CRAN (R 3.5.3) ## magrittr 1.5 2014-11-22 [1] CRAN (R 3.5.1) ## maptools 0.9-5 2019-02-18 [1] CRAN (R 3.5.2) ## MASS 7.3-51.1 2018-11-01 [2] CRAN (R 3.5.3) ## Matrix 1.2-17 2019-03-22 [1] CRAN (R 3.5.3) ## MatrixModels 0.4-1 2015-08-22 [1] CRAN (R 3.5.2) ## mgcv 1.8-28 2019-03-21 [1] CRAN (R 3.5.3) ## mime 0.7 2019-06-11 [1] CRAN (R 3.5.3) ## miniUI 0.1.1.1 2018-05-18 [1] CRAN (R 3.5.2) ## minqa 1.2.4 2014-10-09 [1] CRAN (R 3.5.1) ## munsell 0.5.0 2018-06-12 [1] CRAN (R 3.5.1) ## nlme 3.1-137 2018-04-07 [2] CRAN (R 3.5.3) ## nloptr 1.2.1 2018-10-03 [1] CRAN (R 3.5.1) ## nnet 7.3-12 2016-02-02 [2] CRAN (R 3.5.3) ## openxlsx 4.1.0.1 2019-05-28 [1] CRAN (R 3.5.3) ## pbkrtest 0.4-7 2017-03-15 [1] CRAN (R 3.5.2) ## pillar 1.4.2 2019-06-29 [1] CRAN (R 3.5.3) ## pkgconfig 2.0.2 2018-08-16 [1] CRAN (R 3.5.1) ## plogr 0.2.0 2018-03-25 [1] CRAN (R 3.5.1) ## plyr 1.8.4 2016-06-08 [1] CRAN (R 3.5.1) ## prettyunits 1.0.2 2015-07-13 [1] CRAN (R 3.5.1) ## progress 1.2.2 2019-05-16 [1] CRAN (R 3.5.3) ## promises 1.0.1 2018-04-13 [1] CRAN (R 3.5.1) ## 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